人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理（共15张ppt）

(共15张PPT)
1．2　空间向量基本定理
学　习　目　标 知　识　导　图
1.了解空间向量基本定理及其意义．(数学抽象) 2.掌握空间向量的正交分解．(直观想象) 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(逻辑推理，数学运算)
自主探究
1．空间中任意的三个非零向量一定共面吗？
2．用不共面的三个向量表示其他向量唯一吗？
3．正方体上一个顶点出发的三条棱上的单位向量 .可以作为空间的一个基底吗？　　
阅读课本11-14页，思考下面问题：
知识梳理
知识点一　空间向量基本定理
(1)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c ，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使得p＝ .
(2)基底：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 ．这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a,b,c}叫做空间的一个 ，a,b,c都叫做基向量．
不共面
xa＋yb＋zc
{p|p＝xa＋yb＋zc, x，y，z∈R}
基底
知识点二　空间向量的正交分解
(1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示．
(2)正交分解：把一个空间向量分解为 的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
两两垂直
1
三个两两垂直
{i，j，k}
知识梳理
（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底;
【注意】对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面还应明确：
（2）由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 .
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组( x,y,z)，使
当且仅当 x+y+z=1 时，P、A、B、C四点共面。
知识梳理
例题1 已知向量 是空间的一个基底．求证:向量 能构成空间的一个基底.
典例分析
典例分析
B
O
A
C
M
N
P
例题2 如图，M是四面体OABC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN= ON，AP= AN，用向量 表示 .
结合图形特征，利用三角形法则，平行四边形法则，数乘运算解决问题.
练习巩固
练习1.如图，已知平行六面体OABC-O'A'B'C'，点G是侧面BB'C'C的中心，且
（1） 是否构成空间的一个基底？
（2）如果 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：
（课本P12练习T3）
B
C
O
A1
B1
C1
O1
A
G
典例分析
A
B
C
D
M
N
B1
A1
C1
D1
例题3 如图，在平行六面体中，,
， ,分别为
的中点.求证.
典例分析
A
B
C
D
M
N
B1
A1
C1
D1
解：
C
A
B
D
E
F
G
典例分析
例题4 如图，已知正方体的棱长为1，分
别为 , , 的中点.
(1)求证： (2)求所成角的余弦值.
C
A
B
D
E
F
G
典例分析
例题4 如图，已知正方体的棱长为1，分
别为 , , 的中点.
(1)求证： (2)求所成角的余弦值.
C
A
B
D
E
F
G
典例分析
例题4 如图，已知正方体的棱长为1，分
别为 , , 的中点.
(1)求证： (2)求所成角的余弦值.
课堂小结
空间向量基本定理及其应用