【数学总复习-对点练习】RJA 第三章 第3讲　第1课时　证明不等式

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第3讲　第1课时　证明不等式
1．(2022·泰州中学第一次月检)已知函数f(x)＝－ln，a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求证：f(x)≥(4－)．
2．已知函数f(x)＝x2e2x－2.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当x∈[0，2]时，求证：f(x)≥－2x2＋8x－5.
3．(2022·浙江高考模拟卷(二))已知函数f(x)＝ln x.
(1)设函数g(x)＝－ln x(t∈R)，且g(x)≤f(x)恒成立，求实数t的取值范围；
(2)求证：f(x)>－.
4．(2022·山东省高三联考)已知f(x)＝ex－1－sin x.
(1)求证：当x>0时，f(x)>0；
(2)求证：参考答案
1解：(1)f′(x)＝－＝，
当0时，f′(x)>0，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)证明：由(1)得f(x)≥f＝－ln，
要证f(x)≥(4－)＝a－，即证－ln≥2，
设函数h(x)＝2－ln x，h′(x)＝－＝，
当01时，h′(x)>0，
故h(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，
故h(x)min＝h(1)＝2，即2－ln x≥2恒成立，
所以－ln＝2× －ln≥2，
综上，f(x)≥(4－)．
2解：(1)f′(x)＝2e2x－2(x2＋x)，f′(1)＝4，f(1)＝1，
则曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝4(x－1)，　
即y＝4x－3.
(2)证明：当x∈[0，2]时，
令g(x)＝x2e2x－2＋2x2－8x＋5，
则g′(x)＝2e2x－2(x2＋x)＋4x－8，
令h(x)＝g′(x)，
则h′(x)＝2e2x－2(2x2＋4x＋1)＋4>0，
所以g′(x)在[0，2]上单调递增，
且g′(1)＝0，
所以g(x)在[0，1]上单调递减，
在(1，2]上单调递增，
所以g(x)的最小值为g(1)＝0，
所以g(x)≥0，
即f(x)≥－2x2＋8x－5.
3解：(1)由g(x)≤f(x)可得－ln x≤ln x，可得t≤2xln x，
令h(x)＝2xln x，其中x>0，则h′(x)＝2(1＋ln x)，
当0当x>时，h′(x)>0，此时函数h(x)单调递增，
所以，h(x)min＝h＝－，所以t≤－.
(2)证明：要证f(x)>－，即证xln x>－，
由(1)可知，xln x≥－，当且仅当x＝时，等号成立，
令m(x)＝－，其中x>0，则m′(x)＝，
当00，此时函数m(x)单调递增，
当x>1时，m′(x)<0，此时函数m(x)单调递减，
所以，m(x)max＝m(1)＝－，
因为xln x≥－和m(x)≤－取等号的条件不同，故xln x>－，即f(x)>－.
4证明：(1)令g(x)＝ex－1－x(x>0)，
g′(x)＝ex－1－1，令g′(x)＝0，得x＝1，
列表如下：
x (0，1) 1 (1，＋∞)
g′(x) － 0 ＋
g(x) 单调递减 极小值 单调递增
所以g(x)min＝g(1)＝e0－1＝0，
所以ex－1≥x，当且仅当x＝1时取等号，
再令h(x)＝x－sin x(x>0)，
h′(x)＝1－cos x≥0在(0，＋∞)上恒成立，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以h(x)>h(0)＝0，
所以x>sin x(x>0)，
所以当x>0时，ex－1≥x>sin x，
所以当x>0时，f(x)>0.
(2)由(1)知，当x>0时，ex－1≥x，即ln x≤x－1(x>0)，
当且仅当x＝1时取等号，
因为n∈N*，且n≥2，
所以ln n2所以<，
所以<(1＋2＋3＋…＋n－1)＝，
所以当n∈N*，且n≥2时，
<成立．
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