第2课时 函数模型的应用举例
导入新课
思路1.(事例导入)
一辆汽车在水平的公路上匀加速行驶，初速度为v0,加速度为a,那么经过t小时它的速度为多少？在这t小时中经过的位移是多少？试写出它们函数解析式，它们分别属于那种函数模型？v=v0+at,s=v0t+at2,它们分别属于一次函数模型和二次函数模型.
不仅在物理现象中用到函数模型，在其他现实生活中也经常用到函数模型，今天我们继续讨论函数模型的应用举例.
思路2.(直接导入)
前面我们学习了函数模型的应用，今天我们在巩固函数模型应用的基础上进一步讨论函数拟合问题.
推进新课
新知探究
提出问题
①我市某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平稳增长.已知2000年为第一年，头4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
1°画出2000～2003年该企业年产量的散点图；建立一个能基本反映（误差小于0.1）这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之.
2°2006年(即x＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？
②什么是函数拟合？
③总结建立函数模型解决实际问题的基本过程.
讨论结果：①1°如图3-2-2-5，
设f(x)＝ax＋b,代入（1，4）、（3，7）,得解得a=，b=.
∴f(x)=x+.
检验：f(2)＝5.5，|5.58-5.5|=0.08<0.1；
f(4)＝8.5，|8.44-8.5|=0.06<0.1.
∴模型f(x)=x+能基本反映产量变化.
2°f(7)＝13，13×70%＝9.1，2006年年产量应约为9.1万件.
图3-2-2-5
②函数拟合：根据搜集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合比较选出最恰当函数模型的过程.
③建立函数模型解决实际问题的基本过程为：
图3-2-2-6
应用示例
思路1
例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表所示:
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润
解：根据上表,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,而在此情况下的日均销售量就为
480－40(x－1)=520－40x(桶).
由于x＞0,且520－40x＞0,即0＜x＜13,
于是可得
y=(520－40x)x－200=－40x2+520x－200,0＜x＜13.
易知,当x=6.5时,y有最大值.
所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润.
变式训练
某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
（1）如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；
（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？
解：（1）设在原来基础上增加x台，则每台生产数量为384-4x件，机器台数为80+x，
由题意有y=(80+x)(384-4x).
（2）整理得y=-4x2+64x+30 720，
由y=-4x2+64x+30 720,得y=-4(x-8)2+30 976，
所以增加8台机器每天生产的总量最大，最大生产总量为30 976件.
点评：二次函数模型是现实生活中最常见数学模型.
例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表:
身高∕cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重∕kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.
(2)若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：
根据表的数据画出散点图.观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线.根据这些点的分布情况，可以考虑用y=a·bx这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系.
解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图（图3-2-2-7）.根据点的分布特征，可以考虑用y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm关系的函数模型.
如果取其中的两组数据（70，7.90）,(160,47.25),代入y=a·bx,得
用计算器算得a≈2,b≈1.02.
这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象（图3-2-2-8），可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
(2)将x=175代入y=2×1.02x，得y=2×1.02175，
由计算器算得y≈63.98.
由于78÷63.98≈1.22>1.2,
所以这个男生偏胖.
图3-2-2-7 图3-2-2-8
变式训练
九十年代，政府间气候变化专业委员会（IPCC）提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加.据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y=a·bx+c（其中a、b、c为常数），且又知1994年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？
解：(1)若以f(x)=px2+qx+r作模拟函数，
则依题意得解得所以f(x)=x2+x.
(2)若以g(x)=a·bx+c作模拟函数，则解得
所以g(x)=·()x-3.
(3)利用f(x)、g(x)对1994年CO2浓度作估算，则其数值分别为：
f(5)=15可比单位，g(5)=17.25可比单位，
∵|f(5)－16|<|g(5)－16|,
故选f(x)=x2+x作为模拟函数与1994年的实际数据较为接近.
思路2
例1某自来水厂的蓄水池有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为1206t吨,其中0≤t≤24.
(1)从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少 最少水量是多少吨
(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导.
思路分析：首先建立函数模型，利用函数模型解决实际问题.
解：设供水t小时，水池中存水y吨，则
(1)y=400+60t-120=60()2+40(1≤t≤24),
当t=6时，ymin=40(吨),
故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，最少存水为40吨.
(2)依条件知60()2+40<80,1≤t≤24,
解得
故一天24小时内有8小时出现供水紧张.
例22007泰安高三期末统考，文18某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为x（0(1)写出y与x的关系式；
(2)为使日利润有所增加，求x的取值范围.
解：(1)由题意得
y=［60×(1+0.5x)-40×(1+x)］×1 000×(1+0.8x)
=2 000(-4x2+3x+10)(0(2)要保证日利润有所增加，当且仅当
即解得0所以为保证日利润有所增加，x应满足0点评：函数模型应用经常伴随方程和不等式的应用，它们是有机的整体.
知能训练
2007广东韶关统考，文18某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．
(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；
(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）．问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由.
解：(1)设该厂应隔x(x∈N*)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1，
∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03=6（元）.
∴x天饲料的保管与其他费用共有
6(x-1)+6(x-2)+…+6=3x2-3x(元).
从而有y1=(3x2-3x+300)+200×1.8
=+3x+357,
可以证明y1=+3x+357,在（0，10）上为减函数，在（10，+∞）上为增函数.
∴当x=10时，y1有最小值417,
即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.
(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则
y2=(3x2-3x+300)+200×1.8×0.85=+3x+303(x≥25).
∵函数y2在［25,+∞）上是增函数,
∴当x=25时，y2取得最小值为390.而390<417,
∴该厂应接受此优惠条件.
拓展提升
如何用函数模型解决物理问题？
例：在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1,a2,…,an共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较a与各数据差的平方和最小，依此规定，从a1,a2,a3,…,an推出的a=________.
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化成函数求最值问题.
解：由题意可知，所求a应使y=(a-a1)2+…+(a-an)2最小,
由于y=na2-2(a1+a2+…+an)2a+(a12+a22+…+an2).
若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值.
因为n>0，二次函数f(a)图象开口方向向上,
当a=(a1+a2+…+an)时，y有最小值,
所以a=(a1+a2+…+an)即为所求.
点评：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即y=(a-a1)2+(a-a2)2+…+(a-an)2,然后运用函数的思想方法去解决问题.解题关键是将函数式化成以a为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用.
课堂小结
1.巩固函数模型的应用.
2.初步掌握函数拟合思想，并会用函数拟合思想解决实际问题.
作业
课本P107习题3.2B组1、2.
设计感想
本节通过事例引入课题，接着通过事例让学生感受什么是函数拟合；课本的例3是函数模型的应用，例4是函数拟合的应用，这都是本节的重点.因此本节选用了多个地市的模拟试题进行强化训练，其中开放性函数拟合问题更值得关注.本节素材鲜活丰富，结构合理有序，难度适中贴近高考.
习题详解
(课本第98页练习)
1.y2.
2.设第1轮病毒发作时有a1=10台被感染,第2轮,第3轮,…,依次有a2台,a3台,…被感染,依题意有a5=10×204=160.
答:在第5轮病毒发作时会有160万台被感染.
(课本第101页练习)
三个函数图象如下:
图3-2-2-9
由图象可以看到,函数(1)以“爆炸”式的速度增长;函数(2)增长缓慢,并渐渐趋于稳定;函数(3)以稳定的速度增加.
(课本第104页练习)
1.(1)已知人口模型为y=y0ert,
其中y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年增长率.
若按1650年世界人口5亿,年增长率为0.3%估计,有y=5e0.003t.
当y=10时,解得t≈231.
所以,1881年世界人口数约为1650年的2倍.
同理,可知2003年世界人口数约为1970年的2倍.
(2)由此看出,此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况.
2.由题意有75t-4.9t2=100,
解得t=,
即t1≈1.480,t2≈13.827.
所以,子弹保持在100 m以上的时间t=t2-t1≈12.35,在此过程中,子弹最大速率
v1=v0-9.8t=75-9.8×1.480=60.498 m/s.
答:子弹保持在100米以上高度的时间是12.35秒,在此过程中,子弹速率的范围是v∈(0,60.498).
(课本第106页练习)
1.(1)由题意可得y1=150+0.25x,
y2=+0.25,
y3=0.35x,
y4=0.35x-(150+0.25x)=0.1x-150.
(2)画出y4=0.1x-150的图象如下.
图3-2-2-10
由图象可知,当x<1500件时,该公司亏损;
当x=1500件时,公司不赔不赚;
当x>1500件时,公司赢利.
2.(1)列表.
(2)画散点图.
图3-2-2-11
3.确定函数模型.
甲:y1=-x2+12x+41,
乙:y2=-52.07×0.778x+92.5.
(4)做出函数图象进行比较.
图3-2-2-12
图3-2-2-13
图3-2-2-14
计算x=6时,y1=77,y2=80.9.
可见,乙选择的模型较好.
(课本第107页习题3.2)
A组
1.(1)列表.
(2)描点.
图3-2-2-15
(3)根据点的分布特征,可以考虑以d=kf+b作为刻画长度与拉力的函数模型,取两组数据(1,14.2)、(4,57.5),有
解得所以d=14.4f-0.2.
将已知数据带入上述解析式或作出函数图象,可以发现,这个函数模型与已知数据拟合程度较好,说明它能较好地反映长度与拉力的关系.
图3-2-2-16
2.由=(60)2a,得a=.由=x2,得x=3010.
因为3010<100,所以这辆车没有超速.
3.(1)x=(2)v=
图略.
4.设水池总造价为y元,水池长度为x m,则y=(12x+)95+×135,
画出函数y1=(12x+)95+×135和函数y2=7的图象.
图3-2-2-17
由图可知,若y1≤7,则x应介于［x1,x2］之间,x1,x2即为方程(12x+)95+×135=70 000的两个根.
解得x1≈6.4,x2≈31.3.
答:水池的长与宽应该控制在［6.4,31.3］之间.
5.将x=0,y=1.01×105和x=2400,y=0.90×105分别代入y=cekx,得到
解得c=所以y=1.01×105ex.
当x=5596m时,y=0.772×105(Pa)<0.775×105(Pa).
答:这位游客的决定是冒险的决定.
6.由500≤2500()t<1500,解得2.3答:应该在用药2.3小时后及7.2小时以前补充药.
B组
1.(1)利用计算器画出1990~2000年国内生产总值的图象如下.
图3-2-2-18
(2)根据以上图象的特征,可考虑用函数y=kx+b刻画国民生产总值发展变化的趋势.
取(1994,46670)(1998,76967.1)两组数据代入上式,得
解得
这样,我们就得到了函数模型y=7574.275x-15056434.35.
作出上述函数图象如下.
图3-2-2-19
根据上述函数图象,我们发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映国民生产总值的发展变化.
(3)以x=2 004代入以上模型可得y=122 412.75亿元,由此可预测2004年的国民生产总值约为122 412.75亿元.
2.(1)点A,B的实际意义为当乘客量为0时,亏损1(单位);当乘客量为1.5单位时,收支持平;射线AB上的点的实际意义为当乘客量小于1.5时公司将亏损,当乘客量大于1.5时公司将赢利.
(2)图2的建议是:降低成本而保持票价不变;图3的建议是:提高票价而保持成本不变.3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
整体设计
教学分析
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题.课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的.
三维目标
1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.
2.恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题.
3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣.
重点难点
教学重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.
教学难点:应用函数模型解决简单问题.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时 几类不同增长的函数模型
导入新课
思路1.(事例导入)
一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度.你的直觉与结果一致吗？
解：纸对折n次的厚度:f(n)=0.01·2n(cm),n块砖的厚度:g(n)=10n(cm),f(20)≈105 m,g(20)=2 m.
也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解.
思路2.(直接导入)
请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的增长差异.
推进新课
新知探究
提出问题
①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.
②正方形的边长为x，面积为y,把y表示为x的函数.
③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y,把y表示为x的函数.
④分别用表格、图象表示上述函数.
⑤指出它们属于哪种函数模型.
⑥讨论它们的单调性.
⑦比较它们的增长差异.
⑧另外还有哪种函数模型.
活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
①总价等于单价与数量的积.
②面积等于边长的平方.
③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….
④列表画出函数图象.
⑤引导学生回忆学过的函数模型.
⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性.
⑦让学生自己比较并体会.
⑧另外还有与对数函数有关的函数模型.
讨论结果：
①y=x.
②y=x2.
③y=(1+5%)x,
④如下表
x 1 2 3 4 5 6
y=x 1 2 3 4 5 6
y=x2 1 4 9 16 25 36
y=(1+5%)x 1.05 1.01 1.16 1.22 1.28 1.34
它们的图象分别为图3-2-1-1，图3-2-1-2，图3-2-1-3.
图3-2-1-1 图3-2-1-2 图3-2-1-3
⑤它们分别属于：y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a≠0,抛物线型)，y=kax+b(指数型).
⑥从表格和图象得出它们都为增函数.
⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数.
⑧另外还有与对数函数有关的函数模型,形如y=logax+b,我们把它叫做对数型函数.
应用示例
思路1
例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.
解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述.三个模型中，第一个是常函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它的增长情况进行分析.我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.
x/天 方案一 方案二 方案三
y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元
1 40 10 0.4
2 40 0 20 10 0.8 0.4
3 40 0 30 10 1.6 0.8
4 40 0 40 10 3.2 1.6
5 40 0 50 10 6.4 3.2
6 40 0 60 10 12.8 6.4
7 40 0 70 10 25.6 12.8
8 40 0 80 10 51.2 25.6
9 40 0 90 10 102.4 51.2
10 40 0 100 10 204.8 102.4
30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4
再作出三个函数的图象(3-2-1-4).
图3-2-1-4
由表和图(3214)可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的.从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天方案二最多;第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.
下面再看累积的回报数.通过计算机或计算器列表如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二 10 30 60 100 150 210 180 360 450 550 660
三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8
因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三.
针对上例可以思考下面问题：
①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数.
②课本把两种回报数都列表给出的意义何在？
③由此得出怎样结论.
答案:①选择哪种方案依据的是累积回报数.
②让我们体会每天回报数增长变化.
③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.
变式训练
某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x分钟，两种通讯业务的费用分别为y1元和y2元，那么
(1)写出y1、y2与x之间的函数关系式；
(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象；
(3)求出或寻求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；
(4)若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算.
思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变
化情况，为选择哪种通讯提供依据.(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；(2)运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；(3)可利用方程组求解，也可以根据图象回答；(4)寻求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大.
解：(1)y1=50＋0.4x(x≥0)，y2=0.6x(x≥0).
(2)图象如图(3-2-1-5)所示.
图3-2-1-5
(3)根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同.
(4)当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值,即选取全球通更合算.
另解：当y1=200时有0.4x＋50=200,∴x1=375；
当y2=200时有0.6x=200,x2=.显然375>,
∴选用全球通更合算.
点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.
例2某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果.
解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图象(图3-2-1-6).
图3-2-1-6
观察函数的图象，在区间［10,1 000］上，模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.
下面通过计算确认上述判断.
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.
对于模型y=0.25x，它在区间［10,1 000］上递增，而且当x=20时，y=5,因此,当x>20时，y>5,所以该模型不符合要求；
对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x0满足1.002x0=5,由于它在区间［10,1 000］上递增，因此当x>x0时，y>5，所以该模型也不符合要求；
对于模型y=log7x+1，它在区间［10,1 000］上递增，而且当x=1 000时，y=log71 000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈［10,1 000］时，是否有=≤0.25成立.
图3217
令f(x)=log7x+1-0.25x,x∈［10,1 000］.利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象(图3217)，由函数图象可知它是递减的，因此
f(x)所以当x∈［10,1 000］时，<0.25.
说明按模型y=log7x+1奖励，奖金不超过利润的25%.
综上所述，模型y=log7x+1确实能符合公司的要求.
变式训练
市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系做数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x>0)，销售数量就减少kx%(其中k为正常数).目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个.
(1)当k=时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？
(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围.
解：依题意，价格上涨x%后，销售总金额为
y=a(1+x%)·b(1-kx%)=［-kx2+100(1-k)x+10 000］.
(1)取k=,y=(x2+50x+10 000),
所以x=50,即商品价格上涨50%，y最大为ab.
(2)因为y=［-kx2+100(1-k)x+10 000］,
此二次函数的开口向下，对称轴为x=，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x>0}的一个子集内增大时，y也增大.
所以>0,解得0点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.
思路2
例1某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置.设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)(单位：小时，可不为整数).
(1)写出g(x),h(x)解析式；
(2)比较g(x)与h(x)的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式；
(3)应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？
解：(1)由题意,知需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为x人，216-x人.
∴g(x)=,h(x)=,
即g(x)=,h(x)= (0(2)g(x)-h(x)==.
∵00.
当00,g(x)-h(x)>0,g(x)>h(x)；
当87≤x<216时,432-5x<0,g(x)-h(x)<0,g(x)∴f(x)=
(3)完成总任务所用时间最少即求f(x)的最小值.
当0∴f(x)≥f(86)==.
∴f(x)min=f(86),此时216-x=130.
当87≤x<216时，f(x)递增.
∴f(x)≥f(87)==.
∴f(x)min=f(87),此时216-x=129,
∴f(x)min=f(86)=f(87)=,
∴加工G型装置，H型装置的人数分别为86，130或87，129.
变式训练
1.某农产品去年各季度的市场价格如下表：
季度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
每吨售价(单位：元) 195.5 2000.5 204.5 199.5
今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价m”(平衡价m是这样的一个量：m与各季度售价差的平方和最小)收购该种农产品，并按每个100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万吨，政府为了鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，
(1)根据题中条件填空，m=________(元/吨)；
(2)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(3)若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.
解：(1)∵f(m)=(m-195.5)2+(m-200.5)2+(m-204.5)2+(m-199.5)2=4m2-1 600m+160 041,∴m=200.
(2)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1+2x%)万吨，收购总金额为200a(1+2x%),
故y=200a(1+2x%)(10-x)%=a(100+2x)(10-x)=a(100+2x)(10-x)(0(3)原计划税收为200a×10%=20a(万元)，
依题意得a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%,即x2+40x-84≤0.
解得-42≤x≤2.又0∴x的取值范围是02.假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫税率为8%)，计划可收购m万担(其中m为正常数)，为了减轻农民负担，如果税率降低x%，预计收购量可增加(2x)%.
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，求x的取值范围.
解：(1)y=120m×104［1+(2x)%］×(8-x)%=120m(-2x2-84x+800).
(2)由题意知120m(-2x2-84x+800)≥0.78×120m×104×8%,
解得0例2某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图3-2-1-8，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图3-2-1-9,(注：利润与投资单位：万元)
(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式.
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元 (精确到1万元)
图3-2-1-8 图3-2-1-9
解：(1)设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元.
由题设f(x)=k1x,g(x)=k2x，由图知f(1)=,∴k1=.
又g(4)=,∴k2=.
从而f(x)=x(x≥0),g(x)=x(x≥0).
(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元,企业利润为y万元.
则y=f(x)+g(10-x)=+10-x(0≤x≤10),
令=t,则y=+t=(t)2+(0≤t≤10),
当t=时,ymax=≈4,此时x=10=3.75(万元).
∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时,企业获得最大利润约为4万元.
变式训练
某商场计划投入一笔资金采购一批紧销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓储费用700元，请根据商场情况，如何购销获利较多？
解：设商场投资x元，在月初出售，到月末可获利y1元，在月末出售，可获利y2元，则
y1=15%x＋10%(x＋15%x)=0.265x,
y2=0.3x－700.
图3-2-1-10
利用函数图象比较大小，在直角坐标系中，作出两函数的图象如图3-2-1-10所示，得两图象的交点坐标为(20000,5300).
由图象,知当x>20000时，y2>y1.
当x=20000时，y1=y2；当x<20 000时，y2∴当投资小于20000元时,月初出售;当投资等于20000元时,月初、月末出售均可;当投资大于20000元时,月末出售.
知能训练
光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k，通过x块玻璃以后强度为y.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的以下.(lg3≈0.4771).
解：(1)光线经过1块玻璃后强度为(1－10%)k=0.9k；
光线经过2块玻璃后强度为(1－10%)·0.9k=0.92k;
光线经过3块玻璃后强度为(1－10%)·0.92k=0.93k;
光线经过x块玻璃后强度为0.9xk.
∴y=0.9xk(x∈N*).
(2)由题意：0.9xk＜.∴0.9x＜.两边取对数，xlg0.9＜lg.
∵lg0.9＜0，∴x＞.∵=≈10.4，∴xmin=11.
∴通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的以下.
拓展提升
某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象(如图3-2-1-11所示).假设其关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；
③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所需的时间分别为t1、t2、t3,则有t1+t2=t3；
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度.
哪些说法是正确的？
图3-2-1-11
解：①说法正确.
∵关系为指数函数,∴可设y=ax(a>0且a≠1).
∴由图知2=a1.
∴a=2,即底数为2.
②∵25=32>30,∴说法正确.
③∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确.
④t1=1,t2=log23,t3=log26,∴说法正确.
⑤∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确.
课堂小结
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.
引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.
答案:(1)建立函数模型;(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题.
作业
课本P107习题3.2A组1、2.
设计感想
本节设计由学生熟悉素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣.课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，是课本的补充和提高，其难度适中是各地高考模拟经常选用的素材.其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点,是一个不可多得的素材.
(设计者：林大华)第三章 函数的应用
本章教材分析
函数的应用是学习函数的一个重要方面.学生学习函数的应用,目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题.通过函数的应用,对完善函数的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有很大的帮助.
本章主要内容：函数与方程、函数模型及其应用、实习作业和小结.在函数与方程这一节中课本从学生最熟悉的二次函数入手，通过研究方程的根与函数的零点的关系，使函数的图象与性质得到充分的应用，同时也展现了函数和方程的密切关系.求函数零点的近似解不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.
在函数模型及其应用这一节中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查的重点.
本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“函数方程思想”“数形结合思想”“转化思想”,从而提高自己的数学能力.
因此应从三个方面把握本章：(1)知识间的联系;(2)数学思想方法;(3)认知规律.
本章教学时间约需9课时，具体分配如下(仅供参考)：
3.1函数与方程 约3课时
3.2函数模型及其应用 约4课时
实习作业 约1课时
本章复习 约1课时
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
整体设计
教学分析
函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着有机联系.课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想.本节充分体现了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法.另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物.
三维目标
1.让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点.
2.通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界.
3.通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐.
重点难点
根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时 方程的根与函数的零点
导入新课
思路1.(情景导入)
据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲,再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲).
请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段 学生思考或讨论回答：
三次:(1)开场;(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段;(3)由落后到领先必经过“平分”时段.
教师点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”,函数值有“负”“正”“零”,函数图象与足球比赛一样跌宕起伏.由此导入课题,为后面学习埋好伏笔.
思路2.(事例导入)
(多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数
关系式为h=20t-5t2,问炮弹经过多少秒回到地面？
炮弹回到地面即高度h=0，求方程20t-5t2=0的根,得t=4秒.如图3-1-1-1.
图3-1-1-1
思路3.(直接导入)
教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点.
推进新课
新知探究
提出问题
①求方程x2-2x-3=0的根，画函数y=x2-2x-3的图象.
②求方程x2-2x+1=0的根，画函数y=x2-2x+1的图象.
③求方程x2-2x+3=0的根，画函数y=x2-2x+3的图象.
④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系
⑤如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它们之间有什么关系
⑥归纳函数零点的概念.
⑦怎样判断函数是否有零点？
⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？
活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路:
问题①:先求方程的两个根，找出抛物线的顶点,画出二次函数的图象(图3-1-1-2).
问题②:方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3-1-1-3).
问题③:方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图3-1-1-4).
问题④:方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数.
问题⑤:对于其他函数这个结论正确吗？
问题⑥:函数的零点是一个实数.
问题⑦:可以利用“转化思想”.
问题⑧:足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？
讨论结果：①方程的两个实数根为-1，3.
②方程的实数根为1.
③方程没有实数根.
④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标.
⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数.a.当Δ>0时，一元二次方程有两个不等的实根x1、x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0);b.当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0);c.当Δ<0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.
⑥一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
⑦方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.
⑧观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间［-2,1］
上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零.在区间［2,4］
同样如此.可以发现，f(-2)f(1)<0,函数y=x2-2x-3在区间(-2，1)内有零点x=-1，它是方程x2-2x-3=0的一个根.同样地，f(2)f(4)<0，函数y=x2-2x-3在(2，4)内有零点x=3,它是方程x2-2x-3=0的另一个根.
图3-1-1-2 图3-1-1-3 图3-1-1-4
应用示例
思路1
例1已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a分别满足下列条件，求实数a的取值范围.
(1)函数有两个零点;
(2)函数有三个零点;
(3)函数有四个零点.
活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数不易讨论，所以可转化为方程|x2-2x-3|-a=0根的个数来讨论，即转化为方程|x2-2x-3|=a的根的个数问题,再转化为函数f(x)=|x2-2x-3|与函数f(x)=a交点个数问题.
解：设f(x)=|x2-2x-3|和f(x)=a分别作出这两个函数的图象(图3-1-1-5)，它们交点的个数，即函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数.
图3-1-1-5
(1)若函数有两个零点，则a=0或a>4.
(2)若函数有三个零点，则a=4.
(3)函数有四个零点,则0变式训练
1.判断函数y=|x-1|-2零点的个数.
解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数,作出函数图象(图3-1-1-6)，
图3-1-1-6
函数y=|x-1|-2的图象与x轴有两个交点，所以函数y=|x-1|-2有两个零点.
2.求证：函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.
证法一:因为一元二次方程2x2-3x-2=0的判别式Δ=32+4×2×2=25>0,
所以一元二次方程2x2-3x-2=0有两个不相等的实根，所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.
证法二:因为一元二次方程2x2-3x-2=0可化为(2x+1)(x-2)=0,
所以一元二次方程2x2-3x-2=0有两个不相等的实根x1=2,x2=.
所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.
证法三:因为函数f(x)=2x2-3x-2的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x轴的下方,即f(0)=-2<0,所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.如图3-1-1-6.
图3-1-1-7
点评：判断函数零点个数可以结合函数的图象.
方法：零点?函数方程的根?两图象交点.
数学思想：转化思想和数形结合思想.
例2若关于x的方程3x2-5x+a=0的一根在(-2，0)内，另一个根在(1，3)内，求a的取值范围.
活动：学生自己思考或讨论，再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价.
如果用求根公式与判别式来做，运算量很大,能否将问题转化？借助二次函数的图象，从图象中抽出与方程的根有关的关系式，使得问题解答大大简化.引导学生画出函数的图象观察分析.
解：设f(x)=3x2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线,如图3-1-1-8：
图3-1-1-8
因为f(x)=0的两根分别在区间(-2，0)、(1，3)内，
所以即故所求a的取值范围是-12变式训练
关于x的方程x2-ax+a2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2,求实数a的取值范围.
解：设f(x)=x2-ax+a2-7,图象为开口向上的抛物线(如图3-1-1-9).
因为方程x2-ax+a2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2,
所以函数f(x)=x2-ax+a2-7的零点一个大于2，另一个小于2.
即函数f(x)=x2-ax+a2-7的图象与x轴的两个交点在点(2，0)的两侧.
只需f(2)<0,即4-2a+a2-7<0,所以-1图3-1-1-9
思路2
例1若方程2ax2-x-1=0在(0，1)内有解，求实数a的取值范围.
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：
①有解包括有一解和有两解，要分类讨论.
②用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径.
③有两种情况：a.a=0;b.a≠0,Δ≥0.
解：令f(x)=2ax2-x-1，
(1)当方程2ax2-x-1=0在(0，1)内恰有一个解时，f(0)·f(1)<0或a≠0且Δ=0,
由f(0)·f(1)<0,得(-1)(2a-2)<0,所以a>1.由Δ=0,得1+8a=0,a=
∴方程为x2-x-1=0,即x=-2(0,1)(舍去).综上可得a>1.
(2)当方程2ax2-x-1=0在(0，1)内有两个解时，则
或
容易解得实数a不存在.
综合(1)(2),知a>1.
变式训练
若方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，求实数a的取值范围.
解：(1)当a=0时，x=0满足题意.
(2)当a≠0时，设f(x)=ax2+3x+4a.
方法一:若方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，则
∴∴0综上(1)(2),得0≤a≤.
方法二:若方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，则
∴
解得0综上(1)(2),得0≤a≤.
点评：有两种方法:(1)结合函数图象利用函数符号列不等式组.
(2)代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组.
例2设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根为x1、x2,满足0(1)当x∈(0,x1)时，求证：x(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，求证：x0<.
活动：根据方程与函数关系，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为方程f(x)-x=0的两个根为x1、x2，可考虑把f(x)-x设为双根式，然后判断其符号，再考虑二次函数的双根与二次函数对称轴的关系.
证明:(1)∵x1、x2是方程f(x)-x=0的两个根，且0∴当x∈(0,x1)时,有f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)=a(x1-x)(x2-x)>0,即f(x)-x>0.
又∵f(x)-x=a(x1-x)(x2-x)(2)∵f(x)-x=ax2+(b-1)x+c,且f(x)-x=0的两个根为x1、x2,
∴二次函数f(x)-x的对称轴为x==.∴=.
又由已知，得x0=，∴=x0+.
又∵x2<,∴>0.故=x0+>x0,即x0<.
变式训练
1.已知二次函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x),且其两零点分别为x1、x2,求x1+x2.
解：∵对任意x都有f(3-x)=f(3+x)，∴函数f(x)的图象上有两点(3-x,y)、(3+x,y)关于x=3对称.
∴二次函数f(x)的对称轴为x=3.
∵x1、x2为二次函数f(x)的两个零点，
∴x1+x2=6.
2.若函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x)，且函数f(x)有6个零点，求所有零点的和.
解：同理函数f(x)的对称轴为x=3，∴3(x1+x2)=18.
点评：①二次函数的双根与二次函数解析式的关系是：若二次项系数为a,两个根为x1、x2,则二次函数解析式为f(x)=a(x-x1)(x-x2).
②二次函数的双根与二次函数对称轴的关系是：二次函数f(x)的对称轴为x=.
总之：二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带，应仔细体会、准确把握.
知能训练
讨论函数y=ex+4x-4的零点的个数.
活动：鼓励学生说出自己的见解，并说明理由.函数零点问题是函数的重要应用，离不开函数的图象和性质.
(1)利用f(a)f(b)<0及函数的单调性.(2)作出y=ex和y=4-4x的图象，把函数y=ex+4x-4的零点的个数转化为方程ex=4-4x根的个数，再转化为上述两函数图象交点的个数.
解：(方法一)利用计算机作出x，f(x)的对应值表：
x 0 1
f(x) -3 2.71828
由表和图可知，f(0)<0,f(1)>0,则f(0)f(1)<0，这说明f(x)在区间(0,1)内有零点,由于函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.
(方法二)作出y=ex和y=4-4x的图象(图3-1-1-10),即可直观地看出零点的个数为1.
图3-1-1-10
总结点评：讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：(1)解方程;(2)画图象;(3)利用f(a)f(b)<0及函数的单调性;同时这些方法是有机联系的.
拓展提升
1.2007山东青岛高三教学质量检测,理19已知m∈R,设P:x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个根,不等式|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈［1，2］恒成立；Q：函数f(x)=3x2+2mx+m+有两个不同的零点,求使P和Q同时成立的实数m的取值范围.
解：由题意知x1+x2=a,x1x2=-2,∴|x1-x2|==.
当a∈［1,2］时,的最小值为3.
要使|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈［1，2］恒成立，只需|m－5|≤3,即2≤m≤8.
由已知得Q中:f(x)=3x2+2mx+m+的判别式Δ=4m2-12(m+)=4m2-12m-16>0，得m<-1或m>4.
综上，要使P和Q同时成立，只需解得实数m的取值范围是(4,8］.
2.如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点？可能有几个零点？
活动：学生先思考或讨论，再回答.利用函数图象进行探索分析:
①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？
解析:零点个数可以是任意自然数.下面讨论在区间［-3,3］上函数零点个数，
(1)可能没有零点如图(图3-1-1-11).
图3-1-1-11 图3-1-1-12
(2)可能有一个零点如图(图3-1-1-12).
(3)可能有两个零点如图(图3-1-1-13).
图3-1-1-13 图3-1-1-14
(4)可能有三个零点如图(图3-1-1-14).
(5)可能有n(n∈N*)个零点,图略.
点评：在区间［-3,3］上函数零点个数可以是任意自然数.借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习兴趣.
课堂小结
本节学习了:①零点的概念;②零点的判断方法;③利用函数的单调性证明零点的个数;④零点的应用.
学习方法：由特殊到一般的方法.
数学思想：转化思想、数形结合思想.
作业
课本P88练习1.
设计感想
本节以事例导入,该事例是学生很感兴趣的话题,发人深思而紧贴本节主题,为后面讲解埋好了伏笔.因为二次函数、二次方程永远是高考的重点,所以本节结合二次函数的图象性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题.本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结,还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高.另外,本节目的明确、层次分明、难度适中,对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展,希望大家喜欢.
(设计者：赵冠明)第2课时 几类不同增长的函数模型
导入新课
思路1情景导入
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么.发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.
思路2直接导入
我们知道，对数函数y=logax(a>1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.
推进新课
新知探究
提出问题
①在区间(0，+∞)上判断y=log2x,y=2x,y=x2的单调性.
②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.
③结合函数的图象找出其交点坐标.
④请在图象上分别标出使不等式log2x<2x⑤由以上问题你能得出怎样结论？
讨论结果：
①在区间(0，+∞)上函数y=log2x,y=2x,y=x2均为单调增函数.
②见下表与图3-2-1-12.
x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4
y=2x 1.149 1.516 2 2.639 3.482 4.959 6.063 8 10.556
y=x2 0.04 0.36 1 1.96 3.24 4.84 6.67 9 11.56
y=log2x -2.322 -0.737 0 0.485 0.848 1.138 1.379 1.585 1.766
图3-2-1-12
③从图象看出y=log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16).
④不等式log2x<2x⑤我们在更大的范围内列表作函数图象(图3-2-1-13),
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128 256
y=x2 0 1 4 9 16 25 36 49 64
图3-2-1-13
容易看出：y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图3-2-1-14和下表所示.
x 0 10 20 30 40 50 60 70 80
y=2x 1 1024 1.05E+06 1.07E+09 1.10E+12 1.13E+15 1.15E+18 1.18E+21 1.21E+24
y=x2 0 100 400 900 1600 2500 3600 4900 6400
图3-2-1-14
一般地，对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.
同样地，对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，在区间(0，+∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax综上所述，尽管对数函数y=logax(a>1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有logax0)增长快于对数函数y=logax(a>1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”.
应用示例
思路1
例1某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：
设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价－付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20·0.30x；②可卖出250份的10天里，收入为10·0.30·250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10·0.05·(x-250).付给报社的总价为30·0.20x.
解：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.于是每月所获利润y为
y=20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·(x-250)-30·0.20x=0.5x+625，x∈［250，400］.
因函数y在［250，400］上为增函数，故当x=400时，y有最大值825元.
例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线.
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？
图3-2-1-15
解：(1)依题意,得y=
(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则t1+=4,t1=4.因而第二次服药应在11:00；
设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有t2+(t2-4)+=4,解得t2=9小时，故第三次服药应在16:00；
设第四次服药在第一次后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，(t2-4)+(t2-9)+=4,解得t3=13.5小时，故第四次服药应在20:30.
变式训练
通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力〔f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强〕，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式：
f(x)=
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
解：(1)当0由f(x)的图象,知当x=10时，［f(x)］max=f(10)=59；
当10由f(x)的图象,知f(x)<-3×16+107=59.
因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟.
(2)∵f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=53.5，f(20)=-3×20+107=47<53.5,
∴开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强.
点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练.
思路2
例3 2007山东滨州一模，文20一工厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100时,每多订购1个,订购的全部零件的单价就降低0.02元,但最低出厂单价不低于51元.
(1)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂价恰为51元
(2)设一次订购量为x个时,零件的实际出厂价为p元,写出p=f(x).
(3)当销售商一次订购量分别为500、1 000个时,该工厂的利润分别为多少
(一个零件的利润=实际出厂价-成本)
解：(1)设一次订购量为a个时,零件的实际出厂价恰好为51元,则a=100+50个.
(2)p=f(x)=其中x∈N*.
(3)当销售商一次订购量为x个时,该工厂的利润为y,则y=(p-40)x=其中x∈N*,故当x=500时,y=6000;当x=1000时,y=11000.
点评：方程中的未知数设出来后可以参与运算，函数解析式为含x、y的等式.
例4甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到甲、乙两图：
图3-2-1-16
甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只.
乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个.
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数.
(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由.
(3)哪一年的规模(即总产量)最大 请说明理由.
活动：观察函数图象，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:
先观察图象得出相关数据，利用数据找出函数模型.
解：由题意可知,甲图象经过(1,1)和(6,2)两点,
从而求得其解析式为y甲=0.2x+0.8,
乙图象经过(1,30)和(6,10)两点,
从而求得其解析式为y乙=-4x+34.
(1)当x=2时，y甲=0.2×2+0.8=1.2,y乙=-4×2+34=26，
y甲·y乙=1.2×26=31.2.
所以第2年鱼池有26个,全县出产的鳗鱼总数为31.2万只.
(2)第1年出产鳗鱼1×30=30(万只),第6年出产鳗鱼2×10=20(万只),可见,第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了.
(3)设当第m年时的规模总产量为n,
那么n=y甲·y乙=(0.2m+0.8)(-4m+34)=-0.8m2+3.6m+27.2
=-0.8(m2-4.5m-34)=-0.8(m-2.25)2+31.25.因此,当m=2时,nmax=31.2,
即当第2年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为31.2万只.
知能训练
2007山东高考样题，文18某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物线段表示.
(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；
写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(1) (2)
图3-2-1-17
(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)
活动：学生在黑板上书写解答.教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正.
解：(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为
f(t)=
由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=(t-150)2+100,0≤t≤300.
(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t).
即h(t)=
当0≤t≤200时，配方整理,得h(t)=(t-50)2+100,
所以当t=50时，h(t)取得区间［0，200］上的最大值100；
当200所以当t=300时，h(t)取得区间［200，300］上的最大值87.5.
综上，由100>87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.
点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力.
拓展提升
探究内容
①在函数应用中如何利用图象求解析式.
②分段函数解析式的求法.
③函数应用中的最大值、最小值问题.
举例探究：(2007山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图3-2-1-18(1)、图3-2-1-18(2)、图3-2-1-18(3)所示.其中图3-2-1-18(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3-2-1-18(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图3-2-1-18(3)的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系.
图3-2-1-18
(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t的关系式；
(2)第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元
分析：1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式.
2.在t∈［0,40］上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段.
3.回忆函数最值的求法.
解：(1)f(t)=g(t)=t2+6t(0≤t≤40).
(2)每件A产品销售利润h(t)=.
该公司的日销售利润F(t)=,
当0≤t≤20时，F(t)=3t(t2+8t),先判断其单调性.
设0≤t1＜t2≤20,则F(t1)-F(t2)=3t1(t12+8t1)-3t2(t22+8t2)=(t1+t2)(t1-t2)2.
∴F(t)在［0,20］上为增函数.∴F(t)max=F(20)=6 000<6 300.
当206 300，则当30故在第24、25、26、27、28、29天日销售利润超过6 300万元.
点评：1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式,重点是找出关键点.
2.在t∈［0,40］上，有几个分界点,t=20,t=30两点把区间分为三段.
3.二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一.
课堂小结
本节学习了:①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.②幂函数、指数函数、对数函数的应用.
作业
课本P107习题3.2A组3、4.
设计感想
本节设计从精彩的故事开始，让学生从故事中体会数学带来的震撼，然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异.接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力;并且重点训练了由图象转化为函数解析式的能力，因为这是高考的一个重点.本节的每个例题都很精彩，可灵活选用.第2课时 方程的根与函数的零点
复习
提出问题
①已知函数f(x)=mx2+mx+1没有零点，求实数m的范围.
②证明函数f(x)=x2+6x+10没有零点.
③已知函数f(x)=2mx2-x+m有一个零点，求实数m的范围.
④已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1有两个零点，求实数m的范围.
活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
讨论结果：①因为Δ=m2-4m<0或m=0,∴0≤m<4.
②因为Δ=36-40=-4<0,∴没有零点.
③Δ=1-4m2=0或m=0,∴m=或m=或m=0.
④Δ=16m2-8(m+1)(2m-1)=-8m+8>0且2(m+1)≠0,∴m<1且m≠-1.
导入新课
思路1.(情景导入)
歌中唱到：再“穿过”一条烦恼的河流明天就会到达，同学们知道生活中“穿过”的含义.
请同学们思考用数学语言是怎样描述函数图象“穿过”x轴的？
学生思考或讨论回答：利用函数值的符号，即f(a)f(b)<0.
思路2.(直接导入)
教师直接点出课题：这一节我们将进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律.
推进新课
新知探究
提出问题
①如果函数相应的方程不易求根，其图象也不易画出,怎样讨论其零点
②用数学语言总结判断零点存在性定理,并找出好的理解记忆方法.
活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
讨论结果：①在闭区间［a,b］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，则(a,b)内有零点.
②如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.我们把它叫做零点存在性定理.
因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点,可以简记为：“闭端反连(脸)，开内零点.”
应用示例
思路1
例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.
活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:
因为方程lnx+2x-6=0的根不易求得，函数f(x)=lnx+2x-6的图象不易画出，如果不借助计算机，怎么判断零点个数？可以利用f(a)f(b)<0，及函数单调性.
解：利用计算机作出x，f(x)的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9450 12.0794 14.1972
由表和图3-1-1-15可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)f(3)<0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点.由于函数在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.
图3-1-1-15 图3-1-1-16
变式训练
证明函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.
证明:如图3-1-1-16,因为f(1)=-7,f(10)=3,
∴f(1)f(10)<0.
∴函数f(x)=lgx+x-8有一个零点.
∵y=lgx为增函数，y=x-8是增函数，
∴函数f(x)=lgx+x-8是增函数.
∴函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.
点评：判断零点的个数:(1)利用零点存在性定理判断存在性;(2)利用单调性证明唯一性.
例2已知函数f(x)=3x+,
(1)判断函数零点的个数.
(2)找出零点所在区间.
解：(1)设g(x)=3x,h(x)=,
作出它们的图象(图3-1-1-17)，两函数图象交点的个数即为f(x)零点的个数.
所以两函数图象有且仅有一个交点，即函数f(x)=3x+有且仅有一个零点.
图3-1-1-17
(2)因为f(0)=-1,f(1)=2.5,所以零点x∈(0,1).
变式训练
证明函数f(x)=2x+4x-4有且仅有一个零点.
证明:利用计算机作出x，f(x)的对应值表：
x -1 0 1 2 3 4 5 6 7
f(x) -7.5 -3 2 8 16 28 48 84 172
图3-1-1-18
由表和图3-1-1-18可知，f(0)<0,f(1)>0,则f(0)f(1)<0，这说明f(x)在区间内有零点.下面证明函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数.
设x1,x2∈(-∞,+∞),且x1f(x1)-f(x2)=2+4x1-4-(2+4x2-4)=2-2+4(x1-x2)=2(2-x2-1)+4(x1-x2).
∵x10.
∴f(x1)-f(x2)<0.
∴函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数.
则函数f(x)=2x+4x-4有且仅有一个零点.
思路2
例1证明函数y=2|x|-2恰有两个零点.
图3-1-1-19
证明:如图3-1-1-19,∵f(-2)=2,f(0)=-1,f(2)=2,
∴f(-2)f(0)<0,f(0)f(2)<0.
∴函数y=2|x|-2有两个零点.
要证恰有两个零点,
需证函数y=2|x|-2在(0，+∞)上为单调的，函数y=2|x|-2在(-∞，0)上为单调的.
∵在(0，+∞)上，函数y=2|x|-2可化为y=2x-1,
下面证明f(x)=2x-1在(0，+∞)上为增函数.
证明：设x1,x2为(0，+∞)上任意两实数，且0∵f(x1)-f(x2)=2-2-(2-2)=2-2=2 (2-x2-1),
∵0∴2>0,2-x2-1<0.
∴2 (2-x2-1)<0.
∴f(x1)-f(x2)<0.
∴f(x1)∴函数y=2|x|-2在(0，+∞)上为增函数.
同理可证函数y=2|x|-2在(-∞，0)上为减函数.
∴函数y=2|x|-2恰有两个零点.
变式训练
证明函数f(x)=x+-3在(0，+∞)上恰有两个零点.
证明:∵f()=,f(1)=-1,f(3)=,
∴f()f(1)<0,f(1)f(3)<0.
∴函数f(x)=x+-3在(0，+∞)上有两个零点.
要证恰有两个零点,
需证函数f(x)=x+-3在(0，1)上为单调的，函数f(x)=x+-3在(1，+∞)上为单调的.
证明：设x1,x2为(0，1)上的任意两实数，且x1∵f(x1)-f(x2)=x1+-3-(x2+-3)=(x1-x2)+()
=(x1-x2)+=(x1-x2)(),
∵00.
∴f(x1)-f(x2)>0.
∴函数f(x)=x+-3在(0，1)上为减函数.
同理函数f(x)=x+-3在(1，+∞)上为增函数.
∴函数f(x)=x+-3在(0，+∞)上恰有两个零点(如图3-1-1-20).
图3-1-1-20
点评：证明函数零点的个数是一个难点和重点，对于基本初等函数可以借助函数图象和方程来讨论.对于较复杂的函数证明函数恰有n个零点，先找出有n个，再利用单调性证明仅有n个.
例2已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有三个零点，分别是0、1、2,如图3-1-1-21，
求证:b<0.
图3-1-1-21
活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:
方法一：把零点代入，用a、c表示b.
方法二：用参数a表示函数.
证法一：因为f(0)=f(1)=f(2)=0,
所以d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0.
所以a=,c=b.
所以f(x)=x(x2-3x+2)=x(x-1)(x-2).
当x<0时，f(x)<0，所以b<0.
证法二：因为f(0)=f(1)=f(2)=0,所以f(x)=ax(x-1)(x-2).
当x>2时,f(x)>0,所以a>0.比较同次项系数，得b=-3a.所以b<0.
变式训练
函数y=ax2-2bx的一个零点为1，求函数y=bx2-ax的零点.
答案:函数y=bx2-ax的零点为0、2.
点评：如果题目给出函数的零点，这涉及到零点的应用问题.
(1)可以考虑把零点代入用待定系数法解决问题.
(2)利用零点的特殊性把解析式的设法简单化.
知能训练
1.函数f(x)=lgx-2x2+3的零点一定位于下列哪个区间 ( )
A.(4,5) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
2.若函数f(x)=2mx+4在［-2,1］上存在零点，则实数m的取值范围是( )
A.［4］ B.(-∞,-2］∪［1,+∞)
C.［-1,2］ D.(-2,1)
3.已知函数f(x)=－3x5－6x＋1,有如下对应值表：
x -2 -1.5 0 1 2
f(x) 109 44.17 1 -8 -107
函数y＝f(x)在哪几个区间内必有零点？为什么？
答案:1.B 2.B 3.(0，1),因为f(0)·f(1)<0.
点评：结合函数图象性质判断函数零点所在区间是本节重点，应切实掌握.
拓展提升
方程lnx+2x+3=0根的个数及所在的区间，能否进一步缩小根所在范围？
分析：利用函数图象(图3-1-1-22)进行探索分析.
图3-1-1-22
解：(1)观察函数的图象计算f(1)、f(2),知f(x)=lnx+2x+3有零点.
(2)通过证明函数的单调性,知f(x)=lnx+2x+3有一个零点x∈(1,2).
请同学们自己探究能否进一步缩小根所在范围？借助计算机可以验证同学们判断，激发学生学习兴趣.
课堂小结
(1)学会由函数解析式讨论零点个数，证明零点个数.
(2)思想方法：函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想.
作业
课本P88练习2.
设计感想
如何用数学语言描述“穿过”是本节的关键，本节从导入开始让学生体会数学语言与文字语言的区别,并进一步让学生学会应用数学语言描述零点存在性定理.本节多次用计算机作图来感知函数零点，在零点证明题中又经常用到函数的单调性进行严格证明，所以本节是数与形的完美统一.3.1.2 用二分法求方程的近似解
整体设计
教学分析
求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算.在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步.
三维目标
1.让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.
2.了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想.
3.回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣.
重点难点
用二分法求方程的近似解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情景导入)
师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？
生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价.
生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价.如果低了，每50元上升；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……
生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……
师：在现实生活中我们也常常利用这种方法.譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，(相距大约3 500米)电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测,还是按照生3那样来检测呢？
生：(齐答)按照生3那样来检测.
师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法).
思路2.(事例导入)
有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好.(让同学们自由发言，找出最好的办法)
解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球.
第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球.
第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.
其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？
推进新课
新知探究
提出问题
①解方程2x-16=0.
②解方程x2-x-2=0.
③解方程x3-2x2-x+2=0.
④解方程(x2-2)(x2-3x+2)=0.
⑤我们知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？
⑥“取中点”后，怎样判断所在零点的区间
⑦什么叫二分法
⑧试求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内零点的近似值.
⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.
⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点.
讨论结果：
①x=8.
②x=-1,x=2.
③x=-1,x=1,x=2.
④x=,x=,x=1,x=2.
⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.〔“取中点”,一般地,我们把x=称为区间(a,b)的中点〕
⑥比如取区间(2，3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)<0,因为f(2.5)·f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.
⑦对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).
⑧因为函数f(x)=lnx+2x-6，用计算器或计算机作出函数f(x)=lnx+2x-6的对应值表.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) -4 -1.306 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
由表可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0，这说明f(x)在区间内有零点x0，取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器算得f(2.5)≈-0.084，因为f(2.5)·f(3)<0，所以x0∈(2.5,3).
同理,可得表(下表)与图象(如图3-1-2-1).
区间 中点的值 中点函数的近似值
(2，3) 2.5 -0.084
(2.5,3) 2.75 0.512
(2.5,2.75) 2.625 0.215
(2.5,2.625) 2.5625 0.066
(2.5,2.5625) 2.53-1-2-5 -0.009
(2.53-1-2-5,2.5625) 2.546875 0.029
(2.53-1-2-5,2.546875) 2.5390625 0.010
(2.53-1-2-5,2.5390625) 2.53515625 0.001
图3-1-2-1
由于(2,3)?(2.5,3)?(2.5,2.75),所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表).这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值.特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值.例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53-1-2-5|=0.0078125<0.01，所以，我们可以将x=2.53-1-2-5作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值.
⑨给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
1°确定区间［a,b］，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε.
2°求区间(a,b)的中点c.
3°计算f(c):
a.若f(c)=0，则c就是函数的零点；
b.若f(a)·f(c)<0，则令b=c〔此时零点x0∈(a,c)〕；
c.若f(c)·f(b)<0，则令a=c〔此时零点x0∈(c,b)〕.
4°判断是否达到精度ε；即若|a-b|<ε，则得到零点值a(或b)；否则重复步骤2°~4°．
⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.
应用示例
思路1
例1借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度为0.1).
活动：①师生共同探讨交流，引出借助函数f(x)=2x+3x-7的图象，能够缩小根所在区间，并根据f(1)<0,f(2)>0,可得出根所在区间(1,2)；
②引发学生思考，如何进一步有效缩小根所在的区间；
③共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决；
④用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解；
⑤引发学生思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度.
学生简述上述求方程近似解的过程.
解：原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用计算器或计算机做出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表与图象(3-1-2-2).
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
图3-1-2-2
观察图表可知f(1)·f(2)<0,说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.
取区间(1，2)的中点x=1.5,用计算器算得f(1.5)≈0.33.
因为f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5).
再取区间(1，1.5)的中点x=1.25,用计算器算得f(1.25)≈-0.87.
因为f(1.25)·f(1.5)<0,
所以x0∈(1.25,1.5).
同理,可得，x0∈(1.375,1.5)，x0∈(1.375,1.4375).
由于|1.375-1.437 5|=0.0625<0.1,
所以，原方程的近似解可取为1.4375.
例2利用计算器，求方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确度0.1)．
活动：教师帮助学生分析:
画出函数f(x)=x2-2x-1的图象，如图3-1-2-3所示.从图象上可以发现，方程x2-2x-1=0的一个根x1在区间(2，3)内，另一个根x2在区间(-1，0)内.
根据图象，我们发现f(2)=-1<0，f(3)=2>0，这表明此函数图象在区间(2，3)上穿过x轴一次，即方程f(x)=0在区间(2，3)上有唯一解.
图3-1-2-3
计算得f()=>0，发现x1∈(2，2.5)(如图3-1-2-3)，这样可以进一步缩小x1所在的区间.
解：设f(x)=x2-2x-1，先画出函数图象的简图，如图3-1-2-3.
因为f(2)=-1<0，f(3)=2>0，
所以在区间(2，3)内，方程x2-2x-1=0有一解，记为x1.
取2与3的平均数2.5，因为f(2.5)=0.25>0，
所以2再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25)=-0.437 5<0，
所以2.25如此继续下去，得f(2)<0，f(3)>0x1∈(2,3),
f(2)<0,f(2.5)>0x1∈(2,2.5),
f(2.25)<0，f(2.5)>0x1∈(2.25,2.5),
f(2.375)<0，f(2.5)>0x1∈(2.375,2.5),
f(2.375)<0，f(2.437 5)>0x1∈(2.375,2.437 5).
因为2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为x1≈2.4.
点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.
思路2
例1利用计算器，求方程lgx=3-x的近似解(精确度0.1).
活动：学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.
分别画出y=lgx和y=3-x的图象，如图3124所示.在两个函数图象的交点处，函数值相等.因此，这个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解.由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发现，方程lgx=3-x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2，3)内.
图3-1-2-4
解：设f(x)=lgx+x-3，设x1为函数的零点即方程lgx=3-x的解.
用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0x1∈(2,3)，
f(2.5)<0，f(3)>0x1∈(2.5,3)，
f(2.5)<0，f(2.75)>0x1∈(2.5,2.75)，
f(2.5)<0，f(2.625)>0x1∈(2.5,2.625)，
f(2.562 5)<0，f(2.625)>0x1∈(2.562 5,2.625).
因为2.562 5与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x1≈2.6.
例2求方程lnx-2x+3=0在区间［1,2］内的根(精确度0.1).
解：设f(x)=lnx-2x+3,则原方程的根为函数f(x)的零点.
设x1为函数的零点即方程lnx-2x+3=0的解.
如图3-1-2-5,因为f(1)=1,f(2)=-0.306 852 819,
所以f(1)f(2)<0,即函数f(x)在［1,2］内有一个零点.根据二分法，用计算器得出以下表格：
x y
1 1
2 -0.306852819
3 -1.901387711
4 -3.613705639
5 -5.390562088
6 -7.208240531
7 -9.054089851
8 -10.92055846
(步长为1)
x y
1 1
1.5 50.405465108
2 -0.306852819
2.5 -1.083709268
3 -1.901387711
3.5 -2.747237032
4 3.613705639
4.5 -4.495922603
(步长为0.5)
x y
1 1
1.25 0.723143551
1.5 0.405465108
1.75 0.059615787
2 -0.306852819
2.25 -0.689069783
2.5 -1.083709268
2.75 -1.488399088
(步长为0.25)
x y
1 1
1.125 0.867783035
1.25 0.723143551
1.375 0.568453731
1.5 0.405465108
1.625 0.235507815
1.75 0.059615787
1.875 -0.12139134
(步长为0.125)
x y
1.5 0.405465108
1.5625 0.3-2-1-287102
1.625 0.235507815
1.6875 0.148248143
1.75 0.059615787
1.8125 -0.030292892
1.875 -0.12139134
1.9375 -0.213601 517
(步长为0.062 5)
由上述表格可以得到下表与图象3-1-2-5:
区间 中点的值 中点函数近似值
(1,2) 1.5 0.405465108
(1.5,2) 1.75 0.059615787
(1.75,2) 1.875 -0.12139134
(1.75,1.875) 1.8125 -0.030292892
图3-1-2-5
因为f(1.75)=0.059 615 787>0,f(1.812 5)=-0.030 292 892<0,
所以x1∈(1.75,1.812 5).
由于|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1,
所以区间(1.75,1.812 5)内的每一个实数都可以作为方程lnx-2x+3=0在区间［1,2］内的根.
点评：①先设出方程对应的函数，画出函数的图象，初步确定解所在的区间,再用二分法求方程近似解.
②二分法,即逐渐逼近的方法.
③计算量较大，而且是重复相同的步骤，借助计算器或计算机完成计算比较容易.
知能训练
1.根据下表中的数据，可以断定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为( )
x -1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.27 7.39 20.0
x+2 1 2 3 4 5
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
2.用二分法判断方程2x=x2的根的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:1.C.设f(x)=ex-x-2,f(1)<0,f(2)>0,即f(1)f(2)<0,∴x∈(1,2).
2.C.设f(x)=2x-x2(下表),画出函数y=2x与y=x2的图象(图3-1-2-6).
x -1 0 1 2 3 4 5
f(x) -0.5 1 1 2 -1 0 7
图3-1-2-6
由图与表,知有三个根.
拓展提升
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为多少？
(此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识)
答案:至少需要检查接点的个数为4.
课堂小结
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.
引导方法：从基本知识基本技能和思想方法两方面来总结.
①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用.
②思想方法：函数方程思想、数形结合思想.
作业
课本P92习题3.1A组 1、3.
设计感想
“猜价格”的游戏深受人们的喜欢,它是二分法的具体应用,用它引入拉近了数学与生活的距离.二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用.本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性.
习题详解
(课本第88页练习)
1.(1)令f(x)=-x2+3x+5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(1))，它与x轴有两个交点，所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.
(2)2x(x-2)=-3可化为2x2-4x+3=0，令f(x)=2x2-4x+3,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(2))，它与x轴没有交点，所以方程2x(x-2)=-3无实数根.
(3)x2=4x-4可化为x2-4x+4=0,令f(x)=x2-4x+4,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(3))，它与x轴只有一个交点(相切)，所以方程x2=4x-4有两个相等的实数根.
(4)5x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x-5=0,令f(x)=2x2+2x-5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(4))，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根.
图3-1-2-7
2.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.
又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.
(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.
又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.
(3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=ex-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.
又因为f(x)=ex-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.
(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.
图3-1-2-8
(课本第91页练习)
1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,
于是f(0)·f(1)<0,
所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.
下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.
取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.
因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).
再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.
因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).
同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687 5)，x0∈(0.656 25,0.687 5).
由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,
所以原方程的近似解可取为0.656 25.
2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,
所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.
下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.
取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).
再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).
同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75),x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375).
由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01,
所以原方程的近似解可取为2.593 75.
(课本第92页习题3.1)
A组
1.A,C
点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.
2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,
又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.
3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.
于是f(-1)·f(0)<0,
所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.
下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.
取区间(-1，0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.
因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).
再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈1.58.
因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75).
同理,可得x0∈(-1,-0.875)，x0∈(-0.937 5,-0.875).
由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1,
所以原方程的近似解可取为-0.937 5.
4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义，用计算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.
于是f(0.5)·f(1)<0,
所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.
下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间(0，1)内的近似解.
取区间(0.5，1)的中点x1=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.
因为f(0.75)·f(1)<0,所以x0∈(0.75,1).
再取(0.75,1)的中点x2=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.
因为f(0.875)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.75,0.875).
同理,可得x0∈(0.812 5,0.875)，x0∈(0.812 5,0.843 75).
由于|0.812 5-0.843 75|=0.031 25<0.1,
所以原方程的近似解可取为0.843 75.
5.由题设有f(2)≈-0.31<0,f(3)≈0.43>0,
于是f(2)·f(3)<0,
所以函数f(x)在区间(2，3)内有一个零点.
下面用二分法求函数f(x)=lnx在区间(2，3)内的近似解.
取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈0.12.
因为f(2)·f(2.5)<0,所以x0∈(2,2.5).
再取(2，2.5)的中点x2=2.25,用计算器可算得f(2.25)≈-0.08.
因为f(2.25)·f(2.5)<0,所以x0∈(2.25,2.5).
同理,可得x0∈(2.25,2.375)，x0∈(2.312 5,2.375),x0∈(2.343 75,2.375),x0∈(2.343 75,2.359 375),x0∈(2.343 75,2.351 562 5),x0∈(2.343 75,2.347 656 25).
由于|2.343 75-2.347 656 25|=0.003 906 25<0.01,
所以原方程的近似解可取为2.347 656 25.
B组
1.将系数代入求根公式x=,得x==,
所以方程的两个解分别为x1=,x2=.
下面用二分法求方程的近似解.
取区间(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275),令f(x)=2x2-3x-1.
在区间(1.775,1.8)内用计算器可算得f(1.775)=-0.023 75,f(1.8)=0.08.
于是f(1.775)·f(1.8)<0.
所以这个方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.
由于|1.8-1.775|=0.025<0.1,
所以原方程在区间(1.775,1.8)内的近似解可取为1.8.
同理,可得方程在区间(-0.3,-0.275)内的近似解可取为-0.275.
所以方程精确到0.1的近似解分别是1.8和-0.3.
2.原方程即x3-6x2-3x+5=0,令f(x)=x3-6x2-3x+5,函数图象如下图所示.
图3-1-2-9
所以这个方程在区间(-2,0),(0,1),(6,7)内各有一个解.
取区间(-2，0)的中点x1=-1,用计算器可算得f(-1)=1.
因为f(-2)·f(-1)<0,所以x0∈(-2,-1).
再取(-2，-1)的中点x2=-1.5,用计算器可算得f(-1.5)=-7.375.
因为f(-1.5)·f(-1)<0,所以x0∈(-1.5,-1).
同理,可得x0∈(-1.25,-1)，x0∈(-1.125,-1),x0∈(-1.125,-1.062 5).
由于|(-1.062 5)-(-1.125)|=0.062 5<0.1,
所以原方程在区间(-2，0)内的近似解可取为-1.062 5.
同理,可得原方程在区间(0，1)内的近似解可取为0.7,在区间(6，7)内的近似解可取为6.3.
3.(1)由题设有g(x)=2-［f(x)］2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2.
(2)函数图象如下图所示.
图3-1-2-10
(3)由图象可知，函数g(x)分别在区间(-3，-2)和区间(-1，0)内各有一个零点.
取区间(-3，-2)的中点x1=-2.5,用计算器可算得g(-2.5)=0.187 5.
因为g(-3)·g(-2.5)<0,所以x0∈(-3,-2.5).
再取(-3，-2.5)的中点x2=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)≈0.28.
因为g(-3)·g(-2.75)<0,所以x0∈(-3,-2.75).
同理,可得x0∈(-2.875,-2.75)，x0∈(-2.812 5,-2.75).
由于|-2.75-(-2.812 5)|=0.062 5<0.1,
所以原方程在区间(-3，-2)内的近似解可取为-2.812 5.
同样可求得函数在区间(-1,0)内的零点约为-0.2.
所以函数g(x)精确到0.1的零点约为-2.8或-0.2.
点评：第2、3题采用信息技术画出函数图象,并据此明确函数零点所在的区间.在教学中,如果没有信息技术条件,建议教师直接给出函数图象或零点所在区间.3.2.2 函数模型的应用举例
整体设计
教学分析
函数基本模型的应用是本章的重点内容之一.教科书用4个例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习.在4个例题中，分别介绍了分段函数、对数函数、二次函数的应用.
教科书中还渗透了函数拟合的基本思想.通过本节学习让学生进一步熟练函数基本模型的应用，提高学生解决实际问题的能力.
三维目标
1.培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式.
2.会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题.
3.通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系.
重点难点
根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型，并根据数学模型解决实际问题.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时 函数模型的应用实例
导入新课
思路1.(情景导入)
在课本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.
与之相应的图中话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在自然状态下，种群数量一般符合对数增长模型.
上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们进一步讨论不同函数模型的应用.
思路2.(直接导入)
上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们进一步讨论不同函数模型的应用.
推进新课
新知探究
提出问题
①我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.
设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x).
②A、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月.
把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域.
③分析以上实例属于那种函数模型.
讨论结果：①f(x)=5x(15≤x≤40).
g(x)=
②y=5x2+(100—x)2(10≤x≤90)；
③分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型.
应用示例
思路1
例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.
(1)求图3-2-2-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.
图3-2-2-1
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：
图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不断变化，汽车里程表读数s km与时间t h的函数为分段函数.
解：(1)阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.
(2)根据图，有s=
这个函数的图象如图3-2-2-2所示.
图3-2-2-2
变式训练
2007深圳高三模拟，理19电信局为了满足客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图(图3-2-2-3)所示(其中MN∥CD).
(1)分别求出方案A、B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；
(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案？并说明理由.
图3-2-2-3
解：(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：
f(x)=g(x)=
(2)当f(x)=g(x)时,x-10=50,
∴x=200.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可;
当客户通话时间为0≤x＜200分钟，g(x)>f(x),故选择方案A；
当客户通话时间为x>200分钟时，g(x)点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.
例2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：
y=y0ert,
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.
下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数／万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
解：(1)设1951～1959年的人口增长率分别为r1,r2,r3,…,r9.
由55196(1+r1)=56300，
可得1951年的人口增长率为r1≈0.020 0.
同理,可得r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，
r8≈0.0222，r9≈0.0184.
于是，1950～1959年期间，我国人口的年平均增长率为
r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.
令y0=55 196，则我国在1951～1959年期间的人口增长模型为
y=55 196e0.0221t,t∈N.
根据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55 196e0.0221t(t∈N)的图象(图3-2-2-4).
图3-2-2-4
由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.
(2)将y=130000代入y=55 196e0.0221t,
由计算器可得t≈38.76.
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.
变式训练
一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减.
(1)求t年后,这种放射性元素质量ω的表达式;
(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)
解：(1)最初的质量为500 g.
经过1年后,ω=500(1－10%)=500×0.91;
经过2年后,ω=500×0.9(1－10%)=500×0.92;
由此推知,t年后,ω=500×0.9t.
(2)解方程500×0.9t=250,则0.9t=0.5,
所以t==≈6.6(年),
即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.
知能训练
某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为5 000元,并以纯利润20%确定出厂价.从1994年开始,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低.到1997年,尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%,但却实现了50%纯利润的高效益.
(1)求1997年每台A型电脑的生产成本;
(2)以1993年的生产成本为基数,求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数.(精确到0.01,以下数据可供参考:=2.236,=2.449)
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导.
出厂价=单位商品的成本+单位商品的利润.
解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x元,依题意,得
x(1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得x=3200(元).
(2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y,则依题意,得5000(1－y)4=3200,
解得y1=1－,y2=1+(舍去).
所以y=1－≈0.11=11%,
即1997年每台电脑的生产成本为3 200元,1993年至1997年生产成本平均每年降低11%.
点评：函数与方程的应用是本章的重点，请同学们体会它们的关系.
拓展提升
某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称 空调 彩电 冰箱
每台所需工时
每台产值(千元) 4 3 2
问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台，才能使周产值最高？最高产值是多少 (以千元为单位)
解：设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，每周产值为f千元，
则f=4x+3y+2z，
其中
由①②可得y=360-3x,z=2x,
代入③得则有30≤x≤120.
故f=4x+3(360-3x)+2·2x=1080-x,
当x=30时，fmax=1 080-30=1050.
此时y=360-3x=270,z=2x=60.
答:每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高，最高产值为1 050千元.
点评：函数方程不等式有着密切的关系，它们相互转化组成一个有机的整体,请同学们借助上面的实例细心体会.
课堂小结
本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数方程不等式之间的相互关系.
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.
引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.
作业
课本P107习题3.2A组5、6.
设计感想
本节设计从有趣的故事开始，让学生从故事中体会函数模型的选择，然后通过几个实例介绍常用函数模型.接着通过最新题型训练学生由图表转化为函数解析式的能力，从而解决实际问题，本节的每个例题的素材都是贴近现代生活,学生非常感兴趣的问题,很容易引起学生的共鸣.
(设计者：林大华)