【数学总复习-对点练习】RJA 第三章 第3讲　第3课时　函数的零点

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第3讲　第3课时　函数的零点
1．(2022·河南安阳模拟)已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R.
(1)证明：ln x≤x－1；
(2)若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数．
2．已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．
(1)若f(0)＝2，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最小值；
(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．
3．已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：
(1)f(x)存在唯一的极值点；
(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
4．已知函数f(x)＝xex－a(ln x＋x)，a∈R.
(1)当a＝e时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
参考答案
1解：(1)证明：令g(x)＝ln x－x＋1(x>0)，
则g(1)＝0，
g′(x)＝－1＝(x>0)，
可得x∈(0，1)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，
x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．
所以当x＝1时，函数g(x)取得极大值也即最大值，
所以g(x)≤g(1)＝0，
即ln x≤x－1.
(2)f′(x)＝－2x＋a＝(x>0)．
令－2x＋ax0＋1＝0，
解得x0＝(负值舍去)，
在(0，x0)上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
在(x0，＋∞)上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
所以f(x)max＝f(x0)．
当a＝1时，x0＝1，f(x)max＝f(1)＝0，
此时函数f(x)只有一个零点．
当a>1时，f(1)＝a－1>0，
f＝ln－＋<－1－＋
＝－－<0，
f(2a)＝ln 2a－2a2<2a－1－2a2
＝－2－<0.
所以函数f(x)在区间和区间(1，2a)上各有一个零点．
综上可得，当a＝1时，函数f(x)只有一个零点；
当a>1时，函数f(x)有两个零点．
2解：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为R，
又f(0)＝1－a＝2，得a＝－1，
所以f(x)＝ex－x＋1，求导得f′(x)＝ex－1.
由f′(x)＜0得x＜0，由f′(x)＞0得x＞0，
所以f(x)在[－2，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，
所以当x＝0时，f(x)在[－2，1]上取得最小值2.
(2)f′(x)＝ex＋a，由于ex>0，
①当a>0时，f′(x)>0，f(x)在R上是增函数，
当x>1时，f(x)＝ex＋a(x－1)>0；
当x<0时，取x＝－，
则f＝e－－1－a<1－1－a＝－a<0.
所以函数f(x)存在零点，不满足题意．
②当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝ln(－a)．
在(－∞，ln(－a))上，f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(ln(－a)，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x＝ln(－a)时，f(x)取最小值．
函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)>0，
解得－e2综上所述，实数a的取值范围是(－e2，0)．
3证明：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－.
因为y＝ln x单调递增，y＝单调递减，
所以f′(x)单调递增．
又f′(1)＝－1<0，
f′(2)＝ln 2－＝>0，
故存在唯一x0∈(1，2)，使得f′(x0)＝0.
又当x当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以f(x)存在唯一的极值点．
(2)由(1)知f(x0)0，
所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一实根x＝α.
由α>x0>1得<1又f＝ln －－1＝＝0，故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．
综上可得，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
4解：(1)由题意得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝e时，f(x)＝xex－eln x－ex，
则f′(x)＝.令f′(x)＜0得0＜x＜1，令f′(x)＞0得x＞1，
所以函数f(x)在(0，1)上单调递减；
在(1，＋∞)上单调递增．所以当a＝e时，f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)记t＝ln x＋x，则t＝ln x＋x在(0，＋∞)上单调递增，且t∈R.
所以f(x)＝xex－a(ln x＋x)＝et－at＝g(t)．
所以f(x)在x>0上有两个零点等价于g(t)＝et－at在t∈R上有两个零点．
①当a＝0时，g(t)＝et在R上单调递增，
且g(t)>0，故g(t)无零点．
②当a<0时，g(t)＝et－at在R上单调递增，
又g(0)＝1>0，g＝e－1<0，
故g(t)在R上只有一个零点．
③当a>0时，由g′(t)＝et－a＝0可知g(t)在t＝ln a时有唯一的一个极小值g(ln a)＝a(1－ln a)．
若00，g(t)无零点；
若a＝e，g(t)min＝0，g(t)只有一个零点；
若a>e时，
g(t)min＝a(1－ln a)<0，
而g(0)＝1>0，
由于h(x)＝在x>e时为减函数，所以h(x)＝＜h(e)＝，化简得xe＜ex.
所以当a>e时，ea>ae>a2.
从而g(a)＝ea－a2>0，
所以g(t)在(0，ln a)和(ln a，＋∞)上各有一个零点．
综上可知，当a>e时，f(x)有两个零点，
即实数a的取值范围是(e，＋∞)．
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