2.6利用三角函数测高 同步练习（含答案）

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第二章 直角三角形的边角关系
6 利用三角函数测高
基础过关
知识点 利用三角函数测高
1.如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他进行了如下操作：
(1)在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE=α;(2)量得测角仪的高度 (3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为( )
2.如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点(点A，B，C在同一直线上)，再沿斜坡DE方向前行78米到E点(点A,B,C,D,E在同一平面内)，在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°,悬崖BC的高为144.5米,斜坡DE的坡度(或坡比) 则信号塔AB的高度约为(参考数据： ( )
A.23米 B.24米 C.24.5米 D.25米
3.如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35 m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为 居民楼AB的顶端B的仰角为 已知居民楼CD的高度为16.6 m，小莹的观测点N距地面1.6m.求居民楼AB的高度(精确到1m)(参考数据:sin55°≈0.82,
4.全国历史文化名城宜宾有许多名胜古迹，始建于明朝的白塔是其中之一.如图，为了测量白塔的高度AB，在C处测得塔顶A的仰角为 再向白塔方向前进15米到达D处，又测得塔顶A的仰角为 点B,D,C在同一水平线上，求白塔的高度AB. 精确到1米)
5.小琳使用测角仪在办公楼底端A处测得综合楼前旗杆顶端D处的仰角为 在办公楼顶部B处测得旗杆顶端D处的仰角为已知 米，试求旗杆顶端D处距离地面AC的高度.(精确到0.1，参考数据：
6.一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：
7.图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志.在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑.某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑(图②)最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：
课题 测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度
测量示意图 如图,雕塑的最高点B到地面的高度为BA,在测点C用仪器测得点B的仰角为α,前进一段距离到达测点E,再用该仪器测得点B的仰角为β,且点A,B,C,D,E,F均在同一竖直平面内,点A,C,E在同一条直线上
测量数据 α的度数 β的度数 CE的长度 仪器CD(EF)的高度
31° 42° 5米 1.5米
请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度(结果保留一位小数).(参考数据： 0.90)
能力提升
8.如图,在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度且点A,B,C,D,E在同一平面内,小明同学测得古塔AB的高度是( )
9.如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年(1535年)，是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”.某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数(A,D,B在同一条直线上).
数据收集：通过实地测量，地面上A，B两点的距离为58m,∠CAD=42°,∠CBD=58°.
问题解决：求宝塔CD的高度(结果保留一位小数).
参考数据： 1.60.
根据上述方案及数据，请你完成求解过程.
10.市政府为实现5G网络全覆盖,2021—2025年拟建设5G基站三千个.如图，在斜坡CB上有一建成的基站塔AB,斜坡CB的坡比为1:2.4.小芳在坡脚C测得塔顶A的仰角为 然后她沿坡面CB行走了13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°.(点A,B,C,D均在同一平面内,CE为地平线)(参考数据：sin53°,cos53°,
(1)求D处的竖直高度；
(2)求基站塔AB的高.
11.[数学抽象]为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，如图，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向.测量方案与数据如下表：
课题 测量河流宽度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案示意图
说明 点B,C在点A的正东方向 点B,D在点A的正东方向 点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向
测量数据
(1)哪个小组的数据无法计算出河宽
(2)请选择其中一个方案及其数据求出河宽(精确到0.1m).(参考数据:
0.70)
参考答案
基础过关
1.A 如图,过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形.∴BF=CD=a,CF=BD=b.
∵tan∠ACF=,∴AF=b·tanα.∴AB=BF+AF=a+btanα.故选A.
2.D 如图,过点E作EF⊥DC交直线CD于点F,过点E作EM⊥AC于点M.
∵斜坡DE的坡度(或坡A比)i=1:2.4,∴设米,,则米.
在 中,DE=78米,即
解得 (舍去).∴EF=30米,DF=72米.∴CF=DF+DC=72+78=150(米).
∴EM=CF=150米,CM=EF=30米.
在Rt△AEM中, 150×0.93=139.5(米),
∴AC=AM+CM=139.5+30=169.5(米).∴AB=AC-BC=169.5-144.5=25(米).故选D.
3.解析 如图,过点N作EF∥AC交AB于点E,交CD于点F,
则AE=MN=CF=1.6m,EF=AC=35 m,∠BEN=∠DFN=90°,∴DF=DC-CF=16.6-1.6=15 m.
在Rt△DFN中,∵∠DNF=45°,∴NF=DF=15 m.∴EN=EF-NF=35-15=20 m.
在Rt△BEN中, ∴BE=EN·tan∠BNE=20×tan55°≈20×1.43=28.6m.
∴AB=BE+AE=28.6+1.6≈30m.
答：居民楼AB的高度约为30m.
4.解析 设AB=x米,
根据题意得∠BCA=45°,∠BDA=60°,CD=15米,
在Rt△ABC中,∵∠C=45°,∴BC=BA=x米.
在Rt△ABD中,
∵
答：白塔的高度AB约为35米.
5.解析 如图,过点B作BE⊥CD于点E,则CE=AB=8.5米,BE=AC.
设DE=x米,则CD=(x+8.5)米.
在Rt△DEB中米.在Rt△ACD中, 米. 解得.∴CD=8+8.5=16.5米.
答：旗杆顶端D处距离地面AC的高度约为16.5米.
6.解析 过A作 交PQ的延长线于C，如图.
设 米，由题意得PQ=5米,∠APC=30°,∠BQC=45°,
在 中, 米.
在Rt△BCQ中, ∴QC=BC=AC+AB=(x+3)米.
∵PC-QC=PQ=5米,即3x-(x+3)=5,∴x=4(+1).
(米).
答：无人机飞行的高度约为14米.
7.解析 如图,延长DF交AB于点G.
设BG=x米,在Rt△BFG中,米.
在Rt△BDG中, 米.由DG-FG=DF,得
∴.∴(米).
答：“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度约为10.5米.
能力提升
8.A 如图,过D作DF⊥BC于F,DH⊥AB于H,∴DH=BF,BH=DF.
∵斜坡的斜面坡度i=1：
设则
故选A.
9.解析 设
在Rt△ACD中,
在Rt△BCD中,
答：宝塔的高度约为33.4m.
10.解析 (1)如图,过点D作 垂足为M.
∵斜坡CB的坡比为1:2.4,∴,即
设米,则 米,
在Rt△CDM中,CD=13米,由勾股定理得 ,即
∴解得 (舍去负值).∴DM=5米,CM=12米.
∴D处的竖直高度为5米.
(2)如图,过点D作DF⊥AE于点F,设 米,,则 米,米.
米.
米.
在Rt△ADF中,∵DF=12a米, 米,∠ADF=53°,
(米), (米).∴ (米).
答：基站塔AB的高约为米.
11.解析 (1)第二小组的数据无法计算河宽.
(2)第一小组:∵,
第三小组:设,则
答:河宽约为.
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