课件5张PPT。第六章 定积分的应用第一节 定积分的元素法第二节 定积分在几何学上的应用第三节 定积分在物理学上的应用ab第一节 定积分的元素法面积表示为定积分的步骤如下: 提示:元素法的一般步骤：这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．课件27张PPT。元素法的一般步骤：这个方法通常叫做元素法．1 平面图形的面积直角坐标情形: 讨论：
由左右两条曲线x?j左(y)与x?j右(y)及上下两条直线y?d与y?c所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？提示： 面积为 面积元素为[j右(y)?j左(y)]dy,直角坐标情形 例1 计算抛物线y2?x与y?x2所围成的图形的面积. 解 (2)确定在x轴上的投影区间: (4)计算积分 [0, 1]; (1)画图; 例2 计算抛物线y2?2x与直线y?x?4所围成的图形的面积. (2)确定在y轴上的投影区间: (4)计算积分 (3)确定左右曲线:[-2, 4]. 解 (1)画图; y=2x极坐标情形求曲线y=lnx在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线x=2,x=6和曲线y=lnx所围成的图形面积最小。解切线为梯形面积为例 例5 计算心形线??a(1?cos?)(a>0)所
围成的图形的面积. 解 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积旋转体的体积为解解 设立体在x轴上的投影区间为[a, b], 立体内垂直于x轴的截面面积为A(x). 立体的体积元素为 立体的体积为2.平行截面面积为已知的立体的体积 A(x)dx. A(x)截面面积为A(x)的立体体积： 例9 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角?. 计算这平面截圆柱所得立体的体积. 建立坐标系如图, 则底圆的方程为x2?y2?R2. 所求立体的体积为 解 立体中过点x且垂直于x轴的截面为直角三角形, 其面积为 例10 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积. 建立坐标系如图, 则底圆的方程为x2?y2?R2. 于是所求正劈锥体的体积为 截面面积为A(x)的立体体积： 解 立体中过点x且垂直于x轴的截面面积为 二、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.解底圆方程为截面面积立体体积解底圆方程为截面面积立体体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕非轴直线旋转一周三、小结思考题思考题解答交点立体体积课件17张PPT。一、平面曲线弧长的概念弧长元素弧长二、直角坐标情形解所求弧长为解曲线弧为弧长三、参数方程情形解根据对称性第一象限部分的弧长曲线弧为弧长四、极坐标情形解解平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的公式五、小结思考题思考题解答不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．练 习 题练习题答案课件21张PPT。一、变力沿直线所作的功第三节 定积分在物理学上的应用解建立坐标系如图这一薄层水的重力为(千焦)．解所求功为如果要考虑将单位电荷移到无穷远处解设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为依题意知，每次锤击所作的功相等．二、水压力解在端面建立坐标系如图解 建立坐标系如图三、引力解 建立坐标系如图将典型小段近似看成质点小段的质量为引力 利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题．（注意熟悉相关的物理知识）四、小结思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？思考题解答 该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力．因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关．练 习 题练习题答案课件32张PPT。微 元 法理 论 依 据名称释译所求量
的特点解 题 步 骤定积分应用中的常用公式一、主要内容1、解题步骤2、 平面图形的面积直角坐标情形(2) 体积平行截面面积为已知的立体的体积(3) 平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为C．曲线弧为弧长(5) 细棒的质量(6) 变力所作的功(7) 水压力(8) 引力y=2x二、典型例题例1解由对称性,有由对称性,有由对称性,有例2解如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点,有故所求速度为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为例3解如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为测 验 题测验题答案
