【数学总复习-对点练习】RJA 第三章 第3讲　导数与函数的极值、最值

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第三章 第3讲　导数与函数的极值、最值
1.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．f(x)有两个极值点
B．f(－2)为函数的极大值
C．f(x)有两个极小值
D．f(－1)为f(x)的极小值
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)＝(　　)
A．11或18　　 B.11
C．18 D.17或18
3．已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为(　　)
A．2 B.2ln 2－2
C．e D.2－e
4．(2022·温州四校联考)f(x)＝ex－x在区间[－1，1]上的最大值是(　　)
A．1＋ B.1
C．e＋1 D.e－1
5．(多选)对于函数f(x)＝ex(x－1)2(x－2)，以下选项正确的是(　　)
A．有2个极大值 B.有2个极小值
C．1是极大值点 D.1是极小值点
6．函数f(x)＝x3－3x2＋4在x＝________处取得极小值．
7．若x＝1是函数f(x)＝x3＋的一个极值点，则实数a＝________．
8．已知函数f(x)＝x3＋2ax2＋1在x＝1处的切线的斜率为1，则实数a＝________，此时函数y＝f(x)在[0，1]上的最小值为________．
9．已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)判断函数f(x)的单调区间，并求极值．
10．(多选)(2022·武汉统考)设函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的定义域是(0，＋∞)
B．当x∈(0，1)时，f(x)的图象位于x轴下方
C．f(x)存在单调递增区间
D．f(x)有且仅有两个极值点
11．(2022·石家庄二中期末)若函数f(x)＝(1－x)·(x2＋ax＋b)的图象关于点(－2，0)对称，x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，则x2－x1＝(　　)
A．－ B.2
C．－2 D.
12．已知函数f(x)＝aex－2x－2a，且a∈[1，2]，设函数f(x)在区间[0，ln 2]上的最小值为m，则m的取值范围是________．
13．已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
14．(2022·郑州质检)若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N*)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数．已知函数f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，则f(x)为(　　)
A．2折函数 B.3折函数
C．4折函数 D.5折函数
15.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f′(x)的导函数，则曲线y＝f(x)在点(x，f(x))处的曲率K＝.
(1)若曲线f(x)＝ln x＋x与g(x)＝在(1，1)处的曲率分别为K1，K2，比较K1，K2的大小；
(2)求正弦曲线h(x)＝sin x(x∈R)曲率K的最大值．
参考答案
1解析：选C.由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，所以f′(x)<0，
当x∈(－2，0)时，g(x)<0，所以f′(x)>0，
当x∈(0，1)时，g(x)<0，所以f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，所以f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，－2)，(0，1)上单调递减，在(－2，0)，(1，＋∞)上单调递增．所以f(x)有三个极值点，f(－2)和f(1)为函数的极小值，f(0)为函数的极大值，故A，B，D错误，C正确．
2解析：选C.由题意知f(1)＝10，且f′(1)＝0，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
所以解得或
而当时，函数在x＝1处无极值，故舍去．
所以f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，所以f(2)＝18.
3解析：选B.由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令x＝1，得f′(1)＝1，所以f(x)＝2ln x－x，令f′(x)＝－1＝0，解得x＝2.当00，当x>2时，f′(x)<0，所以当x＝2时函数取得极大值，极大值为2ln 2－2.
4解析：选D.f′(x)＝ex－1，
令f′(x)＝0，得x＝0，
令f′(x)>0，得x>0；令f′(x)<0，得x<0，
则函数f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，
f(－1)＝e－1＋1，f(1)＝e－1，f(－1)－f(1)＝＋2－e<＋2－e<0，
所以f(1)>f(－1)．故选D.
5解析：选BC.由题得f′(x)＝ex(x＋)(x－)(x－1)．
令f′(x)>0，解得x∈(－，1)∪(，＋∞)；
令f′(x)<0，解得x∈(－∞，－)∪(1，)，
即x∈(－，1)，(，＋∞)时，f(x)单调递增；x∈(－∞，－)，(1，)时，f(x)单调递减．
所以±是极小值点，1是极大值点，则f(x)有2个极小值，1是极大值点．
故选BC.
6解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表，
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以函数f(x)在x＝2处取得极小值．
答案：2
7解析：f′(x)＝3x2－，f′(1)＝3－a＝0，得a＝3.
经检验，符合题意．
答案：3
8解析：由题意得f′(x)＝3x2＋4ax，
则有f′(1)＝3×12＋4a×1＝1，
解得a＝－，
所以f(x)＝x3－x2＋1，
则f′(x)＝3x2－2x，
当x∈[0，1]时，
由f′(x)＝3x2－2x>0得由f′(x)＝3x2－2x<0得0所以函数f(x)在上单调递增，
在上单调递减，
所以函数f(x)在x＝处取得极小值，
即为最小值，
所以函数f(x)在[0，1]上的最小值为f＝－＋1＝.
答案：－　
9解：(1)对f(x)求导得，f′(x)＝2ax＋.
由题意得即可得a＝，b＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x.
其定义域为(0，＋∞)．
且f′(x)＝x－＝.
令f′(x)＝0，则x＝－1(舍去)或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x (0，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ? 极小值 ?
所以函数f(x)的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞)，且函数在定义域上只有极小值f(1)＝，无极大值．
10解析：选BC.由题意得函数f(x)满足解得x＞0且x≠1，所以f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，故A不正确；当x∈(0，1)时，ex＞0，ln x＜0，所以f(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上的图象在x轴的下方，故B正确；因为f′(x)＝ex，设g(x)＝ln x－(x＞0)，则g′(x)＝＋，所以当x＞0时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，g(1)＝0－＜0，g(e2)＝2－＞0，则g(x)存在唯一零点x0∈(1，e2)，则函数f′(x)＝0只有一个根x0，使得f′(x0)＝0，当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)只有一个极小值，所以C正确，D不正确；故选BC.
11解析：选C.由题意可得f(－2)＝3(4－2a＋b)＝0，
因为函数图象关于点(－2，0)对称，且f(1)＝0，
所以f(－5)＝0，
即f(－5)＝6(25－5a＋b)＝0，
联立解得
故f(x)＝(1－x)(x2＋7x＋10)＝－x3－6x2－3x＋10，
则f′(x)＝－3x2－12x－3＝－3(x2＋4x＋1)，
结合题意可知x1，x2是方程x2＋4x＋1＝0的两个实数根，且x1>x2，
故x2－x1＝－|x1－x2|＝
－＝－＝－2.
12解析：g(a)＝f(x)＝a(ex－2)－2x是关于a的一次函数，
当x∈[0，ln 2)时，ex－2<0，
即y＝g(a)是减函数，
因为a∈[1，2]，
所以g(a)min＝g(2)＝2(ex－2)－2x(易知x＝ln 2也成立)，
设M(x)＝2(ex－2)－2x，
则M′(x)＝2ex－2，
因为x∈[0，ln 2]，
所以M′(x)≥0，则M(x)在[0，ln 2]上为增函数，
所以M(x)min＝M(0)＝－2，
M(x)max＝M(ln 2)＝－2ln 2，
所以m的取值范围是[－2，－2ln 2]．
答案：[－2，－2ln 2]
13解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)＞0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
当a＞0时，f(x)在x＝处取得极大值且为最大值，最大值为f＝ln ＋a＝－ln a＋a－1.
因此f＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0.
令g(a)＝ln a＋a－1，g′(a)＝＋1＞0，
则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，
于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；
当a＞1时，g(a)＞0.
所以a的取值范围是(0，1)．
14解析：选C.f′(x)＝(x＋2)ex－(x＋2)(3x＋2)＝(x＋2)·(ex－3x－2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或ex＝3x＋2.
易知x＝－2是f(x)的一个极值点，
又ex＝3x＋2，结合函数图象，y＝ex与y＝3x＋2有两个交点．又e－2≠3×(－2)＋2＝－4.
所以函数y＝f(x)有3个极值点，
则f(x)为4折函数．
15解：(1)f′(x)＝＋1，f″(x)＝－，所以K1＝＝＝，
g′(x)＝，g″(x)＝－x－，K2＝＝＝，所以K1(2)h′(x)＝cos x，h″(x)＝－sin x，
所以K＝，
K2＝＝，
令t＝2－sin2x，则t∈[1，2]，K2＝，
设p(t)＝，则p′(t)＝＝，
显然当t∈[1，2]时，p′(t)<0，p(t)单调递减，所以p(t)max＝p(1)＝1.即K2最大值为1，
所以K的最大值为1.
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