24.2.2 直线和圆的位置关系（2） 课件 (共23张PPT)

(共23张PPT)
24.2.2 直线和圆的位置关系（2）
人教版九年级上册
教学目标
教学目标：1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
教学重点:理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
教学难点：能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
新知导入
情境引入
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？
新知讲解
合作学习
思考1：如图，在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线 l 的距离是多少？直线 l 与⊙O有什么位置关系？
即圆心O到直线 l的距离就是
⊙O的半径。
A
l
o
①、距离为半径OA的长度
②、直线l与⊙O相切。
你能得到切线的又一个判定方法吗？
探究一 ：切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
∵ OA为⊙O的半径,
l⊥OA于A
∴ l为⊙O的切线
切线的判定定理：
符号语言:
温馨提示：“过半径的外端”、“垂直于半径”缺一不可！
A
l
o
提炼概念
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
归纳总结：
（1）过半径的外端的直线是圆的切线（ ）
（2）与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）
（3）过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）
×
×
×
O
r
l
A
O
r
l
A
O
r
l
A
断一断：
思考2：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
A
l
O
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
切线性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
符号语言：
探究二 ：切线的性质定理
（1）假设AB与CD不垂直，过点O作
一条直径垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM距离小于⊙O的半径，因此，
CD与⊙O相交.这与已知条件
“直线与⊙O相切”相矛盾；
（3）所以AB与CD垂直.
证法：反证法
性质定理的证明
理由是：直径AB与直线CD要么垂直，要么不垂直.
C
D
B
O
A
M
典例精讲
例1、如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E. 求证：AC 是⊙O 的切线．
O
C
E
A
F
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵⊙O 与AB 相切于E ，∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
C
∴OE ＝OF.
∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是⊙O 的切线．
又OE ⊥AB ，OF⊥AC.
①、当已知直线过圆上的一点时，连接圆心和该点得到圆的半径，然后证明直线与这条半径垂直，即可得出已知直线为圆的切线.
方法总结:
②、当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径，即可得出已知直线为圆的切线.
有交点，连半径，证垂直；
无交点，作垂直，证半径.
归纳概念
利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.
方法总结:
见切点，连半径，得垂直.
课堂练习
1.如图所示,线段AB是☉O的直径,∠CDB=20°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于(　　)
A
A.50°　　　B.40°　　 C.60°　　D.70°
2.如图,已知△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,MN与☉O相切,切点为A,若∠MAB=30°.则∠B=________.
60°
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
3.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
O
A
B
C
E
P
4.在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D.
求证: AC是⊙D的切线.
证明：AC是⊙O的切线 。理由如下：
过点D作DE⊥AC，垂足为E
AD平分∠BAC
∴DE=BD
∴直线AC是⊙O的切线.
∵∠B＝90°
∴BD⊥AB
E
又∵DE⊥AC
5.如图,P是☉O外一点,PA切☉O于点A,AB是☉O的直径,BC∥OP且交☉O于点C,请准确判断直线PC与☉O是怎样的位置关系,并说明理由.
解：PC与☉O相切.
连接OC,则OC=OB,∴∠B=∠OCB.
∵BC∥OP,∴∠B=∠AOP,∠OCB=∠COP,∴∠AOP=∠COP.
在△AOP与△COP中,
OA=OC,∠AOP=∠COP,OP=OP,
∴△AOP≌△COP.
又∵PA是☉O的切线,∴∠OCP=∠OAP=90°.
又∵OC是半径,∴PC是☉O的切线.
6.如图,已知AB是☉O的直径,P为☉O外一点,且AP∥BC,∠P=∠BAC.
(1)求证:PA为☉O的切线.
(2)若OB=5,OP= ,求AC的长.
解：(1)设AC与OP相交于点H.
∵AB是径,∴AC⊥BC,∠BAC+∠B=90°.
∵OP∥BC,∴OP⊥AC,∠AOP=∠B.
∵∠P=∠BAC,
∴∠P+∠AOP=90°,于是∠OAP=90°,
∴PA为☉O的切线.
(2)∵OP⊥AC,∴AC=2AH,
在直角三角形PAO中,
由面积法可知：AH=4
∴AC=2AH=8.
课堂总结
21cnjy
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
切线的
性质
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线
添加方法：
见切线，连切点，得垂直.
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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