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第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用
A组
1. 小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到岸边1.5 m远的河底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，河水的深度为( )
A. 2 m B. 2.5 m
C. 2.25 m D. 3 m
A
2. 如图KH1-3-1，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2 m，梯子的顶端B到地面的距离为7 m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3 m，同时 梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（ ）
A. 小于1 m
B. 大于1 m
C. 等于1 m
D. 小于或等于1 m
A
3. 如图KH1-3-2，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了___________ m路，却踩伤了花草.
2
4. 一艘船由于风向的原因先向正东方向航行了160 km，然后向正北方向航行了120 km，这时 它离出发点有__________ km.
200
5. 已知在A岛上有一个观测站，上午8时 观测站发现在A岛正北方向7海里处有一艘船向正东方向航行，上午10时 ，该船到达距A岛25海里的B岛，求该船的航行速度.
解：由题意,画出图形如答图KH1-3-1，得AC=7海里，AB=25海里.
在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2=252-72=242.
所以BC=24（海里）.
因为航行了2小时 ，
所以船航行的速度为24÷2=12(海里/时 ).
答：该船的航行速度为12海里/时 .
B组
6. 如图KH1-3-3，供电所张师傅要安装电线杆，按要求电线杆要与地面垂直，因此，从离地面8 m高处向
地面拉一条长10 m的钢绳，现测得地面钢绳
固定点到电线杆底部的距离为6 m，请问：张
师傅的安装方法是否符合要求？请说明理由.
解：符合要求. 理由如下.
由题意知，BC=8 m，AC=10 m，AB=6 m.
因为82+62=102，即
BC2+AB2=AC2，
所以△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，即安装的电线杆与地面垂直.
7. 如图KH1-3-4，车高AC为4 m，货车卸货时 后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C=2 m，求弯折点B与地面的距离.
解：由题意，得AB=A1B，∠BCA=90°.
设BC=x m，则AB=A1B=（4-x） m.
在Rt△A1BC中，A1C2+BC2=A1B2，
即22+x2=（4-x）2.
解得x=
答：弯折点B与地面的距离为 m.
8. 一个零件的形状如图KH1-3-5，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角. 工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示.
（1）这个零件符合要求吗？
（2）求这个四边形的面积.
解：（1）因为AD=12，AB=9，BD=15，DC=17，BC=8，
所以AB2+AD2=BD2，BD2+BC2=DC2.
所以△ABD，△BDC都是直角三角形.
所以∠A=90°，∠DBC=90°.
故这个零件符合要求.
（2）S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD= ×12×9+ ×15×8=114.
C组
9. 如图KH1-3-6，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得BC=3 km，CH=2.4 km，HB=1.8 km.
（1）问CH是否为从村庄C到河边的
最近路（即CH与AB是否垂直）？请
通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长.
解：（1）是.理由如下.
在△CHB中，
因为CH2+BH2=（2.4）2+（1.8）2=9,
BC2=9,
所以CH2+BH2=BC2.
所以CH⊥AB.
所以CH是从村庄C到河边的最近路.
（2）设AC=x.
在Rt△ACH中，由已知得AC=AB=x，AH=x-1.8，CH=2.4,
由勾股定理,得AC2=AH2+CH2，
即x2=（x-1.8）2+（2.4）2.
解得x=2.5.
答：原来的路线AC的长为2.5 km.
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第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
A组
1.直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边长为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.10
B
2.如图KH1-1-1所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若最大正方形G的边长是6 cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G
的面积之和是（ ）
A.18 cm2
B.36 cm2
C.72 cm2
D.108 cm2
D
3.如图KH1-1-2，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是( )
A.48 B.60 C.76 D.80
4.如果梯子的底端离建筑物 5 m，那么13 m长的梯子可以到达建筑物的高度是（ ）
A.12 m B.13 m C.14 m D.15 m
C
A
5. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为__________.
6. 如图KH1-1-3，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于___________.
10
8π
B组
7. 历史上对勾股定理的一种验证法采用了如图KH1-1-4所示图形，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上. 验证中用到的面积相等关系是（ ）
A. S△EDA=S△CEB
B. S△EDA+S△CEB=S△CDE
C. S四边形CDAE=S四边形CDEB
D. S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD
D
8. 如图KH1-1-5，要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长d=12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜.
解：设育苗棚的宽为x m.
在直角三角形中，由勾股定理，得
h2+a2=x2，即x2=1.82+2.42=9.
解得x=3.
所以矩形塑料薄膜的面积=长×宽=12×3=36(m2).
答：需要36 m2塑料薄膜.
9. 如图KH1-1-6，为修铁路要凿通隧道AC，量出∠ACB=90°，AB=5 km，BC=4 km，若每天凿隧道0.15 km，则几天才能把隧道AC凿通？
解：因为∠ACB=90°，AB=5 km，BC=4 km，
由AC2+BC2=AB2，
得AC=3（km）.
3÷0.15=20（天）.
答：20天才能把隧道AC凿通.
C组
10. 如图KH1-1-7，在四边形ABCD中，
∠BAD=90°，∠CBD=90°，AD=4，
AB=3，BC=12，求以DC为边的正方形的
面积.
解：因为∠BAD=90°，
所以AD2+AB2=DB2.
所以42+32=DB2.
所以DB=5.
因为∠CBD=90°，
所以BD2+BC2=DC2.
所以52+122=DC2.
所以DC=13.
所以S正方形DCEF=DC2=132=169.
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第一章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗
A组
1. 小明想做一个直角三角形的木架，以下四组木棒中，三条能够刚好做成的是（ ）
A. 3 cm，4 cm，7 cm B. 6 cm，8 cm，12 cm
C. 7 cm，12 cm，15 cm D. 8 cm，15 cm，17 cm
D
2. 适合下列条件的△ABC中，直角三角形有( )
①a= b= c= ②a=6，b=8，c=10；③a=7，b=24，c=25；④a=2，b=3，c=4.
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
B
3. 有四个三角形，分别满足下列条件：①其中一个内角等于另外两个内角之和；②三个内角之比为3∶4∶5；③三边之比为5∶12∶13；④三边长分别为5，24，25. 其中直角三角形有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
4. △ABC的三边长分别是a，b，c，且满足|a-8|+（b-6）2=0，则当c2=__________时 ，△ABC是直角三角形.
5. 与5，13组成勾股数的第3个数有___________个.
100或28
1
B组
6. 观察下列几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…. 按此规律，当直角三角形的较短直角边长是11时 ，较长直角边长是___________；当直角三角形的较短直角边长是2n+1时 ，较长直角边长是___________.
60
2n2+2n
7. 判断以a=10,b=8，c=6为边长组成的三角形是不是直角三
角形.
解：因为a2 +b2=100+64=164≠c2，即a2+b2≠c2，所以以a，b，c为边长不能组成直角三角形.
请问：上述解法对吗？为什么？
解： 不对.理由如下.
根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，要看两条较短边长的平方和是不是等于最长边长的平方. 此题中两条较短边为b，c，而a2=b2+c2,
所以以a，b，c为边长组成的三角形是直角三角形.
8. 古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2-1，c=m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数.
解：正确.理由如下.
因为m表示大于1的整数，
所以a，b，c都是正整数，且c是最大边.
因为（2m）2+（m2-1）2=（m2+1）2，
所以a2+b2=c2，即a，b，c为勾股数.
当m=2时 ，可得一组勾股数：3，4，5.
C组
9. 如图KH1-2-1，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD. 若AB=10，AC=17，BD=6，AD=8，解答下列问题：
①求∠ADB的度数；②求BC的长.
小强做第①题的步骤如下：
因为AB2=BD2+AD2，
所以△ABD是直角三角形，∠ADB=90°.
（1）小强解答第①题的过程是否完整？如果不完整，请写出第①题的完整解答过程；
（2）完成第②题.
解：（1）不完整.
因为BD2+AD2=62+82=102=AB2，
所以△ABD是直角三角形.
所以∠ADB=90°.
（2）在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=225.
所以CD=15.
所以BC=BD+CD=6+15=21.
谢 谢
