1.1集合的概念 课件（23页）

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1.1集合的概念
人教版A（2019）
必修一
新知导入
一、情景导入
小学：
可曾记得？是不是很熟悉的样子？
在小学和初中，我们已经接触过一些集合．例如，自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合 （即圆）等．下面我们共同回忆一下下面几个常用问题描述形式：
初中：
1.正分数集合与负分数集合.
4.方程x2-1=0的解集为1，-1.
2.１～１０之间的所有偶数；
3.所有的正方形；
新知导入
为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识．下面先从集合的含义开始．
新知讲解
学校通知: ９月６日8点，2022级在学校操场集合，进行军训动员；
试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
二、集合的概念
首先我们讨论下面的问题：
我们把2022级的每一位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一个集合．
1.集合：一般地，我们把研究对象统称为元素 (rlement)，把一些元素组成 的总体
叫做集合(set)（简称为集）．
注：集合是数学中的一个原始概念，不能加以定义，只能作描述性说明。
集合常用大写拉丁字母A,B,C…来标记.
新知讲解
这里可以这样描述：把正数记作集合A；负数记作集合B。
2.元素：集合中的每一个对象。常用小写拉丁字母a,b,c表示。
上例中集合A中的元素：+4，+2.8，+，7，+16
上例中集合B中的元素：-8，-20，，-15.7
新知讲解
3.构成集合的元素特征：
1、研究下面的问题：
我们班个高个子同学能不能构成一个集合呢？
集合中的元素必须是确定的
2、集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。 互异性使集合中的元素
是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。集合中的元素
必须是不同的。即：
集合中的元素必须是互异的
3、咱班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？
集合中的元素是没有顺序的
集合中的元素是无序的
集合中元素的三大特性：
(1) 确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。
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(2) 互异性：集合中的元素没有重复。
(3) 无序性：集合中的元素没有顺序。
例如：个子高的人；接近0的实数；中国的高山等等都不能构成集合。
例如：单词book字母构成的集合的元素是：b,o,k而不是b,o,o,k。
例如：1，2，3，4构成的集合，与2，3，1，4构成的集合是没有区别的。
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三、元素与集合的关系
设集合A表示“1～20以内的所有质数”，那么3，12，13，这四个元素哪些在集合A中？哪些不在集合A中？
3，13都在集合中，而12不在集合中。
如果元素a是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？
a属于集合A，记作a∈A
如果元素a不是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？
a不属于集合A，记作a A
3∈A，13∈A，而12 A
例如：Ａ表示能被3整除的整数所构成的集合。
则：
若a＝-6，
a∈Ａ；
若a＝8，
a Ａ；
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四.常用数集及记法
(1) 非负整数集(自然数集): 全体非负整数的集合。记作N
2∈N；
1.5 N；
(2) 正整数集: 非负整数集内排除0的集。记作N*或N+
例如：
2∈N*；
0 N+；
例如：
(3) 整数集: 全体整数的集合。记作Z
0∈Z；
1.5 Z；
例如：
(4) 有理数集: 全体有理数的集合。记作Q
1.5∈Q；
Q；
例如：
(5) 实数集: 全体实数的集合。记作R
∈R；
例如：
合作探究
1．下列各选项中的对象可构成一个集合的是 (　　)
A．与1非常接近的数　　 B．我班学生中的女生 C．中国名山 D．某班视力差的学生
2．已知集合M：大于－2且小于1的所有实数，则下列关系式中正确的是 ( )
A. ∈M B．0 M C．1∈M D． ∈M
3．下列关系正确的是 ( ) A．0∈N+ B．π R C．1 Q D．0∈Z
4．已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰 三角形
8．已知集合A中只含1，a2两个元素，则实数a不能取( )
A．1 B．－1 C．1或－1 D.1和－1
边学边用
B
C
D
D
C
新知讲解
从前面的学习，我们可以用自然语言描述一个集合，比如：小于10的正整数等等．除此之外，还可以用什么方式可以把一个集合的元素表达清楚呢？
五.集合的表示方法
(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素间用逗号分开，写在大括号内。
一般格式：
例如: 由方程 的所有解组成的集合, 可以表示为{-1，1};
再如：所有正奇数组成的集合，可以表示为{1，3，5，7，…}
例1、 用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合．
解：
(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么
A＝｛０，１，２，３，４，５，６，７，８，９｝
(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么
B＝｛０，１｝
说明：由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法．
例如，例1(1)的集合还可以写成
A＝｛９，８，７，６，５，４，３，２，１，０｝等
对于集合中元素个数较少的集合我们用列举法描述它非常方便，但是对于元素较多
甚至有无限个元素的集合列举法就无能为力了，我们需要用其它的描述方法解决。
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描述法：
一般地，设A是一个集合，我们把集合犃 中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为：
｛x∈A｜P(x)｝即{x|x满足条件P}
这种表示集合的方法称为描述法
例2、 试分别用描述法和列举法表示下列集合：
(1)方程x2－２＝０的所有实数根组成的集合A；
(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B．
解：(1)设x∈A，则x是一个实数，且x2－2＝0．因此，用描述法表示为
A=｛x∈R|x2-2＝0｝
方程x2－２＝０有两个实数根，－，因此，用列举法表示为
A＝｛，－｝
(2)设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10＜x＜20．因此，用描述法表示为
B＝｛x∈Z|10＜x＜20｝
大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为
B＝｛11，12，13，14，15，16，17，18，19｝
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为了更简便，我们约定，如果从上下文的关系看，x∈R，x∈Z是明确的，那么x∈R，x∈Z可以省略，只写其元素x．例如，集合D＝｛x∈R｜x＜10｝也可表示为D＝｛x｜x＜10｝；集 合E＝｛x∈Z｜x＝２k＋１，k∈Z｝也可表示为E＝｛x｜x＝２k＋１，k∈Z｝．
思考：A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x2+1}分别表示什么集合呢
分析：集合A中的元素是x是二次函数y=x2+1中自变量x的取值构成的集合，是实数；
集合B中的元素是y是二次函数y=x2+1中函数值y的取值构成的集合，是实数；
集合C中的元素是点坐标（x,y)是二次函数y=x2+1图像上点的坐标构成的集合，是点的坐标。
新知讲解
六.集合的分类
按集合中元素的多少我们把集合分成无限集、有限集、空集。
有限集：含有有限个元素的集合。
无限集：含有无限个元素的集合。
空集：不含任何元素的集合。记作
如：｛x∈R｜x2+1=0｝= ,是空集；
如：｛x∈R｜x2-1=0｝=｛-1，1｝,只有两个元素，是有限集；
如：｛x∈R｜x>0｝,大于零的实数有无数个，是无限集；
课堂练习
1.①某班很聪明的同学;②方程x2+1=0的解集;③漂亮的花儿;④空气中密度大的气体.其中能组成集
合的是( ) A.② B.①③ C.②④ D.①②④
2.下面有三个命题:①集合N中最小的数是1; ②若-a N,则a∈N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2.
其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3
3.已知集合A中只含1,a2两个元素,则实数a不能取( ) A.1 B.-1 C.-1和1 D.0
4.已知集合A={-2,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈A},则集合B等于( ) A.{-4,4} B.{-4,0,4} C.{-4,0} D.{0}
5.已知集合A含有两个元素1,2,集合B表示方程x2+ax+b=0的解的集合,且集合A与集合B相等,则a+b=　.　
6.设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则集合A用列举法表示为 。
7.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则集合A中的元素个数为　　　　　.
{-1,4}
A
A
C
B
-1
9
课堂练习
9.已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.
(1)若-3是集合A中的元素,试求实数a的值;
(2)-5能否为集合A中的元素 若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.
10.选择适当的方法表示下列集合:
(1)被5除余1的正整数组成的集合;
(2)24的所有正因数组成的集合;
(3)在平面直角坐标系中,两坐标轴上的点组成的集合;
解：依题意，若a-3=-3，则a=0,2a-1=-1 所以A={-3，-1}，合题意。
若2a-1=-3，则a=-1,a-3=-4， 则A=｛-4，-3｝合题意。
综上所述，实数a的取值为0或-1
解：-5不能为集合A中的元素；
因为，若-5为A中的元素，则如果a-3=-5,a=-2,2a-1=-5,那么a-3=2a-1=-5
与集合A中有两个元素矛盾。
同理，若2a-1=-5，a=-2，那么a-3=2a-1=-5,与集合A中有两个元素矛盾。
综上所述，-5不能为集合A中的元素。
解：无限集，选择描述法；｛x|x=5k+1,k∈N+｝
解：有限集且元素较少，选择列举法；｛1，2，3，4，6，8，12，24｝
解：无限个元素，选择描述法；｛(x,y)|xy=0｝
课堂总结
1.集合的概念：
集合是数学中的一个原始概念，不能加以定义，只能作描述性说明。
指定的某些对象的全体。
2. 元素的三大特性：
确定性、互异性、无序性。
3. 元素与集合的关系：
元素在集合中属于∈，否则不属于
4. 常用数集及记法：
(1) 非负整数集(自然数集): 全体非负整数的集合。记作N
(2) 正整数集: 非负整数集内排除0的集。记作N*或N+
(3) 整数集: 全体整数的集合。记作Z
(4) 有理数集: 全体有理数的集合。记作Q
(5) 实数集: 全体实数的集合。记作R
5. 集合的表示方法:
列举法、描述法
6. 集合的分类:
有限集，无限集和空集
板书设计
1.集合的概念：
3. 元素与集合的关系：
4. 常用数集及记法：
5. 集合的表示方法:
6. 集合的分类:
集合常用大写拉丁字母A,B,C…来标记.
确定性、互异性、无序性。
确定性、互异性、无序性
列举法、描述法
有限集，无限集和空集
2. 元素的三大特性：
作业布置
一、选择题
1、下列给出的对象中，能表示集合的是( )
A、一切很大的数 B、无限接近零的数 C、聪明的人 D、方程 的实数根
2、由 组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（ ）A、1 B、-2 C、6 D、2
3、下列集合表示法正确的是（ ）
A.{1,2,2} B.{全体实数} C.{有理数} D.不等式 的解集为{ }
4、集合{ }的另一种表示法是（ ）
A、{0，1，2，3，4} B、{1，2，3，4} C、{0，1，2，3，4，5} D、{1，2，3，4，5}
5、集合M＝{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是指(　　)
A．第一象限内的点集 B．第三象限内的点集 C．第一、三象限内的点集 D．第二、四象限内的点集
6．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　)
A．3 B．6 C．8 D．10
二、填空题
7、已知集合A={2，4， }，若 ，则x= 。
8、在平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为 。
9、方程x2-2x+5=0 的解集可表示为_____________________
11、集合{ }用列举法表示为_________________
三、解答题
12、设集合A={(x,y)|x+y=6, } ，使用列举法表示集合A。
13、已知集合A={ }只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A。
作业布置
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