第二章 基本初等函数（Ⅰ）
本章教材分析
教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题.
本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=ax的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=logax的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）;知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a＞0,a≠1）,初步了解反函数的概念和f-1(x)的意义;通过实例了解幂函数的概念,结合五种具体函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x的图象,了解它们的变化情况.
本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点.
教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.
本章教学时间约需14课时,具体分配如下（仅供参考）
2.1 指数函数 约6课时
2.2 对数函数 约6课时
2.3 幂函数 约1课时
本章复习 约1课时
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
整体设计
教学分析
我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.
教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.
根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.
三维目标
1.通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力.
2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.
3.能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.
4.通过训练及点评,让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.
重点难点
教学重点：
(1)分数指数幂和根式概念的理解.
(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质.
(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值.
教学难点:
(1)分数指数幂及根式概念的理解.
(2)有理指数幂性质的灵活应用.
课时安排
3课时
教学过程
第1课时 指数与指数幂的运算(1)
导入新课
思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化,又怎样判断它们所处的年代 (考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的,第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本节课题:指数函数——指数与指数幂的运算.
思路2.同学们,我们在初中学方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的,这就是我们本堂课研究的课题:指数函数——指数与指数幂的运算.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？
(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢
(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗
(4)可否用一个式子表达呢
活动：教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的,对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子,对问题②的结论进行引申、推广,相互交流讨论后回答,教师及时启发学生,具体问题一般化,归纳类比出n次方根的概念,评价学生的思维.
讨论结果：
(1)若x2=a,则x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4的平方根为±2,负数没有平方根,同理,若x3=a,则x叫做a的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8的立方根为-2.
(2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于a,则这个数叫a的四次方根.一个数的五次方等于a,则这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根.
(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根.
(4)用一个式子表达是,若xn=a,则x叫a的n次方根.
教师板书n次方根的意义:
一般地,如果xn=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n＞1且n∈N*.
可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.
提出问题
(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗 (多媒体显示以下题目).
①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.
(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点 4,±8,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数,有什么特点
(3)问题（2）中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢
(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢
活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念,求一个数a的n次方根,就是求出的那个数的n次方等于a,及时点拨学生,从数的分类考虑,可以把具体的数写出来,观察数的特点,对问题（2）中的结论,类比推广引申,考虑要全面,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
讨论结果：
（1）因为±2的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a2.
（2）方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总的来看,这些数包括正数,负数和零.
（3）一个数a的奇次方根只有一个,一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反数.0的任何次方根都是0.
（4）任何一个数a的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶次方是一个负数.
类比前面的平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到n次方根的性质:
①当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用表示,如果是负数,负的n次方根用表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成±(a＞0).
②n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用符号表示.
③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零.
上面的文字语言可用下面的式子表示:
a为正数:
a为负数:
零的n次方根为零,记为=0.
可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例.
思考根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况
活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根,负数的奇次方根,零的任何次方根,这样才不重不漏,同时巡视学生,随机给出一个数,我们写出它的平方根,立方根,4次方根等,看是否有意义,注意观察方根的形式,及时纠正学生在举例过程中的问题.
解答：答案不唯一,比如,64的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5次方根为,而-27的4次方根不存在等.其中也表示方根,它类似于的形式,现在我们给式子一个名称——根式.
根式的概念:
式子叫根式,其中a叫被开方数,n叫根指数.
如中,3叫根指数,-27叫被开方数.
思考
表示an的n次方根,等式=a一定成立吗？如果不一定成立,那么等于什么？
活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号,充分让学生多举实例,分组讨论.教师点拨,注意归纳整理.
〔如==-3,=|-8|=8〕.
解答：根据n次方根的意义,可得:()n=a.
通过探究得到：n为奇数,=a.
n为偶数,=|a|=
因此我们得到n次方根的运算性质：
①()n=a.先开方,再乘方（同次）,结果为被开方数.
②n为奇数,=a.先奇次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数.
n为偶数,=|a|=a,先偶次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数的绝对值.
应用示例
思路1
例1求下列各式的值:
(1);(2);(3);(4)(a>b).
活动：求某些式子的值,首先考虑的应是什么,明确题目的要求是什么,都用到哪些知识,关键是啥,搞清这些之后,再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况,让学生展示结果,抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运算性质来解,首先要搞清楚运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是奇数还是偶数,如果是奇数,无需考虑符号,如果是偶数,开方的结果必须是非负数.
解：(1)=-8;
(2)=10;
(3)=π-3;
(4)=a-b(a>b).
点评：不注意n的奇偶性对式子的值的影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理解的基础上,记准,记熟,会用,活用.
变式训练
求出下列各式的值:
(1);
(2)(a≤1);
(3).
解：(1)=-2,
(2)(a≤1)=3a-3,
(3)=
点评：本题易错的是第(3)题,往往忽视a与1大小的讨论,造成错解.
思路2
例1下列各式中正确的是( )
(1)=a;
(2)=;
(3)a0=1;
(4)=.
活动：教师提示,这是一道选择题,本题考查n次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解,既要考虑被开方数,又要考虑根指数,严格按求方根的步骤,体会方根运算的实质,学生先思考哪些地方容易出错,再回答.
解：(1)=a,考查n次方根的运算性质,当n为偶数时,应先写=|a|,故本题错.
(2)=,本质上与上题相同,是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,结论为=,故本题错.
(3)a0=1是有条件的,即a≠0,故本题也错.
(4)是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故本题正确.所以答案选(4).
点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序,有时极易选错,选四个答案的情况都会有,因此解题时千万要细心.
例+=_________
活动：让同学们积极思考,交流讨论,本题乍一看内容与本节无关,但仔细一想,我们学习的内容是方根,这里是带有双重根号的式子,去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解题的关键,因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入手 需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键,教师提示,引导学生解题的思路.
解：===+1.
===-1.
所以+=2.
点评：不难看出与形式上有些特点,即是对称根式,是形式的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式.
思考
上面的例2还有别的解法吗
活动：教师引导,去根号常常利用完全平方公式,有时平方差公式也可,同学们观察两个式子的特点,具有对称性,再考虑并交流讨论,一个是+,一个是-,去掉一层根号后,相加正好抵消.同时借助平方差,又可去掉根号,因此把两个式子的和看成一个整体,两边平方即可,探讨得另一种解法.
另解：利用整体思想,x=+,
两边平方得x2=3+2+3-2+2()()=6+2=6+2=8,所以x=2.
点评：对双重二次根式,特别是形式的式子,我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式,问题迎刃而解,另外对的式子,我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解.
变式训练
若=a-1，求a的取值范围.
解：因为=a-1,而==|a-1|=a-1,
即a-1≥0,
所以a≥1.
点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号,是解题的关键.
知能训练
(教师用多媒体显示在屏幕上)
1.以下说法正确的是( )
A.正数的n次方根是一个正数
B.负数的n次方根是一个负数
C.0的任何次方根都是零
D.a的n次方根用表示(以上n＞1且n∈N*).
答案：C
2.化简下列各式:
(1);(2);(3);(4);(5).
答案：(1)2;(2);(3)x2;(4)|x|;(5)|x-y|.
3.计算=__________.
解：
=
=
=++-
=2.
答案：2
拓展提升
问题：=a与()n=a（n＞1,n∈N）哪一个是恒等式,为什么 请举例说明.
活动：组织学生结合前面的例题及其解答,进行分析讨论,解决这一问题要紧扣n次方根的定义.
通过归纳,得出问题结果,对a是正数和零,n为偶数时,n为奇数时讨论一下.再对a是负数,n为偶数时,n为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论.
解答：①（）n=a（n＞1,n∈N）.
如果xn=a（n＞1,且n∈N）有意义,则无论n是奇数或偶数,x=一定是它的一个n次方根,所以（）n=a恒成立.
例如：（）4=3,=－5.
②=
当n为奇数时,a∈R,=a恒成立.
例如：=2,=－2.
当n为偶数时,a∈R,an≥0,表示正的n次方根或0,所以如果a≥0,那么=a.例如=3, =0；如果a＜0,那么=|a|=－a,如==3.
即（na）n=a（n＞1,n∈N）是恒等式,=a（n＞1,n∈N）是有条件的.
点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解.
课堂小结
学生仔细交流讨论后,在笔记上写出本节课的学习收获,教师用多媒体显示在屏幕上.
1.如果xn=a,那么x叫a的n次方根,其中n＞1且n∈N*.用式子表示,式子叫根式,其中a叫被开方数,n叫根指数.
(1)当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用表示,如果是负数,负的n次方根用-表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成±(a＞0).
(2)n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用符号表示.
(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零.
2.掌握两个公式：n为奇数时,()n=a,n为偶数时,=|a|=
作业
课本P59习题2.1A组 1.
补充作业:
1.化简下列各式：
(1);(2);(3);(4).
解：(1)===;
(2)==;
(3)==x2;
(4)==.
2.若5
分析:因为5答案：2a-13.
3.=__________.
分析：对双重二次根式,我们觉得难以下笔,我们考虑只有在开方的前提下才可能解出,由此提示我们想办法去掉一层根式,
不难看出==+.
同理==-.所以+=2.
答案：2
设计感想
学生已经学习了数的平方根和立方根,根式的内容是这些内容的推广,本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解,在引入根式的概念时,要结合已学内容,列举具体实例,根式的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行,每种情况又分a>0,a<0,a=0三种情况,并结合具体例子讲解,因此设计了大量的类比和练习题目,要灵活处理这些题目,帮助学生加以理解,所以需要用多媒体信息技术服务教学.
(设计者：路致芳)2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
整体设计
教学分析
我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.
教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.
三维目标
1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.
2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识.
3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性.
重点难点
教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用.
教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用.
课时安排
3课时
教学过程
第1课时 对数与对数运算(1)
导入新课
思路1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？
2.假设2002年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？
抽象出：1.()4＝？()x＝0.125x=
2.(1+8%)x=2x= 都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.
思路2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.
推进新课
新知探究
提出问题
(对于课本P572.1.2的例8)
①利用计算机作出函数y=13×1.01x的图象.
②从图象上看,哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿…
③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解？
即=1.01x,=1.01x,=1.01x,在这几个式子中,x分别等于多少？
④你能否给出一个一般性的结论
活动：学生讨论并作图,教师适时提示、点拨.
对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.
对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.
对问题③,定义一种新的运算.
对问题④,借助③,类比到一般的情形.
讨论结果：①如图2-2-1-1.
图2-2-1-1
②在所作的图象上,取点P,测出点P的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年,43年,84年,我国人口分别约为18亿,20亿,30亿.
③=1.01x,=1.01x,=1.01x,在这几个式子中,要求x分别等于多少,目前我们没学这种运算,可以定义一种新运算,即若=1.01x,则x称作以1.01为底的的对数.其他的可类似得到,这种运算叫做对数运算.
④一般性的结论就是对数的定义:
一般地,如果a(a>0,a≠1)的x次幂等于N,就是ax=N,那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
有了对数的定义,前面问题的x就可表示了:
x=log1.01,x=log1.01,x=log1.01.
由此得到对数和指数幂之间的关系:
a N b
指数式ab=N 底数 幂 指数
对数式logaN=b 对数的底数 真数 对数
例如：42=162=log416;102=1002=log10100;4=2=log42;10-2=0.01-2=log100.01
提出问题
①为什么在对数定义中规定a>0,a≠1
②根据对数定义求loga1和logaa(a>0,a≠1)的值.
③负数与零有没有对数
④=N与logaab=b(a>0,a≠1)是否成立
讨论结果：①这是因为若a＜0,则N为某些值时,b不存在,如log（－2）;
若a=0,N不为0时,b不存在,如log03,N为0时,b可为任意正数,是不唯一的,即log00有无数个值;
若a=1,N不为1时,b不存在,如log12,N为1时,b可为任意数,是不唯一的,即log11有无数个值.综之,就规定了a＞0且a≠1.
②loga1=0,logaa=1.
因为对任意a>0且a≠1,都有a0=1,所以loga1=0.
同样易知：logaa=1.
即1的对数等于0,底的对数等于1.
③因为底数a＞0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b∈R,ab＞0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数.
④因为ab=N,所以b=logaN,ab=a=N,即a=N.
因为ab=ab,所以logaab=b.故两个式子都成立.(a=N叫对数恒等式)
思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗
活动：同学们阅读课本P68的内容,教师引导,板书.
解答：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N的常用对数log10N简记作lgN.
例如：log105简记作lg5;log103.5简记作lg3.5.
②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28……为底的对数,以e为底的对数叫自然对数,为了简便,N的自然对数logeN简记作lnN.
例如：loge3简记作ln3;loge10简记作ln10.
应用示例
思路1
例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：
（1）54=625;（2）2-6=;（3）()m=5.73;
(4)log16=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.
活动：学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问题.
对（1）根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数.
对（2）根据指数式与对数式的关系,-6在指数位置上,-6是以2为底的对数.
对（3）根据指数式与对数式的关系,m在指数位置上,m是以为底5.73的对数.
对(4)根据指数式与对数式的关系,16在真数位置上,16是的-4次幂.
对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01在真数位置上,0.01是10的-2次幂.
对(6)根据指数式与对数式的关系,10在真数位置上,10是e的2.303次幂.
解：（1）log5625=4;（2）log2=-6;（3）log5.73=m;
（4）()-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e2.303=10.
思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题
活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的关系,特别是位置的对照.
解答：若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N与b在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据.
变式训练
课本P64练习 1、2.
例2求下列各式中x的值:
（1）log64x=;（2）logx8=6;
（3）lg100=x;（4）-lne2=x.
活动：学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与对数式的关系,转化为指数式求解.
解：（1）因为log64x=-,所以x=64=(2)=2-4=.
（2）因为logx8=6,所以x6=8=23=()6.因为x>0,因此x=.
（3）因为lg100=x,所以10x=100=102.因此x=2.
（4）因为-lne2=x,所以lne2=-x,e-x=e2.因此x=-2.
点评：本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解.
变式训练
求下列各式中的x：
①log4x=;②logx27=;③log5（log10x）=1.
解：①由log4x=,得x=4=2;
②由logx27=,得x=27,所以x=27=81;
③由log5（log10x）=1,得log10x=5,即x=105.
点评：在解决对数式的求值问题时,若不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果.
思路2
例1以下四个命题中,属于真命题的是（ ）
（1）若log5x=3,则x=15 （2）若log25x=,则x=5 （3）若logx=0,则x= （4）若log5x=－3,则x=
A.（2）（3） B.（1）（3） C.（2）（4） D.（3）（4）
活动：学生观察,教师引导学生考虑对数的定义.
对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果.
对于（1）因为log5x=3,所以x=53=125,错误;
对于（2）因为log25x=,所以x=25=5,正确;
对于（3）因为logx=0,所以x0=,无解,错误;
对于（4）因为log5x=－3,所以x=5-3=,正确.
总之（2）（4）正确.
答案：C
点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据.
例2
对于a＞0,a≠1,下列结论正确的是（ ）
（1）若M=N,则logaM=logaN （2）若logaM=logaN,则M=N （3）若logaM2=logaN2,则M=N
（4）若M=N,则logaM2=logaN2
A.（1）（3） B.（2）（4） C.（2） D.（1）（2）（4）
活动：学生思考,讨论,交流,回答,教师及时评价.
回想对数的有关规定.
对（1）若M=N,当M为0或负数时logaM≠logaN,因此错误;
对（2）根据对数的定义,若logaM=logaN,则M=N,正确;
对（3）若logaM2=logaN2,则M=±N,因此错误;
对（4）若M=N=0时,则logaM2与logaN2都不存在,因此错误.
综上,（2）正确.
答案：C
点评：0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个.
例3计算：
(1)log927;(2)log81;(3)log(2-3);(4)log625.
活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.
解法一：(1)设x=log927,则9x=27,32x=33,所以x=;
(2)设x=log81,则()x=81,3=34,所以x=16;
(3)令x=log(2-)=log(2+)-1,
所以(2+)x=(2+)-1,x=-1;
(4)令x=log625,所以()x=625,5x=54,x=3.
解法二：(1)log927=log933=log99=;
(2)log81=log()16=16;
(3)log(2-)=log(2+)-1=-1;
(4)log625=log()3=3.
点评：首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和对数恒等式的依据.
变式训练
课本P64练习 3、4.
知能训练
1.把下列各题的指数式写成对数式:
(1)42＝16;（2）30=1;（3）4x＝2;（4）2x＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=;(7)()-2=16.
解：(1)2＝log416;(2)0＝log31;(3)ｘ＝log4２;(4)ｘ＝log20.5;(5)4=log5625;
(6)-2=log3;(7)-2=log16.
2.把下列各题的对数式写成指数式:
(1)ｘ＝log527;(2)ｘ＝log87;(3)ｘ＝log43;(4)ｘ＝log7;
(5)log216=4;(6)log27=-3;(7)log=6;(8)logx64=-6;
(9)log2128=7;(10)log327=a.
解：(1)5x＝27;(2)8x＝７;(3)4x＝3;(4)7x＝;(5)24=16;(6)()-3=27;(7)()6
=x;(8)x-6=64;(9)27=128;(10)3a=27.
3.求下列各式中x的值:
(1)log8x=;(2)logx27=;(3)log2（log5x）=1;(4)log3（lgx）=0.
解：(1)因为log8x=,所以x=8=(23)==2-2=;
(2)因为logx27=,所以x=27=33,即x=(33)=34=81;
(3)因为log2（log5x）=1,所以log5x=2,x=52=25;
(4)因为log3（lgx）=0,所以lgx=1,即x=101=10.
4.(1)求log84的值;
(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.
解：(1)设log84=x,根据对数的定义有8x=4,即23x=22,所以x=,即log84=;
(2)因为loga2=m,loga3=n,根据对数的定义有am=2,an=3,
所以a2m+n=(am)2·an=(2)2·3=4×3=12.
点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用.
拓展提升
请你阅读课本75页的有关阅读部分的内容,搜集有关对数发展的材料,以及有关数学家关于对数的材料,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下基础.
课堂小结
(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数.
作业
课本P74习题2.2A组 1、2.
【补充作业】
1.将下列指数式与对数式互化,有x的求出x的值.
（1）5=;（2）log24=x;（3）3x=;
（4）()x=64;（5）lg0.000 1=x;（6）lne5=x.
解：（1）5=化为对数式是log5=;
（2）x=log4化为指数式是()x=4,即2=22,=2,x=4;
（3）3x=化为对数式是x=log3,因为3x=()3=3-3,所以x=-3;
（4）()x=64化为对数式是x=log64,因为()x=64=43,所以x=-3;
（5）lg0.0001=x化为指数式是10x=0.0001,因为10x=0.000 1=10-4,所以x=-4;
（6）lne5=x化为指数式是ex=e5,因为ex=e5,所以x=5.
2.计算的值.
解：设x=log3,则3x=,(3)x=(),所以x=log.
所以3===.
3.计算(a>0,b>0,c>0,N>0).
解：===N.
设计感想
本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上,为了运算的方便,引进了对数的概念,使学生感受到对数的现实背景,它有着丰富的内涵,和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,鉴于这种情况,安排教学时,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详细,通俗易懂,要反复练习,要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别,结合指数式理解对数式,强化对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务,为下一节课作准备.
(设计者：路致芳)第3课时 指数与指数幂的运算(3)
导入新课
思路1.
同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢 回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂.
思路2.
同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①我们知道=1.414 213 56…,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是的什么近似值？
②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律
的过剩近似值5 5的近似值
1.5 11.18033989
1.42 9.82935328
1.415 9.750851808
1.4143 9.73987262
1.41422 9.738618643
1.414214 9.738524602
1.4142136 9.738518332
1.41421357 9.738517862
1.414213563 9.73817752
5的近似值 的不足近似值
9.518 269 694 1.4
9.672 669 973 1.41
9.735 171 039 1.414
9.738 305 174 1.414 2
9.738 461 907 1.414 213
9.738 508 928 1.414 213
9.738 516 765 1.414 213 5
9.738 517 705 1.414 213 56
9.738 517 736 1.414 213 562
③你能给上述思想起个名字吗
④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢 如5,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗
⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗
活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:
问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于的方向,另一方面从小于的方向.
问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.
问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.
问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.
问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.
讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…这些数都小于,称的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于,称的过剩近似值.
②第一个表:从大于的方向逼近时,5就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近5.
第二个表:从小于2的方向逼近时,5就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于5的方向逼近5.
从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面5从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于5的方向接近5,而另一方面5从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于5的方向接近5,可以说从两个方向无限地接近5,即逼近5,所以5是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示5的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是5一定是一个实数,即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…<5<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.
充分表明5是一个实数.
③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识.
④根据②③我们可以推断5是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.
⑤无理数指数幂的意义:
一般地,无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.
也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.
提出问题
（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数
（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的 是否与有理数指数幂的运算法则相通呢
（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗
活动：教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳.
对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.
对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通.
对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.
讨论结果：（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么aα是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂aα是一个确定的实数,就不会再造成混乱.
（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则:
①ar·as=ar+s(a>0,r,s都是无理数).
②(ar)s=ars(a>0,r,s都是无理数).
③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r是无理数).
（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂.
实数指数幂的运算性质:
对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:
①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈R).
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).
③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).
应用示例
思路1
例1利用函数计算器计算.（精确到0.001）
（1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.1;（4）.
活动：教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数值,对于（1）,可先按底数0.3,再按键,再按幂指数2.1,最后按,即可求得它的值；
对于（2）,先按底数3.14,再按键,再按负号键,再按3,最后按即可;
对于(3),先按底数3.1,再按键,再按34,最后按即可;
对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按键,再按键,再按3,最后按键.有时也可按或键,使用键上面的功能去运算.
学生可以相互交流,挖掘计算器的用途.
答案：（1）0.32.1≈0.080;（2）3.14-3≈0.032;
（3）3.1≈2.336;（4）≈6.705.
点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n位,只需看第（n+1）位能否进位即可.
例2求值或化简.
(1)(a>0,b>0);
(2)()(a>0,b>0);
(3).
活动：学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成()2+()2,22+()2,22+()2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律.
解：(1)=(ab)=a-2bab=ab=.
点评：根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.
(2)()=aabb=a0b0=.
点评：化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.
(3)
=
=-+2--2+
=0.
点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.
例3已知x=(5-5),n∈N*,求(x+)n的值.
活动：学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5与5具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.
x2=(5-5)2=(5-2·50+5)
=(5+2+5-4)
=(5+5)2-1.
这时应看到
1+x2=1+(-5)2=(5+5)2,
这样先算出1+x2,再算出,带入即可.
解：将x=(5-5)代入1+x2，得1+x2=1+(5-5)2=(5+5)n,
所以(x+)n=［(5-5)+］n
=［(5-5)+(5+5)］n=(5)n=5.
点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.
思路2
例1计算:(1);
(2)125+()-2+343-();
(3)(-2xy)(3xy)；
(4)(x-y)÷(x-y).
活动：学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价.
解：(1)
=()+()+(0.062 5)+1-
=()2×+()+(0.5)+
=++0.5+
=5;
(2)125+()-2+343-()
=(53)+(2-1)-2+(73)-(3-3)
=5+2-2×(-1)+7-3
=25+4+7-3=33;
(3)(-2xy)(3xy)=(-2×3)(xx·yy)
==-6xy
=;
(4)(x-y)÷(x-y)=((x)2-(y)2)÷(x-y)
=(x+y)(x-y)÷(x-y)
=x+y.
点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.
例2化简下列各式:
(1);
(2)(a3+a-3)(a3-a-3)÷［(a4+a-4+1)(a-a-1)］.
活动：学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查x2与x的关系可知x2=(x)3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流.
解：(1)原式=
=
==;
(2)原式=［(a3)2-(a-3)2］÷［(a4+a-4+1)(a-a-1)］
====a+a-1.
点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a=(a)3还容易看出,对其中夹杂的数字m可以化为m·aa=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力.
知能训练
课本P59习题2.1A组 3.
利用投影仪投射下列补充练习:
1.化简:(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)的结果是( )
A.(1-2)-1 B.(1-2)-1 C.1-2 D.(1-2)
分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形.
因为(1+2)(1-2)=1-2,所以原式的分子分母同乘以(1-2),
依次类推,所以==(1-2)-1.
答案：A
2.计算(2)0.5+0.1-2+(2)-3π0+9-0.5+490.5×2-4.
解：原式=()+100+()-3+49×=+100+-3++=100.
3.计算(a≥1).
解：原式=(a≥1).
本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.
4.设a>0,x=(a-a),则(x+)n的值为_______.
分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到
解：1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.
这样先算出1+x2,再算出,
将x=(a-a)代入1+x2,得1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.
所以(x+)n=［(a-a)+(a+a)2］n
=［(a-a)+(a+a)］n=a.
答案：a
拓展提升
参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂的意义.
活动：教师引导学生回顾无理数指数幂5的意义的过程,利用计算器计算出3的近似值,取它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算的过剩近似值和不足近似值,利用逼近思想,“逼出”的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.
解：3=1.73205080…,取它的过剩近似值和不足近似值如下表.
的过剩近似值 的过剩近似值 的不足近似值 的不足近似值
1.8 3.482202253 1.7 3.249009585
1.74 3.340351678 1.73 3.317278183
1.733 3.324183446 1.731 3.319578342
1.7321 3.32211036 1.7319 3.321649849
1.73206 3.322018252 1.73204 3.3219722
1.732015 3.321997529 1.732049 3.321992923
1.7320509 3.321997298 1.7320507 3.321996838
1.73205081 3.321997019 1.73205079 3.321997045
我们把用2作底数,的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数
21.7,21.72,21.731,21.7319,…,
同样把用2作底数, 的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数:
21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不难看出的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即3的近似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数,我们把这个数记为.
即21.7<21.73<21.731<21.7319<…<<…<21.7321<21.733<21.74<21.8.
也就是说是一个实数,=3.321 997 …也可以这样解释:
当3的过剩近似值从大于的方向逼近时,的近似值从大于的方向逼近；
当3的不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于的方向逼近.
所以就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.7319,…,和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.7321,…,按上述规律变化的结果,即≈3.321 997.
课堂小结
(1)无理指数幂的意义.
一般地,无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.
(2)实数指数幂的运算性质:
对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:
①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈R).
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).
③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).
(3)逼近的思想,体会无限接近的含义.
作业
课本P60习题2.1 B组 2.
设计感想
无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼近的思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.第2课时 指数与指数幂的运算(2)
导入新课
思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.
思路2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)整数指数幂的运算性质是什么？
(2)观察以下式子,并总结出规律：a＞0,
①==a2=a;
②==a4=a;
③==a3=a;
④==a5=a.
(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？
,,,(x>0,m,n∈N*,且n>1).
(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？
(5)你能推广到一般的情形吗？
活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.
讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a·a·a·…·a,a0=1(a≠0);00无意义;
a-n=(a≠0);am·an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.
(2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根.实质上①=a,②=a,③=a,④=a结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了,,,,形式上变了,本质没变.
根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）.
(3)利用(2)的规律,=5,=7,=a,=x.
(4)53的四次方根是5,75的三次方根是7,a7的五次方根是a,xm的n次方根是x.
结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.
(5)如果a>0,那么am的n次方根可表示为m=a,即a=m(a>0,m,n∈N*,n>1).
综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书:
规定:正数的正分数指数幂的意义是a=m(a>0,m,n∈N*,n>1).
提出问题
①负整数指数幂的意义是怎样规定的
②你能得出负分数指数幂的意义吗
③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义
④综合上述,如何规定分数指数幂的意义
⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果
⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢
活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a＞0的必要性,教师及时作出评价.
讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a-n=(a≠0),n∈N*.
②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.
规定:正数的负分数指数幂的意义是a==(a>0,m,n∈N*,n>1).
③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.
④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是:
正数的正分数指数幂的意义是a=(a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a==(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.
⑤若没有a＞0这个条件会怎样呢
如(-1)=3-1=-1,(-1)=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a＞0的条件,比如式子3a2=|a|,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.
⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.
有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质:
（1）ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q),
（2）(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),
（3）(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题.
应用示例
思路1
例1求值:①8;②25③()-5;④().
活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52, 写成2-1,写成()4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来.
解：①8=(23)=2=22=4;
②25=(52)=5=5-1=;
③()-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;
④()=()=()-3=.
点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如8===4.
例2用分数指数幂的形式表示下列各式.
a3·;a2·;(a>0).
活动：学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结.
解：a3·=a3·a=a=a;
a2·=a2·a=a=a;
=(a·a)=(a)=a.
点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.
例3计算下列各式（式中字母都是正数）:
（1）(2ab)(-6ab)÷(-3ab);
（2）(mn)8.
活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流,其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注意符号,第（2）小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简化步骤.
解：（1）原式=［2×(-6)÷(-3)］ab=4ab0=4a;
（2）(mn)8=(m)8(n)8=mn=m2n-3=.
点评：分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了.
本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用.
变式训练
求值:
(1)3··;
(2).
解：(1)3··=3·3·3·3=3=32=9；
(2)=(=(===.
例4计算下列各式:
（1）()÷;
（2）(a＞0）.
活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第（1）小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答.
解：（1）原式=(25-125)÷25=(5-5)÷5
=5-5=5-5=-5;
（2）==a=a=.
思路2
例1比较,,的大小.
活动：学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指数,才能进行比较,又因为根指数最大的是6,所以我们应化为六次根式,然后,只看被开方数的大小就可以了.
解：因为==,=,而125＞123＞121,所以>>.
所以>>.
点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法.
例2求下列各式的值:
(1);
(2)2××.
活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往外=,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价.
解：(1)=［34×(3)］=(3)=(3)=3=;
(2)=2×3×()×(3×22)=2·3=2×3=6.
例3计算下列各式的值:
（1）［(ab2)-1·(ab-3)(b)7］;
（2）;
(3).
活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方,再进行同底数幂的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再进行同底数幂的乘法,对（2）把分数指数化为根式,然后通分化简,对（3）把根式化为分数指数,进行积的乘方,再进行同底数幂的运算.
解：(1)原式=(ab2)(ab-3)·(b)=ababb=ab=ab0=a;
另解：原式=(ab-2ab·b)
=(ab)=(a2b0)=a;
（2）原式=====
=;
（3）原式=（ab）-3÷(b-4a-1)=ab-2÷b-2a=ab-2+2=a-1=.
例4已知a＞0,对于0≤r≤8,r∈N*,式子()8-r·r能化为关于a的整数指数幂的情形有几种？
活动：学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方,化为关于a的指数幂的情形,再讨论,及时评价学生的作法.
解：()8-r·r=a·a=a=a.
16-3r能被4整除才行,因此r=0,4,8时上式为关于a的整数指数幂.
点评：本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分数指数幂进行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式.
例5已知f（x）=ex－e-x,g（x）=ex+e-x.
（1）求［f（x）］2－［g（x）］2的值；
（2）设f（x）f（y）=4,g（x）g（y）=8,求的值.
活动：学生观察题目的特点,说出解题的办法,整体代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果学生有难度,教师可以提示引导,对（1）为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难以发现已知和未知的关系,可写出具体算式,予以探求.
解：(1)［f（x）］2－［g（x）］2=［f（x）+g（x）］·［f（x）－g（x）］
=（ex－e-x+ex+e-x）（ex－e-x－ex－e-x）=2ex（－2e-x）=－4e0=－4;
另解：(1)［f（x）］2－［g（x）］2=(ex-e-x)2-(ex+e-x)2
=e2x-2exe-x+e-2x-e2x-2exe-x-e-2x
=-4ex-x=-4e0=-4;
(2)f（x）·f（y）=（ex－e-x）（ey－e-y）=ex+y+e-(x+y)－ex-y－e-(x-y)=g（x+y）－g（x－y）=4,
同理可得g（x）g（y）=g（x+y）+g（x－y）=8,
得方程组解得g（x+y）=6,g（x－y）=2.
所以==3.
点评：将已知条件变形为关于所求量g（x+y）与g（x－y）的方程组,从而使问题得以解决,这种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所体现的数学思想即方程思想,是数学中重要的数学思想.
知能训练
课本P54练习 1、2、3.
［补充练习］
教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表扬鼓励.
1.(1)下列运算中,正确的是( )
A.a2·a3=a6
B.(-a2)3=(-a3)2
C.(-1)0=0
D.(-a2)3=-a6
(2)下列各式①,②③,④（各式的n∈N,a∈R）中,有意义的是( )
A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④
(3)等于( )
A.a B.a2 C.a3 D.a4
(4)把根式－2改写成分数指数幂的形式为( )
A.-2(a-b) B.-2(a-b)
C.-2(a-b) D.-2(a-b)
(5)化简（ab）（-3ab）÷（ab）的结果是( )
A.6a B.-a C.-9a D.9a
2.计算：(1)0.027－（－）-2+256－3-1+（2－1）0=________.
(2)设5x=4,5y=2,则52x-y=________.
3.已知x+y=12,xy=9且x＜y,求的值.
答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8
3.解：==.
因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.
又因为x＜y,所以x-y=-2×33=-63.所以原式=.
拓展提升
1.化简.
活动：学生观察式子特点,考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行因式分解,根据本题的特点,注意到:
x-1=(x)3-13=(x-1)·(x+x+1);
x+1=(x)3+13=(x+1)·(x-x+1);
x-x=x［(x)2-1］=x(x-1)(x+1).
构建解题思路教师适时启发提示.
解：=
=
=x-1+x-x+1-x-x=-x.
点拨:解这类题目,要注意运用以下公式,
(a-b)(a+b)=a-b,
(a±b)2=a±2ab+b,
(a±b)(aab+b)=a±b.
2.已知a+a=3,探究下列各式的值的求法.
(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3).
解：(1)将a+a=3,两边平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7;
(2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47;
(3)由于a-a=(a)3-(a)3,
所以有==a+a-1+1=8.
点拨:对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.
课堂小结
活动：教师,本节课同学们有哪些收获 请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间相互交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点:
(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a=m(a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a==(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.
(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.
(3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r、s,均有下面的运算性质:
①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q),
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),
③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
(4)说明两点:
①分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性,其中没有推出关系.
②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式可以互化,也可以利用(an)==am来计算.
作业
课本P59习题2.1A组 2、4.
设计感想
本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复理解分数指数幂的意义,教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解,用观察、归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此多安排一些练习,强化训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.
(设计者：郝云静)第3课时 指数与指数幂的运算(3)
导入新课
思路1.
同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢 回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂.
思路2.
同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①我们知道=1.414 213 56…,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是的什么近似值？
②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律
的过剩近似值5 5的近似值
1.5 11.18033989
1.42 9.82935328
1.415 9.750851808
1.4143 9.73987262
1.41422 9.738618643
1.414214 9.738524602
1.4142136 9.738518332
1.41421357 9.738517862
1.414213563 9.73817752
5的近似值 的不足近似值
9.518 269 694 1.4
9.672 669 973 1.41
9.735 171 039 1.414
9.738 305 174 1.414 2
9.738 461 907 1.414 213
9.738 508 928 1.414 213
9.738 516 765 1.414 213 5
9.738 517 705 1.414 213 56
9.738 517 736 1.414 213 562
③你能给上述思想起个名字吗
④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢 如5,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗
⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗
活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:
问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于的方向,另一方面从小于的方向.
问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.
问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.
问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.
问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.
讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…这些数都小于,称的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于,称的过剩近似值.
②第一个表:从大于的方向逼近时,5就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近5.
第二个表:从小于2的方向逼近时,5就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于5的方向逼近5.
从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面5从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于5的方向接近5,而另一方面5从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于5的方向接近5,可以说从两个方向无限地接近5,即逼近5,所以5是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示5的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是5一定是一个实数,即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…<5<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.
充分表明5是一个实数.
③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识.
④根据②③我们可以推断5是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.
⑤无理数指数幂的意义:
一般地,无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.
也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.
提出问题
（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数
（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的 是否与有理数指数幂的运算法则相通呢
（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗
活动：教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳.
对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.
对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通.
对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.
讨论结果：（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么aα是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂aα是一个确定的实数,就不会再造成混乱.
（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则:
①ar·as=ar+s(a>0,r,s都是无理数).
②(ar)s=ars(a>0,r,s都是无理数).
③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r是无理数).
（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂.
实数指数幂的运算性质:
对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:
①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈R).
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).
③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).
应用示例
思路1
例1利用函数计算器计算.（精确到0.001）
（1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.1;（4）.
活动：教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数值,对于（1）,可先按底数0.3,再按键,再按幂指数2.1,最后按,即可求得它的值；
对于（2）,先按底数3.14,再按键,再按负号键,再按3,最后按即可;
对于(3),先按底数3.1,再按键,再按34,最后按即可;
对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按键,再按键,再按3,最后按键.有时也可按或键,使用键上面的功能去运算.
学生可以相互交流,挖掘计算器的用途.
答案：（1）0.32.1≈0.080;（2）3.14-3≈0.032;
（3）3.1≈2.336;（4）≈6.705.
点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n位,只需看第（n+1）位能否进位即可.
例2求值或化简.
(1)(a>0,b>0);
(2)()(a>0,b>0);
(3).
活动：学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成()2+()2,22+()2,22+()2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律.
解：(1)=(ab)=a-2bab=ab=.
点评：根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.
(2)()=aabb=a0b0=.
点评：化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.
(3)
=
=-+2--2+
=0.
点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.
例3已知x=(5-5),n∈N*,求(x+)n的值.
活动：学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5与5具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.
x2=(5-5)2=(5-2·50+5)
=(5+2+5-4)
=(5+5)2-1.
这时应看到
1+x2=1+(-5)2=(5+5)2,
这样先算出1+x2,再算出,带入即可.
解：将x=(5-5)代入1+x2，得1+x2=1+(5-5)2=(5+5)n,
所以(x+)n=［(5-5)+］n
=［(5-5)+(5+5)］n=(5)n=5.
点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.
思路2
例1计算:(1);
(2)125+()-2+343-();
(3)(-2xy)(3xy)；
(4)(x-y)÷(x-y).
活动：学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价.
解：(1)
=()+()+(0.062 5)+1-
=()2×+()+(0.5)+
=++0.5+
=5;
(2)125+()-2+343-()
=(53)+(2-1)-2+(73)-(3-3)
=5+2-2×(-1)+7-3
=25+4+7-3=33;
(3)(-2xy)(3xy)=(-2×3)(xx·yy)
==-6xy
=;
(4)(x-y)÷(x-y)=((x)2-(y)2)÷(x-y)
=(x+y)(x-y)÷(x-y)
=x+y.
点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.
例2化简下列各式:
(1);
(2)(a3+a-3)(a3-a-3)÷［(a4+a-4+1)(a-a-1)］.
活动：学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查x2与x的关系可知x2=(x)3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流.
解：(1)原式=
=
==;
(2)原式=［(a3)2-(a-3)2］÷［(a4+a-4+1)(a-a-1)］
====a+a-1.
点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a=(a)3还容易看出,对其中夹杂的数字m可以化为m·aa=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力.
知能训练
课本P59习题2.1A组 3.
利用投影仪投射下列补充练习:
1.化简:(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)的结果是( )
A.(1-2)-1 B.(1-2)-1 C.1-2 D.(1-2)
分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形.
因为(1+2)(1-2)=1-2,所以原式的分子分母同乘以(1-2),
依次类推,所以==(1-2)-1.
答案：A
2.计算(2)0.5+0.1-2+(2)-3π0+9-0.5+490.5×2-4.
解：原式=()+100+()-3+49×=+100+-3++=100.
3.计算(a≥1).
解：原式=(a≥1).
本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.
4.设a>0,x=(a-a),则(x+)n的值为_______.
分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到
解：1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.
这样先算出1+x2,再算出,
将x=(a-a)代入1+x2,得1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.
所以(x+)n=［(a-a)+(a+a)2］n
=［(a-a)+(a+a)］n=a.
答案：a
拓展提升
参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂的意义.
活动：教师引导学生回顾无理数指数幂5的意义的过程,利用计算器计算出3的近似值,取它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算的过剩近似值和不足近似值,利用逼近思想,“逼出”的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.
解：3=1.73205080…,取它的过剩近似值和不足近似值如下表.
的过剩近似值 的过剩近似值 的不足近似值 的不足近似值
1.8 3.482202253 1.7 3.249009585
1.74 3.340351678 1.73 3.317278183
1.733 3.324183446 1.731 3.319578342
1.7321 3.32211036 1.7319 3.321649849
1.73206 3.322018252 1.73204 3.3219722
1.732015 3.321997529 1.732049 3.321992923
1.7320509 3.321997298 1.7320507 3.321996838
1.73205081 3.321997019 1.73205079 3.321997045
我们把用2作底数,的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数
21.7,21.72,21.731,21.7319,…,
同样把用2作底数, 的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数:
21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不难看出的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即3的近似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数,我们把这个数记为.
即21.7<21.73<21.731<21.7319<…<<…<21.7321<21.733<21.74<21.8.
也就是说是一个实数,=3.321 997 …也可以这样解释:
当3的过剩近似值从大于的方向逼近时,的近似值从大于的方向逼近；
当3的不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于的方向逼近.
所以就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.7319,…,和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.7321,…,按上述规律变化的结果,即≈3.321 997.
课堂小结
(1)无理指数幂的意义.
一般地,无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.
(2)实数指数幂的运算性质:
对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:
①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈R).
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).
③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).
(3)逼近的思想,体会无限接近的含义.
作业
课本P60习题2.1 B组 2.
设计感想
无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼近的思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.第3课时 指数函数及其性质（3）
导入新课
思路1.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在上节课的探究中我们知道,函数①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1的图象之间的关系,由其中的一个可得到另外两个的图象,那么,对y=ax与y=ax+m(a>0,m∈R)有着怎样的关系呢 在理论上,含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢 这是我们本堂课研究的内容.教师点出课题:指数函数及其性质（3）.
思路2.我们在第一章中,已学习了函数的性质,特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点,我们刚刚学习的指数函数,严格地证明了指数函数的单调性,便于我们在解题时应用这些性质,在实际生活中,往往遇到的不单单是指数函数,还有其他形式的函数,有的是指数函数的复合函数,我们需要研究它的单调性和奇偶性,这是我们面临的问题也是我们本堂课要解决的问题——指数函数及其性质（3）.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)指数函数有哪些性质
(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些
(3)对复合函数,如何证明函数的单调性
(4)如何判断函数的奇偶性,有哪些方法
活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容.
讨论结果：(1)指数函数的图象和性质
一般地,指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
a>1 0图象
图象特征 图象特征图象分布在一、二象限,与y轴相交,落在x轴的上方
都过点（0,1）
第一象限的点的纵坐标都大于1;第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1 第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1;第二象限的点的纵坐标都大于1
从左向右图象逐渐上升 从左向右图象逐渐下降
性质 (1)定义域：R
（2）值域：（0,+∞）
（3）过定点（0,1）,即x=0时,y=1
(4)x>0时,y>1;x<0时,00时,01
（5）在R上是增函数 （5）在R上是减函数
(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是：
①取值.即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.
②作差变形.即求f（x2）－f（x1）,通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形.
③定号.根据给定的区间和x2－x1的符号确定f（x2）－f（x1）的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论.
④判断.根据单调性定义作出结论.
(3)对于复合函数y=f(g(x))可以总结为:
当函数f(x)和g(x)的单调性相同时,复合函数y=f(g(x))是增函数;
当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时,复合函数y=f(g(x))是减函数;
又简称为口诀“同增异减”.
(4)判断函数的奇偶性:
一是利用定义法,即首先是定义域关于原点对称,再次是考察式子f(x)与f(-x)的关系,最后确定函数的奇偶性;
二是作出函数图象或从已知图象观察,若图象关于原点或y轴对称,则函数具有奇偶性.
应用示例
思路1
例1在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系.
(1)y=2x+1与y=2x+2;(2)y=2x-1与y=2x-2.
活动：教师适当时候点拨,学生回想作图的方法和步骤,特别是指数函数图象的作法,学生回答并到黑板上作图,教师指点学生,列出对应值表,抓住关键点,特别是(0,1)点,或用计算机作图.
解：(1)列出函数数据表作出图象如图2-1-2-12.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
2x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
2x+1 0.25 0.5 1 2 4 8 16
2x+2 0.5 1 2 4 8 16 32
图2-1-2-12
比较可知函数y=2x+1、y=2x+2与y=2x的图象的关系为：将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x+1的图象;将指数函数y=2x的图象向左平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x+2的图象.
(2)列出函数数据表作出图象如图2-1-2-13
x -3 -2 -1 0 1 2 3
2x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
2x-1 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 4
2x-2 0.3125 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2
图2-1-2-13
比较可知函数y=2x-1、y=2x-2与y=2x的图象的关系为：将指数函数y=2x的图象向右平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x-1的图象;将指数函数y=2x的图象向右平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x-2的图象.
点评：类似地,我们得到y=ax与y=ax+m(a>0,a≠1,m∈R)之间的关系:
y=ax+m(a>0,m∈R)的图象可以由y=ax的图象变化而来.
当m>0时,y=ax的图象向左移动m个单位得到y=ax+m的图象;
当m<0时,y=ax的图象向右移动|m|个单位得到y=ax+m的图象.
上述规律也简称为“左加右减”.
变式训练
为了得到函数y=2x-3-1的图象,只需把函数y=2x的图象( )
A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
答案：B
点评：对于有些复合函数的图象,常用变换方法作出.
例2已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
（1）求a,b的值；
（2）若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
活动：学生审题,考虑解题思路.求值一般是构建方程,求取值范围一般要转化为不等式,如果有困难,教师可以提示,（1）从条件出发,充分利用奇函数的性质,由于定义域为R,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),（2）在（1）的基础上求出f(x),转化为关于k的不等式,利用恒成立问题再转化.
（1）解：因为f(x)是奇函数,
所以f(0)=0,即=0b=1,
所以f(x)=;
又由f（1）=-f（-1）知=a=2.
（2）解法一：由（1）知f(x)==+,易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
又因f(x)是奇函数,从而不等式：f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,
等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因f(x)为减函数,由上式推得：
t2-2t>k-2t2,即对一切t∈R有3t2-2t-k>0,
从而判别式Δ=4+12k<0,
∴k<.
解法二：由（1）知f(x)=.
又由题设条件得<0,
即<0.
整理得>1,因底数2>1,故3t2-2t-k>0,
上式对一切t∈R均成立,从而判别式Δ=4+12k<0,即k<-.
点评：记住下列函数的增减性,对解题是十分有用的,若f(x)为增(减)函数,则为减(增)函数.
思路2
例1
设a>0,f(x)=在R上满足f(-x)=f(x).
(1)求a的值;
(2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数.
活动：学生先思考或讨论,如果有困难,教师提示,引导.
(1)求单独一个字母的值,一般是转化为方程,利用f(-x)=f(x)可建立方程.
(2)证明增减性一般用定义法,回忆定义法证明增减性的步骤,规范书写的格式.
(1)解：依题意,对一切x∈R有f(-x)=f(x)成立,即+aex=.
所以=0对一切x∈R成立.由此可得=0,即a2=1.
又因为a>0,所以a=1.
(2)证明:设0f(x1)-f(x2)===·.
由x1>0,x2>0,x2-x1>0,得x2+x1>0,>0,1<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在（0,+∞）上是增函数.
点评：在已知等式f(-x)=f(x)成立的条件下,对应系数相等,求出a,也可用特殊值求解.证明函数的单调性,严格按定义写出步骤,判断过程尽量明显直观.
例2已知函数f(x)=3x,且x=a+2时,f(x)=18,g(x)=3的定义域为［0,1］.
(1)求g(x)的解析式;
(2)求g(x)的单调区间,确定其增减性并试用定义证明;
(3)求g(x)的值域.
解：(1)因为f(x)=3x,且x=a+2时f(x)=18,
所以f(a+2)=3a+2=18.所以3a=2.
所以g(x)=3ax-4x=(3a)x-4x.
所以g(x)=2x-4x.
(2)因为函数g(x)的定义域为［0,1］,令t=2x,因为x∈［0,1］时,函数t=2x在区间［0,1］上单调递增,
所以t∈［1,2］,则g(t)=t-t2=-(t2-t)=-(t-)2+,t∈［1,2］.
因为函数t=2x在区间［0,1］上单调递增,函数g(t)=t-t2在t∈［1,2］上单调递减,
所以函数g(x)在区间［0,1］上单调递减.
证明:设x1和x2是区间［0,1］上任意两个值,且x1g(x2)-g(x1)===,
因为0≤x1≤x2≤1,
所以,且1≤<2,1< ≤2.
所以2<<4.
所以-3<1-<-1,可知<0.
所以g(x2)所以函数g(x)在区间［0,1］上单调递减.
(3)因为函数g(x)在区间［0,1］上单调递减,
所以x∈［0,1］时,有g(1)≤g(x)因为g(1)=21-41=-2,g(0)=20-40=0,
所以-2≤g(x)≤0.
故函数g(x)的值域为［-2,0］.
点评：此题是一道有关函数的概念、函数性质的应用、推理、证明综合题,要通盘考虑.
知能训练
求函数y=()|1+2x|+|x-2|的单调区间.
活动：教师提示,因为指数含有两个绝对值,要去绝对值,要分段讨论,同时注意底数的大小,分析出指数的单调区间,再确定函数的单调区间,利用复合函数的单调性学生思考讨论,然后解答.
解：由题意可知2与是区间的分界点.
当x<时,因为y=()-1-2x-x+2=()1-3x=23x-1=8x,
所以此时函数为增函数.
当≤x<2时,因为y=()1+2x-x+2=()3+x=2-3-x=()x,
所以此时函数为减函数.
当x≥2时,因为y=()1+2x+x-2=()3x-1=21-3x=2()x,
所以此时函数为减函数.
当x1∈［,2）,x2∈［2,+∞）时,因为2()x2-()x1=
=,
又因为1-3x2-(-3-x1)=4-3x2+x1=4+x1-3x2<0,所以1-3x2<-3-x1,
即2()x2<()x1.
所以此时函数为减函数.
综上所述,函数f(x)在（-∞,］上单调递增,在［,+∞）上单调递减.
拓展提升
设m<1,f(x)=,若0(1)f(a)+f(1-a)的值;
(2)的值.
活动：学生思考,观察,教师提示学生注意式子的特点,做这种题目,一定要有预见性,即第(2)问要用到第(1)问的结果,联系函数的知识解决.
解：(1)f(a)+f(1-a)===
===1.
(2)
=［
=500×1=500.
点评：第(2)问是第(1)问的继续,第(1)问是第(2)问的基础,两个问号是衔接的,利用前一个问号解决后一个问号是我们经常遇到的情形,要注意问号与问号之间的联系.
课堂小结
本节课复习了指数函数的性质,借助指数函数的性质的运用,我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固,利用单调性和奇偶性解决了一些问题,对常考的函数图象的变换进行了学习,要高度重视,在不断学习中升华提高.
作业
课本P59习题2.1A组 5.
设计感想
指数函数作为一类基本的初等函数，它虽然不具有函数通性中的奇偶性,但是它与其他函数复合构成具有比较复杂的单调性的函数,同时也可以复合出比较特殊的奇函数和偶函数,判断复合函数的单调性和奇偶性要十分小心,严格按规定的要求,有时借助数形结合可帮我们找到解题思路,本堂课是在以前基础上的提高与深化,同时又兼顾了高考常考的内容,因此涉及面广,容量大,要集中精力,加快速度,高质量完成教学任务.
习题详解
(课本54页练习)
1.a=,a=,a=,a= .
2.(1)=x,(2)=(a+b),(3)=(m-n),
(4)=(m-n)2,(5)=p3q,(6)=m=m.
3.(1)()=［()2］=()3=;
(2)2××=2×3×()×(3×22)=2×3=2×3=6;
(3)aaa=a=a;
(4)2x(x-2x)=x-4x=1-4x-1=1.
(课本58页练习)
1.如图
图2-1-2-14
2.(1)要使函数有意义,需x-2≥0,即x≥2,所以函数y=3的定义域为｛x|x≥2｝;
(2)要使函数有意义,需x≠0,即函数y=()的定义域是｛x∣x≠0｝.
3.y=2x(x∈N*)
(课本第59页习题2.1)
A组
1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x-y.
2解：(1)===a0b0=1.
(2)===a.
(3)===m0=1.
点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行.
3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.
答案：1.710 0;
对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可.
答案：2.881 0;
对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.
答案：4.728 8;
对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.
答案：8.825 0.
4.解：(1)aaa=a=a;
(2)aa÷a=a=a;
(3)(xy)12==x4y-9;
(4)4ab÷(ab)=(×4)=-6ab0=-6a;
(5)===;
(6)(-2xy)(3xy)(-4xy)=［-2×3×(-4)］x=24y;
(7)(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x-9y;
(8)4x (-3xy)÷(-6xy)==2xy.
点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.
5.（1）要使函数有意义,需3-x∈R,即x∈R,所以函数y=23-x的定义域为R.
（2）要使函数有意义,需2x+1∈R,即x∈R,所以函数y=32x+1的定义域为R.
(3)要使函数有意义,需5x∈R,即x∈R,所以函数y=()5x的定义域为R.
(4)要使函数有意义,需x≠0,所以函数y=0.7的定义域为{x|x≠0}.
点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.
6.解：设经过x年的产量为y,一年内的产量是a(1+),两年内产量是a(1+)2,…,x年内的产量是a(1+)x,则y=a(1+)x(x∈N*,x≤m).
点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x的取值范围.
7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y=3x,当x=0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y=3x在R上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.
(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y=0.75x,当x=-0.1和0.1时的函数值；因为1>0.75,所以函数y=0.75x在R上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.
(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y=1.01x,当x=2.7和3.5时的函数值；因为1.01>1,所以函数y=1.01x在R上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5.
(4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y=0.99x,当x=3.3和4.5时的函数值；因为0.99<1,所以函数y=0.99x在R上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.
8.(1)2m,2n可以看成函数y=2x,当x=m和n时的函数值;因为2>1,所以函数y=2x在R上是增函数.因为2m<2n,所以m(2)0.2m,0.2n可以看成函数y=0.2x,当x=m和n时的函数值;因为0.2<1,所以函数y=0.2x在R上是减函数.因为0.2m<0.2n,所以m>n.
(3)am,an可以看成函数y=ax,当x=m和n时的函数值;因为0n.
(4)am,an可以看成函数y=ax,当x=m和n时的函数值;因为a>1,所以函数y=ax在R上是增函数.因为am>an,所以m>n.
点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.
9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P与时间t的函数解析式为P=().
当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=()=()9≈0.002.
答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰,因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.
(2)设大约经过t万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么()<0.001,解得t>5.7.
答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的.
B组
1.当0＜a＜1时,
a2x-7＞a4x-12x-7＜4x－1x＞－3;
当a＞1时,
a2x-7＞a4x-12x－7＞4x－1x＜－3.
综上,当0＜a＜1时,不等式的解集是{x|x＞－3}；
当a＞1时,不等式的解集是{x|x＜－3}.
2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用.
解：(1)设y=x+x,
那么y2=(x+x)2=x+x-1+2.
由于x+x-1=3,所以y=.
(2)设y=x2+x-2,
那么y=(x+x-1)2-2.
由于x+x-1=3,
所以y=7.
(3)设y=x2-x-2,
那么y=(x+x-1)(x-x-1),
而(x-x-1)2=x2-2+x-2=,
所以y=±3.
点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口.
3.解：已知本金为a元.
1期后的本利和为y1=a+a×r=a(1+r),
2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)×r=a(1+r)2,
3期后的本利和为y3=a(1+r)3,
…
x期后的本利和为y=a(1+r)x.
将a=1 000,r=0.022 5,x=5代入上式得
y=a(1+r)x=1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118.
答:本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(1+r)x,5期后的本利和约为1 118元.
4.解：(1)因为y1=y2,所以a3x+1=a-2x.
所以3x+1=-2x.
所以x=.
(2)因为y1>y2,所以a3x+1>a-2x.所以当a>1时,3x+1>-2x.
所以x>.
所以当0(设计者：刘玉亭)第2课时 指数与指数幂的运算(2)
导入新课
思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.
思路2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)整数指数幂的运算性质是什么？
(2)观察以下式子,并总结出规律：a＞0,
①==a2=a;
②==a4=a;
③==a3=a;
④==a5=a.
(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？
,,,(x>0,m,n∈N*,且n>1).
(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？
(5)你能推广到一般的情形吗？
活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.
讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a·a·a·…·a,a0=1(a≠0);00无意义;
a-n=(a≠0);am·an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.
(2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根.实质上①=a,②=a,③=a,④=a结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了,,,,形式上变了,本质没变.
根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）.
(3)利用(2)的规律,=5,=7,=a,=x.
(4)53的四次方根是5,75的三次方根是7,a7的五次方根是a,xm的n次方根是x.
结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.
(5)如果a>0,那么am的n次方根可表示为m=a,即a=m(a>0,m,n∈N*,n>1).
综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书:
规定:正数的正分数指数幂的意义是a=m(a>0,m,n∈N*,n>1).
提出问题
①负整数指数幂的意义是怎样规定的
②你能得出负分数指数幂的意义吗
③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义
④综合上述,如何规定分数指数幂的意义
⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果
⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢
活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a＞0的必要性,教师及时作出评价.
讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a-n=(a≠0),n∈N*.
②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.
规定:正数的负分数指数幂的意义是a==(a>0,m,n∈N*,n>1).
③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.
④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是:
正数的正分数指数幂的意义是a=(a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a==(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.
⑤若没有a＞0这个条件会怎样呢
如(-1)=3-1=-1,(-1)=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a＞0的条件,比如式子3a2=|a|,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.
⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.
有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质:
（1）ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q),
（2）(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),
（3）(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题.
应用示例
思路1
例1求值:①8;②25③()-5;④().
活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52, 写成2-1,写成()4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来.
解：①8=(23)=2=22=4;
②25=(52)=5=5-1=;
③()-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;
④()=()=()-3=.
点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如8===4.
例2用分数指数幂的形式表示下列各式.
a3·;a2·;(a>0).
活动：学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结.
解：a3·=a3·a=a=a;
a2·=a2·a=a=a;
=(a·a)=(a)=a.
点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.
例3计算下列各式（式中字母都是正数）:
（1）(2ab)(-6ab)÷(-3ab);
（2）(mn)8.
活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流,其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注意符号,第（2）小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简化步骤.
解：（1）原式=［2×(-6)÷(-3)］ab=4ab0=4a;
（2）(mn)8=(m)8(n)8=mn=m2n-3=.
点评：分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了.
本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用.
变式训练
求值:
(1)3··;
(2).
解：(1)3··=3·3·3·3=3=32=9；
(2)=(=(===.
例4计算下列各式:
（1）()÷;
（2）(a＞0）.
活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第（1）小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答.
解：（1）原式=(25-125)÷25=(5-5)÷5
=5-5=5-5=-5;
（2）==a=a=.
思路2
例1比较,,的大小.
活动：学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指数,才能进行比较,又因为根指数最大的是6,所以我们应化为六次根式,然后,只看被开方数的大小就可以了.
解：因为==,=,而125＞123＞121,所以>>.
所以>>.
点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法.
例2求下列各式的值:
(1);
(2)2××.
活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往外=,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价.
解：(1)=［34×(3)］=(3)=(3)=3=;
(2)=2×3×()×(3×22)=2·3=2×3=6.
例3计算下列各式的值:
（1）［(ab2)-1·(ab-3)(b)7］;
（2）;
(3).
活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方,再进行同底数幂的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再进行同底数幂的乘法,对（2）把分数指数化为根式,然后通分化简,对（3）把根式化为分数指数,进行积的乘方,再进行同底数幂的运算.
解：(1)原式=(ab2)(ab-3)·(b)=ababb=ab=ab0=a;
另解：原式=(ab-2ab·b)
=(ab)=(a2b0)=a;
（2）原式=====
=;
（3）原式=（ab）-3÷(b-4a-1)=ab-2÷b-2a=ab-2+2=a-1=.
例4已知a＞0,对于0≤r≤8,r∈N*,式子()8-r·r能化为关于a的整数指数幂的情形有几种？
活动：学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方,化为关于a的指数幂的情形,再讨论,及时评价学生的作法.
解：()8-r·r=a·a=a=a.
16-3r能被4整除才行,因此r=0,4,8时上式为关于a的整数指数幂.
点评：本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分数指数幂进行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式.
例5已知f（x）=ex－e-x,g（x）=ex+e-x.
（1）求［f（x）］2－［g（x）］2的值；
（2）设f（x）f（y）=4,g（x）g（y）=8,求的值.
活动：学生观察题目的特点,说出解题的办法,整体代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果学生有难度,教师可以提示引导,对（1）为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难以发现已知和未知的关系,可写出具体算式,予以探求.
解：(1)［f（x）］2－［g（x）］2=［f（x）+g（x）］·［f（x）－g（x）］
=（ex－e-x+ex+e-x）（ex－e-x－ex－e-x）=2ex（－2e-x）=－4e0=－4;
另解：(1)［f（x）］2－［g（x）］2=(ex-e-x)2-(ex+e-x)2
=e2x-2exe-x+e-2x-e2x-2exe-x-e-2x
=-4ex-x=-4e0=-4;
(2)f（x）·f（y）=（ex－e-x）（ey－e-y）=ex+y+e-(x+y)－ex-y－e-(x-y)=g（x+y）－g（x－y）=4,
同理可得g（x）g（y）=g（x+y）+g（x－y）=8,
得方程组解得g（x+y）=6,g（x－y）=2.
所以==3.
点评：将已知条件变形为关于所求量g（x+y）与g（x－y）的方程组,从而使问题得以解决,这种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所体现的数学思想即方程思想,是数学中重要的数学思想.
知能训练
课本P54练习 1、2、3.
［补充练习］
教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表扬鼓励.
1.(1)下列运算中,正确的是( )
A.a2·a3=a6
B.(-a2)3=(-a3)2
C.(-1)0=0
D.(-a2)3=-a6
(2)下列各式①,②③,④（各式的n∈N,a∈R）中,有意义的是( )
A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④
(3)等于( )
A.a B.a2 C.a3 D.a4
(4)把根式－2改写成分数指数幂的形式为( )
A.-2(a-b) B.-2(a-b)
C.-2(a-b) D.-2(a-b)
(5)化简（ab）（-3ab）÷（ab）的结果是( )
A.6a B.-a C.-9a D.9a
2.计算：(1)0.027－（－）-2+256－3-1+（2－1）0=________.
(2)设5x=4,5y=2,则52x-y=________.
3.已知x+y=12,xy=9且x＜y,求的值.
答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8
3.解：==.
因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.
又因为x＜y,所以x-y=-2×33=-63.所以原式=.
拓展提升
1.化简.
活动：学生观察式子特点,考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行因式分解,根据本题的特点,注意到:
x-1=(x)3-13=(x-1)·(x+x+1);
x+1=(x)3+13=(x+1)·(x-x+1);
x-x=x［(x)2-1］=x(x-1)(x+1).
构建解题思路教师适时启发提示.
解：=
=
=x-1+x-x+1-x-x=-x.
点拨:解这类题目,要注意运用以下公式,
(a-b)(a+b)=a-b,
(a±b)2=a±2ab+b,
(a±b)(aab+b)=a±b.
2.已知a+a=3,探究下列各式的值的求法.
(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3).
解：(1)将a+a=3,两边平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7;
(2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47;
(3)由于a-a=(a)3-(a)3,
所以有==a+a-1+1=8.
点拨:对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.
课堂小结
活动：教师,本节课同学们有哪些收获 请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间相互交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点:
(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a=m(a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a==(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.
(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.
(3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r、s,均有下面的运算性质:
①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q),
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),
③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
(4)说明两点:
①分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性,其中没有推出关系.
②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式可以互化,也可以利用(an)==am来计算.
作业
课本P59习题2.1A组 2、4.
设计感想
本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复理解分数指数幂的意义,教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解,用观察、归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此多安排一些练习,强化训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.
(设计者：郝云静)第2课时 指数函数及其性质(2)
导入新课
思路1.复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质,下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题,这就是本堂课要讲的主要内容.教师板书课题.
思路2.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在理论上,我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性,以便于我们在解题时应用这些性质,本堂课我们要解决这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质(2).
应用示例
思路1
例1已知指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）的图象过点（3,π）,求f(0),f(1),f(-3)的值.
活动：学生审题,把握题意,教师适时提问,点拨,求值的关键是确定a,一般用待定系数法,构建一个方程来处理,函数图象过已知点,说明点在图象上,意味着已知点的坐标满足曲线的方程,转化为将已知点的坐标代入指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）求a的值,进而求出f(0),f(1),f(-3)的值,请学生上黑板板书,及时评价.
解：因为图象过点（3,π）,
所以f(3)=a3=π,即a=π,f(x)=(π)x.
再把0,1,3分别代入,得
f(0)=π0=1,
f(1)=π1=π,
f(-3)=π-1=.
点评：根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解题的关键,这是方程思想的运用.
例2用函数单调性的定义证明指数函数的单调性.
活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤,单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.
证法一：设x1,x2∈R,且x1＜x2,则
y2－y1=ax2－ax1=ax1（ax2-x1－1）.
因为a＞1,x2－x1＞0，所以ax2-x1＞1,即ax2-x1－1＞0.
又因为ax1＞0,
所以y2－y1＞0,
即y1所以当a＞1时,y=ax,x∈R是增函数.
同理可证,当0＜a＜1时,y=ax是减函数.
证法二：设x1,x2∈R,且x1＜x2,则y2与y1都大于0,则==a.
因为a＞1,x2－x1＞0,所以a＞1,
即>1,y1所以当a＞1时,y=ax,x∈R是增函数.
同理可证,当0＜a＜1时,y=ax是减函数.
变式训练
若指数函数y=（2a－1）x是减函数,则a的范围是多少？
答案：＜a＜1.
例3截止到1999年底,我国人口约13亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少（精确到亿）？
活动：师生共同讨论,将实际问题转化为数学表达式,建立目标函数,常采用特殊到一般的方式,教师引导学生注意题目中自变量的取值范围,可以先考虑一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题：
1999年底 人口约为13亿;
经过1年 人口约为13（1+1%）亿;
经过2年 人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿;
经过3年 人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿;
经过x年 人口约为13(1+1%)x亿;
经过20年 人口约为13(1+1%)20亿.
解：设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我国人口数为y亿,则
y=13(1+1%)x,
当x=20时,y=13(1+1%)20≈16(亿).
答：经过20年后,我国人口数最多为16亿.
点评：类似此题,设原值为N,平均增长率为P,则对于经过时间x后总量y=N(1+p)x,像y=N(1+p)x等形如y=kax(k∈R,a＞0且a≠1）的函数称为指数型函数.
思路2
例1求下列函数的定义域、值域：
(1)y=0.4;(2)y=3;(3)y=2x+1;(4)y=.
解：（1）由x-1≠0得x≠1,所以所求函数定义域为{x|x≠1}.由x≠得y≠1,
即函数值域为{y|y>0且y≠1}.
（2）由5x-1≥0得x≥,所以所求函数定义域为{x|x≥}.由≥0得y≥1,
所以函数值域为{y|y≥1}.
（3）所求函数定义域为R，由2x>0可得2x+1>1.
所以函数值域为{y|y>1}.
(4)由已知得：函数的定义域是R,且(2x+1)y=2x-2,即(y-1)2x=-y-2.
因为y≠1,所以2x=.又x∈R,所以2x>0,>0.解之,得-2因此函数的值域为{y|-2点评：通过此例题的训练,学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域,还应注意书写步骤与格式的规范性.
变式训练
求函数y=()的定义域和值域.
解：要使函数有意义,必须x+3≠0,即x≠-3，即函数的定义域是{x|x≠-3}.
因为≠0,所以y=()≠()0=1.
又因为y>0,所以值域为(0,1)∪(1,+∞).
例2
（1）求函数y=()的单调区间,并证明.
（2）设a是实数,f(x)=a(x∈R),试证明对于任意a,f(x)为增函数.
活动：（1）这个函数的单调区间由两个函数决定,指数函数y=()x与y=x2-2x的复合函数,（2）函数单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.
解法一：设x1因为x10.
当x1,x2∈（-∞,1］时,x1+x2-2<0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)<0,
即>1,所以y2>y1,函数单调递增;
当x1,x2∈［1,+∞）时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)>0,
即<1,所以y2所以函数y在（-∞,1］上单调递增,在［1,+∞）上单调递减.
解法二：（用复合函数的单调性）：
设u=x2-2x,则y=()u,
对任意的1所以y1对任意的x1u2,又因为y=()u是减函数,
所以y1引申：求函数y=()的值域（0点评：(1)求复合函数的单调区间时,利用口诀“同增异减”.
（2）此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性的定义进行证明,还应要求学生注意不同题型的解答方法.
证明：设x1,x2∈R,且x1f(x1)-f(x2)===.
由于指数函数y=2x在R上是增函数,且x1所以2x1<2x2,即2x1-2x2<0.
又由2x>0得2x1+1>0,2x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)因为此结论与a取值无关,所以对于a取任意实数,f(x)为增函数.
点评：上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性.
知能训练
1.函数y=a|x|（a＞1）的图象是（ ）
图2-1-2-8
分析：当x≥0时,y=a|x|=ax的图象过（0,1）点,在第一象限,图象下凸,是增函数.
答案：B
2.下列函数中,值域为（0,+∞）的函数是（ ）
A.y=()2-x B.y= C.y= D.y=+1
分析：因为（2－x）∈R,所以y=（）2－x∈（0,+∞）;y=∈［0,1］;y=∈［0,+∞);y=+1∈［2,+∞).
答案：A
3.已知函数f（x）的定义域是（0,1）,那么f（2x）的定义域是（ ）
A.（0,1） B.（,1） C.（－∞,0） D.（0,+∞）
分析：由题意得0＜2x＜1,即0＜2x＜20,所以x＜0,即x∈（－∞,0）.
答案：C
4.若集合A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则（ ）
A.AB B.AB C.A=B D.A∩B=
分析：A={y|y＞0},B={y|y≥0},所以AB.
答案：A
5.对于函数f(x)定义域中的任意的x1、x2(x1≠x2),有如下的结论:
①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);
③>0;④<.
当f(x)=10x时,上述结论中正确的是.
分析:因为f(x)=10x,且x1≠x2,所以f(x1+x2)===f(x1)·f(x2),所以①正确;
因为f(x1·x2)=≠=f(x1)+f(x2),②不正确;
因为f(x)=10x是增函数,所以f(x1)-f(x2)与x1-x2同号,所以>0,所以③正确.
因为函数f(x)=10x图象如图2-1-2-9所示是上凹下凸的,可解得④正确.
图2-1-2-9
答案：①③④
另解：④
∵10x1>0,10x2>0,x1≠x2,∴>∴>,
即>∴>.
拓展提升
在同一坐标系中作出下列函数的图象,讨论它们之间的联系.
(1)①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1;
(2)①y=()x,②y=()x-1,③y=()x+1.
活动：学生动手画函数图象,教师点拨,学生没有思路教师可以提示.学生回忆函数作图的方法与步骤,按规定作出图象,特别是关键点.
答案：如图2-1-2-10及图2-1-2-11.
图2-1-2-10图2-1-2-11
观察图2-1-2-10可以看出,y=3x,y=3x+1,y=3x-1的图象间有如下关系:
y=3x+1的图象由y=3x的图象左移1个单位得到;
y=3x-1的图象由y=3x的图象右移1个单位得到;
y=3x-1的图象由y=3x+1的图象向右移动2个单位得到.
观察图2-1-2-11可以看出,y=()x,y=()x-1,y=()x+1的图象间有如下关系:
y=()x+1的图象由y=()x的图象左移1个单位得到;
y=()x-1的图象由y=()x的图象右移1个单位得到;
y=()x-1的图象由y=()x+1的图象向右移动2个单位得到.
你能推广到一般的情形吗 同学们留作思考.
课堂小结
思考
我们本堂课主要学习了哪些知识,你有什么收获 把你的收获写在笔记本上.
活动：教师用多媒体显示以下内容,学生互相交流学习心得,看是否与多媒体显示的内容一致.
本节课,在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想,加深了对问题的分析能力,形成了一定的能力与方法.
作业
课本P59习题2.1 B组 1、3、4.
设计感想
本堂课主要是复习巩固指数函数及其性质,涉及的内容较多,要首先组织学生回顾指数函数的性质,为此,必须利用函数图象,数形结合,通过数与形的相互转化,借助形的直观性解决问题,本节课要训练学生能够恰当地构造函数,根据函数的单调性比较大小,有时要分a>1,0(设计者：王建波)2.1.2 指数函数及其性质
整体设计
教学分析
有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图象以及研究指数函数的性质.
教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,编写时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.
根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情景,为学生的数学探究与数学思维提供支持.
三维目标
1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.
2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.
3.通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.
重点难点
教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.
教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用.
课时安排
3课时
教学过程
第1课时 指数函数及其性质(1)
导入新课
思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,写出存留污垢y与漂洗次数x的关系式,它是函数关系式吗？若是,请计算若要使存留的污垢不超过原有的,则至少要漂洗几次？教师引导学生分析,列出关系式y=()x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上,这样的函数叫指数函数,引出本节课题.
思路2.教师复习提问指数幂的运算性质,并要求学生计算23,20,2-2,16,27,49.再提问怎样画函数的图象,学生思考,分组交流,写出自己的答案8,1, ,2,9,,先建立平面直角坐标系,再描点,最后连线.点出本节课题.
思路3.在本章的开头,问题（2）中时间t和碳14含量P的对应关系P=［()］t,如果我们用x表示时间,y表示碳14的含量,则上述关系可表示为y=［()］x,这是我们习惯上的函数形式,像这种自变量在指数的位置上的函数,我们称为指数函数,下面我们给出指数函数的确切概念,从而引出课题.
推进新课
新知探究
提出问题
1.一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式是_________.(y=0.84x)
2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的关系式是_________.(y=2x)
提出问题
(1)你能说出函数y=0.84x与函数y=2x的共同特征吗
(2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念
(3)为什么指数函数的概念中明确规定a>0,a≠1
(4)为什么指数函数的定义域是实数集
(5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤.
活动：先让学生仔细观察,交流讨论,然后回答,教师提示点拨,及时鼓励表扬给出正确结论的学生,引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,针对学生共性的问题集中解决.
问题(1)看这两个函数的共同特征,主要是看底数和自变量以及函数值.
问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量.
问题(3)为了使运算有意义,同时也为了问题研究的必要性.
问题(4)在(3)的规定下,我们可以把ax看成一个幂值,一个正数的任何次幂都有意义.
问题(5)使学生回想指数函数的定义,根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数,紧扣指数函数的形式.
讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x一个值,y都有唯一确定的值和它对应,再就是它们的自变量x都在指数的位置上,它们的底数都大于0,但一个大于1,一个小于1.0.84与2虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有x和y.
(2)对于两个解析式y=0.84x和y=2x,我们把两个函数关系中的常量用一个字母a来表示,这样我们得到指数函数的定义:
一般地,函数y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数,其中x叫自变量,函数的定义域是实数集R.
(3)a=0时,x>0时,ax总为0;x≤0时,ax没有意义.
a<0时,如a=-2,x=,ax=(-2)=显然是没有意义的.
a=1时,ax恒等于1,没有研究的必要.
因此规定a>0,a≠1.此解释只要能说明即可,不要深化.
(4)因为a>0,x可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集R.
(5)判断一个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数,再就是看自变量是否是一个x且在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数.
提出问题
(1)前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢
(2)前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象 说明它的步骤.
(3)利用上面的步骤,作函数y=2x的图象.
(4)利用上面的步骤,作函数y=()x的图象.
(5)观察上面两个函数的图象各有什么特点,再画几个类似的函数图象,看是否也有类似的特点
(6)根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗
(7)把y=2x和y=()x的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗
(8)你能证明上述结论吗
(9)能否用y=2x的图象画y=()x的图象 请说明画法的理由.
活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质,共同讨论研究指数函数的性质的方法,强调数形结合,强调函数图象在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的运用,渗透概括能力的培养,进行课堂巡视,个别辅导,投影展示画得好的部分学生的图象,同时投影展示课本表21,22及图2.12,2.13及2.14,及时评价学生,补充学生回答中的不足.学生独立思考,提出研究指数函数性质的思路,独立画图,观察图象及表格,表述自己的发现,同学们相互交流,形成对指数函数性质的认识,推荐代表发表本组的集体的认识.
讨论结果：(1)我们研究函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般,一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的性质.
(2)一般是列表,描点,连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作函数的图象.
(3)列表.
x -3.00 -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00
y=2x 1 2 4
作图如图2-1-2-1
图2-1-2-1
(4)列表.
x -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 0.00 1.00 1.50 2.00 2.50
y=()x 1 2 4
作图如图2-1-2-2
图2-1-2-2
(5)通过观察图2121,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的,说明是增函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,且y值分布有以下特点,x<0时00时y>1.图象不关于x轴对称,也不关于y轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数.
通过观察图2122,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的,说明是减函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,x<0时y>1,x>0时0可以再画下列函数的图象以作比较,y=3x,y=6x,y=()x,y=()x.重新观察函数图象的特点,推广到一般的情形.
（6）一般地,指数函数y=ax在a>1和0图象特征 函数性质
a＞1 0＜a＜1 a＞1 0＜a＜1
向x轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+
函数图象都过定点（0,1） a0=1
自左向右,图象逐渐上升 自左向右,图象逐渐下降 增函数 减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1x＞0,ax＞1 x＞0,ax＜1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 x＜0,ax＜1 x＜0,ax＞1
一般地,指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 ①定义域：R
②值域：（0,+∞）
③过点（0,1）,即x=0时y=1
④在R上是增函数,当x＜0时,0＜y＜1;当x＞0时,y＞1 ④在R上是减函数,当x＜0时,y＞1;当x＞0时,0＜y＜1
（7）在同一坐标系中作出y=2x和y=()x两个函数的图象,如图2-1-2-3.经过仔细研究发现,它们的图象关于y轴对称.
图2-1-2-3
(8)证明:设点p(x1,y1)是y=2x上的任意一点,它关于y轴的对称点是p1(-x1,y1),它满足方程y=()x=2-x,即点p1(-x1,y1)在y=()x的图象上,反之亦然,所以y=2x和y=()x两个函数的图象关于y轴对称.
(9)因为y=2x和y=()x两个函数的图象关于y轴对称,所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象,同学们一定要掌握这种作图的方法,对以后的学习非常有好处.
应用示例
思路1
例1判断下列函数是否是一个指数函数？
y=x2,y=8x,y=2·4x,y=(2a-1)x(a>,a≠1),y=(-4)x,y=πx,y=6x3+2.
活动：学生观察,小组讨论,尝试解决以上题目,学生紧扣指数函数的定义解题,因为y=x2,y=2·4x,y=6x3+2都不符合y=ax的形式,教师强调y=ax的形式的重要性,即a前面的系数为1,a是一个正常数（也可是一个表示正常数的代数式）,指数必须是x的形式或通过转化后能化为x的形式.
解：y=8x,y=(2a-1)x(a>,a≠1),y=(-4)x,y=πx是指数函数;y=x2,y=2·4x,y=6x3+2不是指数函数.
变式训练
函数y=23x,y=ax+k,y=a-x,y=()-2x(a>0,a≠1)中是指数函数的有哪些
答案：y=23x=(23)x,y=a-x=()x,y=()-2x=［()-2］x是指数函数.
例2比较下列各题中的两个值的大小:
（1）1.72.5与1.73;(2)0.8-0.1与0.8-0.2;(3)1.70.3与0.93.1.
活动：学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的,再写出（最好用实物投影仪展示写得正确的答案）,比较数的大小,一是作差,看两个数差的符号,若为正,则前面的数大;二是作商,但必须是同号数,看商与1的大小,再决定两个数的大小;三是计算出每个数的值,再比较大小;四是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视其他学生的解答,发现问题及时纠正并及时评价.
解法一：用数形结合的方法,如第（1）小题,用图形计算器或计算机画出y=1.7x的图象,如图2-1-2-4.
图2-1-2-4
在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点,显然,图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方,所以1.72.5<1.73,同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1.
解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91,
所以1.72.5<1.73.同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1.
解法三：利用函数单调性,
①1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x,当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1,所以函数y=1.7x在R上是增函数,而2.5<3,所以1.72.5<1.73；
②0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8x,当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1,所以函数y=0.8x在R上是减函数,而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2；
③因为1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.
点评：在第（3）小题中,可以用解法一、解法二解决,但解法三不适合.由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1比较大小,进而比较1.70.3与0.93.1的大小,这里的1是中间值.
思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用
活动：学生对上面的三种解法作比较,解题有法但无定法,我们要采取多种解法,在多种解法中选择最优解法,这要通过反复练习,强化来实现.
变式训练
1.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,按大小顺序排列a,b,c.
答案：b2.比较a与a的大小（a＞0且a≠0）.
答案：分a＞1和0a;当a>1时,a例3求下列函数的定义域和值域:
(1)y=2;(2)y=();(3)y=10.
活动：学生先思考,再回答,由于指数函数y=ax,(a＞0且a≠1)的定义域是R,所以这类类似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求,教师适时点拨和提示,求定义域,只需使指数有意义即可,转化为解不等式.
解：(1)令x-4≠0,则x≠4,所以函数y=2的定义域是｛x∈R∣x≠4｝,
又因为≠0,所以2≠1,即函数y=2的值域是｛y|y>0且y≠1｝.
(2)因为-|x|≥0,所以只有x=0.
因此函数y=()的定义域是｛x∣x=0｝.
而y=()=()0=1,即函数y=()的值域是｛y∣y=1｝.
(3)令≥0,得≥0,
即≥0,解得x<-1或x≥1,
因此函数y=10的定义域是｛x∣x<-1或x≥1｝.
由于-1≥0,且≠2,所以≥0且≠1.
故函数y=10的值域是｛y∣y≥1,y≠10｝.
点评：求与指数函数有关的定义域和值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性,特别是第(1)题千万不能漏掉y>0.
变式训练
求下列函数的定义域和值域:
(1)y=();(2)y=;(3)y=ax-1(a>0,a≠1).
答案：(1)函数y=()的定义域是R,值域是［,+∞）;(2)函数y=的定义域是［,+∞）,值域是［0,+∞）;(3)当a>1时,定义域是{x|x≥0},当0思路2
例1一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质的剩留量随时间（年）变化的函数关系式,作出它的图象,并从图象上求出经过多少年剩留量是原来的一半？（结果保留一个有效数字）
活动：师生共同分析,先求出解析式,列出数值对应表,再描点,画出图象后,利用图象求解,由学生回答,学生有困难,教师可以提示,仔细审题,利用代数式分别表示出经过1年,2年,3年…,的剩留量,归纳出关系式,取几个关键点,作出函数图象,在纵轴上取表示0.5的点,作纵轴的垂线交图象于一点,过这一点作横轴的垂线,横轴与垂线交点的横坐标即为所求的年数.
解：设最初的质量为1,时间用变量x表示,剩留量用y表示,则经过1年,y=1×84%=0.841；经过2年,y=1×0.84×0.84=0.842;……这样,可归纳出,经过x年,y=0.84x,x∈N*.
x 0 1 2 3 4 5 6
y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35
画出指数函数y=0.84x的图象,如图2-1-2-5.从图上可以看出y=0.5时,只需x=4.
图2-1-2-5
答：约经过4年,剩留量是原来的一半.
点评：实际问题中要注意自变量的取值范围.
例2比较下列两个数的大小:
(1)30.8,30.7;(2)0.75-0.1,0.750.1;(3)1.80.6,0.81.6;(4)(),2.
活动：教师提示学生指数函数的性质,根据学生的解题情况及时评价学生.
解法一：直接用科学计算器计算各数的值,再对两个数进行大小的比较:
对(1)因为30.8=2.408225,30.7=2.157669,所以30.8>30.7;
对(2)因为0.75-0.1=1.029186,0.750.1=0.971642,所以0.75-0.1>0.750.1;
对(3)因为1.80.6=1.422864,0.81.6=0.699752,所以1.80.6>0.81.6;
对(4)因为()=2.080084,2=0.659754,所以()>2.
解法二：利用指数函数的性质对两个数进行大小的比较:
对(1)因为函数y=3x在R上是增函数,0.8＞0.7,所以30.8>30.7;
对(2)因为函数y=0.75x在R上是减函数,0.1＞-0.1,所以0.75-0.1>0.750.1;
对(3)由指数函数的性质知1.80.6>1.80=1=0.80>0.81.6,所以1.80.6>0.81.6;
对(4)由指数函数的性质知()>()0=1=20>2,所以()>2.
解法三:利用图象法来解,具体解法略.
点评：在利用指数函数的性质对两个数进行大小比较时,首先把这两个数看作指数函数的两个函数值,利用指数函数的单调性比较.若两个数不是同一函数的两个函数值,则寻求一个中间量,两个数都与这个中间量进行比较,这是常用的比较数的大小的方法,然后得两个数的大小,数学上称这种方法为“中间量法”.
变式训练
比较与(a>0,a≠1,n∈N*,n>2)的大小关系.
解：因为=a,=a,而n∈N*，n>2,
所以=>0,即.
因此：当a>1时a>a，即>；当0知能训练
课本P58练习 1、2.
【补充练习】
1.下列关系中正确的是( )
A.()<()<() B.()<()<()
C.()<()<() D.()<()<()
答案：D
2.函数y=ax(a>0,a≠1)对任意的实数x,y都有( )
A.f(xy)=f(x)·f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y)
C.f(x+y)=f(x)·f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y)
答案：C
3.函数y=ax+5+1(a>0,a≠1)恒过定点________.
答案：（-5,2）
拓展提升
探究一：
在同一坐标系中作出函数y=2x,y=3x,y=10x的图象,比较这三个函数增长的快慢.
活动：学生深刻回顾作函数图象的方法,交流作图的体会.列表、描点、连线,作出函数y=2x,y=3x,y=10x的图象,如图2-1-2-6.
x -2 -1 0 1 2 3 10
y=2x 0.25 0.5 1 2 4 8 1024
y=3x 0.11 0.33 1 3 9 27 59049
y=10x 0.01 0.1 1 10 100 1000 1010
图2-1-2-6
从表格或图象可以看出:
(1)x<0时,有2x>3x>10x;
(2)x>0时,有2x<3x<10x;
(3)当x从0增长到10,函数y=2x的值从1增加到1 024,而函数y=3x的值从1增加到59 049.这说明x>0时y=3x比y=2x的函数值增长得快.同理y=10x比y=3x的函数值增长得快.
因此得：一般地,a>b>1时,(1)x<0时,有ax(2)x=0时,有ax=bx=1;
(3)x>0时,有ax>bx>1;
(4)指数函数的底数越大,x>0时其函数值增长就越快.
探究二：
分别画出底数为0.2、0.3、0.5的指数函数的图象(图2-1-2-7),对照底数为2、3、5的指数函数的图象,研究指数函数y=ax(0图2-1-2-7
由此得：一般地,00时,有axbx>1;(4)指数函数的底数越小,x>0时,其函数值减少就越快.
课堂小结
1.指数函数的定义.
2.指数函数的图象和性质.
3.利用函数的图象说出函数的性质,即数形结合的思想(方法),它是一种非常重要的数学思想和研究方法.
4.利用指数函数的单调性比较几个数的大小,特别是中间变量法.
作业
课本P59习题2.1A组 5、6、8、10.
设计感想
本节课是在前面研究了函数性质的基础上,研究具体的初等函数,它是重要的初等函数,它有着丰富的内涵,且和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,在指数函数的概念讲解过程中,既要向学生说明定义域是什么,又要向学生交代，为什么规定底数a是大于0而不等于1的,本节内容课堂容量大,要提高课堂的效率和节奏,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务.
(设计者：韩双影)2.3 幂函数
整体设计
教学分析
幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝x-1,y＝x等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习.
将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x2,y=x-1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径.
学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析.
三维目标
1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣.
2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望.
3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力.
重点难点
教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.
教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1
1.如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p是w的函数.
2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.
3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.
4.如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S,这里a是S的函数.
5.如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数.
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式,且底数都是变量).
（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课,书写课题:幂函数）.
思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数:二次函数、指数函数和对数函数,这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数,教师板书课题:幂函数.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:给出下列函数:y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数？
问题②:根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论.
问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路 研究幂函数的性质呢
问题④:画出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象,完成下列表格.
函数 性质 y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
特殊点
图象分布
问题⑤:通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断？
问题⑥:通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗
活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示.
讨论结果：
①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.
②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:
一般地,形如y=xα（x∈R）的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
如y=x2,y=x,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.
③我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.
④学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的图象.
列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x … 0 1 1.41 1.73 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y=x3 … -27 -8 -1 0 1 8 27 …
y=x-1 … - -1 1 …
描点、连线.画出以上五个函数的图象如图2-3-1.
图2-3-1
让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质.
通过观察图象,完成表格.
函数 性质 y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇
单调性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递减
特殊点 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
图象分布 第Ⅰ、Ⅲ象限 第Ⅰ、Ⅱ象限 第Ⅰ、Ⅲ象限 第Ⅰ象限 第Ⅰ、Ⅲ象限
⑤第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.
⑥幂函数y=xα的性质.
（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：1x=1）；
（2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.
特别地,当α＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.
当0＜α＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.
（3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.
在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.
应用示例
思路1
例1判断下列函数哪些是幂函数.
①y=0.2x;②y=x-3;③y=x-2;④y=x.
活动：学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xα（x∈R）的函数称为幂函数,变量x的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断.
解：①y=0.2x的底数是0.2,因此不是幂函数;
②y=x-3的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;
③y=x-2的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;
④y=x的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数.
点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.
变式训练
判别下列函数中有几个幂函数？
①y=x;②y=2x2;③y=x;④y=x2+x;⑤y=-x3.
解：①③的底数是变量,指数是常数,因此①③是幂函数;②的变量x2的系数为2,因此不是幂函数;
④的变量是和的形式,因此也不是幂函数;
⑤的变量x3的系数为-1,因此不是幂函数.
例2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.
（1）y=x,（2）y=x,（3）y=x-2.
活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法,判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法,一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时,可以从以下几个方面来考虑:列出相应不等式或不等式组,解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域.
解：（1）要使函数y=x有意义,只需y=有意义,即x∈R.所以函数y=x的定义域是x∈R.又f(-x)=f(x),所以函数y=x是偶函数,它在(-∞,0］上是减函数,在［0,+∞)上是增函数.
（2）要使函数y=x有意义,只需y=有意义,即x∈R+,所以函数y=x的定义域是R+,由于函数y=x的定义域不关于原点对称,所以函数y=x是非奇非偶的函数,它在(0,+∞)上是减函数.
（3）要使函数y=x-2有意义,只需y=有意义,即x≠0,所以函数y=x-2的定义域是x≠0,又f(-x)=f(x),所以函数y=x-2是偶函数,它在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.
点评：在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时,根据负指数幂的意义将其转化为分式形式,根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域,求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.
例3证明幂函数f(x)=在［0,+∞)上是增函数.
活动：学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导.
证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性.
证明：任取x1,x2∈［0,+∞),且x1＜x2,则
f(x1)-f(x2)===,
因为x1-x2＜0,x1+x2＞0,所以＜0.
所以f(x1)点评：证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写,利用作商的方法比较大小,f(x1)与f(x2)的符号要一致.
思路2
例1函数y＝（x2-2x）的定义域是( )
A.{x|x≠0或x≠2} B.（-∞,0）∪（2,＋∞）
C.（-∞,0］∪［2,＋∞) D.（0,2）
分析：函数y＝（x2-2x）化为y=,要使函数有意义需x2-2x＞0,即x＞2或x＜0,所以函数的定义域为{x|x＞2或x＜0}.
答案：B
变式训练
函数y＝（1-x2）的值域是( )
A.［0,＋∞) B.（0,1］ C.（0,1） D.［0,1］
活动：学生独立解题,先思考,然后上黑板板演,教师巡视指导.
函数的值域要根据函数的定义域来求.
函数可化为根式形式,偶次方根号的被开方数大于零,转化为等式或不等式来解,可得定义域,这是复合函数求值域问题,利用换元法.
分析：令t＝1-x2,则y＝,
因为函数的定义域是{x|-1≤x≤1},所以0≤t≤1.所以0≤y≤1.
答案：D
点评：注意换元法在解题中的应用.
例2 比较下列各组数的大小：
（1）1.10.1,1.20.1;（2）0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.
活动：学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨.
比较数的大小,常借助于函数的单调性.
对（1）（2）可直接利用幂函数的单调性.
对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量.
解：（1）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x0.1的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1＜1.2,所以1.10.1<1.20.1.
（2）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x-0.2的单调性,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24＜0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.
(3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2＜0.3,所以0.20.3<0.30.3.
再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2＜0.3,所以0.30.3<0.30.2.
所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.
另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成.
点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性.
知能训练
1.下列函数中,是幂函数的是( )
A.y=2x B.y=2x3 C.y= D.y=2x
2.下列结论正确的是( )
A.幂函数的图象一定过原点 B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数
C.当α>0时,幂函数y=xα是增函数 D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数
3.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是( )
A.y=x3 B.y=x2 C.y= D.y=x
4.已知某幂函数的图象经过点(2,),则这个函数的解析式为.
答案：1.C 2.D 3.A 4.y=x
拓展提升
分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系.
①y＝x-1,y＝x-2,y=x-3;②y＝x,y＝x;
③y=x,y=x2,y=x3;④y=x,y＝x.
活动：学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示.
解：利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2-3-2、图2-3-3，图2-3-4、图2-3-5.
图2-3-2 图2-3-3
图2-3-4 图2-3-5
①观察图2-3-2得到:
函数y＝x-1、y＝x-2、y=x-3的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.
②观察图2-3-3得到:
函数y＝x、y＝x的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.
③观察图2-3-4得到:
函数y=x、y=x2、y=x3的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象下凸越大,在第一象限来看,图象向上离y轴近,向下离y轴近.
④观察图2-3-5得到:
函数y=x、y＝x的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象上凸越大,在第一象限来看,图象在点(1,1)的左边离y轴近,在点(1,1)的右边离x轴近.
根据上述规律可以判断函数图象的分布情况.
课堂小结
1.幂函数的概念.
2.幂函数的性质.
3.幂函数的性质的应用.
作业
课本P87习题2.3 1、2、3.
设计感想
幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解.
习题详解
(课本第79页习题2.3)
1.函数y=是幂函数.
2.解析:设幂函数的解析式为f（x）=xα,
因为点（2,）在图象上,所以=2α.
所以α=,即幂函数的解析式为f（x）=x,x≥0.
3.（1）因为流量速率v与管道半径r的四次方成正比,所以v=k·r4；
（2）把r=3,v=400代入v=k·r4中,得k=＝,即v=r4；
（3）把r=5代入v=r4,得v=×54≈3 086（cm3/s）,即r=5 cm时,该气体的流量速率为3 086 cm3/s.