专项训练 巧构直角三角形妙解实际问题（含答案）
文档属性
| 名称 | 专项训练 巧构直角三角形妙解实际问题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-16 08:10:44 | ||
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文档简介
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专项训练
巧构直角三角形妙解实际问题
类型一 作高——构造直角三角形
1.如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为 建筑物底端B的俯角为45°,点A,B,C,D,E在同一平面内,斜坡AD的坡度 根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为 ( )
A.136.6米 B.86.7米 C.186.7米 D.86.6米
2.如图，某河两侧的道路平行，为测量该河的宽度，实验学校数学实践活动小组的同学们从河一侧道路的A，B两处分别测得∠CAB=105°,∠CBA=30°,AB=60米,已知点C是该河另一侧道路的一个标志点，则该河的宽度约为多少米 结果保留整数)
3.如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达.当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路.请结合∠A=45°，∠B=30°,BC=100千米, 数据信息解答：公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米
类型二 作垂线段——构造直角三角形
4.如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60 m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度(或坡比),山坡坡底C点到坡顶D点的距离 ，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为(参考数据：( )
5.随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场B，C两点之间的距离.如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6m，此时从无人机测得广场C处的俯角为 他抬头仰视无人机时,仰角为α,若小星的身高(点A,E,B,C在同一平面内).
(1)求仰角α的正弦值；
(2)求B，C两点之间的距离(结果精确到).
6.如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里.
(1)求观测点B与C点之间的距离；
(2)有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到
海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要
的最少时间.
7.如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸， ∥综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度(EF与MN之间的距离)，已知河对岸EF上有建筑物C、D,且 米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东 方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据
所测数据求出该段河的宽度.(用非特殊角的三角函数或根式表示即可)
参考答案
1.A 如图,作DH⊥AB于H,延长DE交BC于F.
在 中, 米,设米, 则 米，根据勾股定理得 即 解得米.
∵四边形DHBF是矩形, 米.
在 中, 米.
在Rt△EFC中, (米).
米.故选A.
2.解析 过A点作 于H，过B点作BD垂直于过C点的该河另一侧的道路，垂足为D，如图.
∥∴
在 中, 米, 米,(米).
∵∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-105°-30°=45°,∴CH=AH=30米.∴BC=BH+CH=(30+30)米.
在Rt△BCD中,∵∠BCD=30°,∴BDBC= (米).
答：该河的宽度约为41米.
3.解析 如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D.
在Rt△BCD中,CD=BC·sinB=BC·50(千米),(千米).
在Rt△ACD中,∠A=45°,∴AD=CD=50(千米),(千米).
千米.
(千米).
答：从A地到景区B旅游可以少走35千米.
4.B 如图,过点D作DF⊥AB于F,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.
在Rt△DEC中, ,∴设,则,
由勾股定理可得
在Rt△ADF中,AF=DF·tan∠ADF=87×tan28°≈87×0.53=46.11 m.
∴AB=AF+FB=46.11+36≈82.1m.故选B.
5.解析 (1)如图,过A点作AD⊥BC于D,过E点作EF⊥AD于F.
∵∠EBD=∠FDB=∠DFE=90°,∴四边形BDFE为矩形.∴.
在Rt△AEF中, 即
答：仰角α的正弦值为.
(2)在Rt△AEF中, .
在Rt△ACD中,∠ACD=63°,AD=41.6m,tan∠ACD=
答：B，C两点之间的距离约为51m.
6.解析 (1)如图，过点C作CE⊥AB于45°点E,
根据题意可知 海里,∴海里.
(海里).
答：观测点B与C点之间的距离为50海里.
(2)如图,作CF⊥DB交DB的延长线于点F.∵CF⊥DB,FB⊥EB,CE⊥AB,∴四边形CEBF是
矩形.∴FB=CE=25海里, 25 (海里).
∴(海里).
在Rt△DCF中，根据勾股定理，得 (海里).
(小时)，∴救援船到达C点需要的最少时间是 小时.
7.解析 如图,过C,D分别作 垂足分别为P，Q，设河宽为x米.
由题意知,∠CAN=45°,∴AP=CP=米.
在 中,∠BDQ=55°, ∴
答：河宽为 米.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专项训练
巧构直角三角形妙解实际问题
类型一 作高——构造直角三角形
1.如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为 建筑物底端B的俯角为45°,点A,B,C,D,E在同一平面内,斜坡AD的坡度 根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为 ( )
A.136.6米 B.86.7米 C.186.7米 D.86.6米
2.如图，某河两侧的道路平行，为测量该河的宽度，实验学校数学实践活动小组的同学们从河一侧道路的A，B两处分别测得∠CAB=105°,∠CBA=30°,AB=60米,已知点C是该河另一侧道路的一个标志点，则该河的宽度约为多少米 结果保留整数)
3.如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达.当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路.请结合∠A=45°，∠B=30°,BC=100千米, 数据信息解答：公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米
类型二 作垂线段——构造直角三角形
4.如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60 m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度(或坡比),山坡坡底C点到坡顶D点的距离 ，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为(参考数据：( )
5.随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场B，C两点之间的距离.如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6m，此时从无人机测得广场C处的俯角为 他抬头仰视无人机时,仰角为α,若小星的身高(点A,E,B,C在同一平面内).
(1)求仰角α的正弦值；
(2)求B，C两点之间的距离(结果精确到).
6.如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里.
(1)求观测点B与C点之间的距离；
(2)有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到
海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要
的最少时间.
7.如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸， ∥综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度(EF与MN之间的距离)，已知河对岸EF上有建筑物C、D,且 米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东 方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据
所测数据求出该段河的宽度.(用非特殊角的三角函数或根式表示即可)
参考答案
1.A 如图,作DH⊥AB于H,延长DE交BC于F.
在 中, 米,设米, 则 米，根据勾股定理得 即 解得米.
∵四边形DHBF是矩形, 米.
在 中, 米.
在Rt△EFC中, (米).
米.故选A.
2.解析 过A点作 于H，过B点作BD垂直于过C点的该河另一侧的道路，垂足为D，如图.
∥∴
在 中, 米, 米,(米).
∵∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-105°-30°=45°,∴CH=AH=30米.∴BC=BH+CH=(30+30)米.
在Rt△BCD中,∵∠BCD=30°,∴BDBC= (米).
答：该河的宽度约为41米.
3.解析 如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D.
在Rt△BCD中,CD=BC·sinB=BC·50(千米),(千米).
在Rt△ACD中,∠A=45°,∴AD=CD=50(千米),(千米).
千米.
(千米).
答：从A地到景区B旅游可以少走35千米.
4.B 如图,过点D作DF⊥AB于F,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.
在Rt△DEC中, ,∴设,则,
由勾股定理可得
在Rt△ADF中,AF=DF·tan∠ADF=87×tan28°≈87×0.53=46.11 m.
∴AB=AF+FB=46.11+36≈82.1m.故选B.
5.解析 (1)如图,过A点作AD⊥BC于D,过E点作EF⊥AD于F.
∵∠EBD=∠FDB=∠DFE=90°,∴四边形BDFE为矩形.∴.
在Rt△AEF中, 即
答：仰角α的正弦值为.
(2)在Rt△AEF中, .
在Rt△ACD中,∠ACD=63°,AD=41.6m,tan∠ACD=
答：B，C两点之间的距离约为51m.
6.解析 (1)如图，过点C作CE⊥AB于45°点E,
根据题意可知 海里,∴海里.
(海里).
答：观测点B与C点之间的距离为50海里.
(2)如图,作CF⊥DB交DB的延长线于点F.∵CF⊥DB,FB⊥EB,CE⊥AB,∴四边形CEBF是
矩形.∴FB=CE=25海里, 25 (海里).
∴(海里).
在Rt△DCF中，根据勾股定理，得 (海里).
(小时)，∴救援船到达C点需要的最少时间是 小时.
7.解析 如图,过C,D分别作 垂足分别为P，Q，设河宽为x米.
由题意知,∠CAN=45°,∴AP=CP=米.
在 中,∠BDQ=55°, ∴
答：河宽为 米.
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