9.1　向量概念 课件(共67张PPT)

(共67张PPT)
第9章　 平面向量
§9.1　向量概念
知识点一　向量的概念及表示
1.向量的概念
(1)向量：既有 又有 的量叫作向量.
(2)数量：只有 没有 的量称为数量.
2.向量的表示
(1)有向线段
具有 的线段叫作有向线段，它包含三个要素： 、 、 ，如图所示.
大小
方向
大小
方向
方向
起点
方向
长度
长度
模
思考　“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
答案　错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素，与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.
(2)范围：______________.
(3)当θ＝ 时，a与b同向；当θ＝______时，a与b反向.
(4)当θ＝_____时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.
0°
0°≤θ≤180°
180°
90°
知识点二　向量的有关概念
相关概念 定义
零向量 长度为0的向量，记作0
单位向量 长度等于 长度的向量
平行向量 (共线向量) 方向 的非零向量；向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任一向量______
1个单位
相同或相反
平行
相等向量 长度 且方向 的向量；向量a，b相等，记作a＝b
相反向量 与向量a长度 ，方向 的向量叫作a的相反向量，记作－a，a与－a互为相反向量.
规定：零向量的相反向量仍是零向量.
性质：对任意一个向量a，总有－(－a)＝a
相等
相同
相等
相反
2.若a，b都是单位向量，则a＝b.(　 　)
3.相等向量必是共线向量，反之，不一定成立.(　 　)
4.相反向量就是方向相反的向量.(　 　)
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
√
×
×
2
题型探究
PART TWO
一、向量的概念
√
√
√
解析　两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定；故B错误，ACD正确.
反思感悟
解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.
跟踪训练1　下列说法中正确的是
A.向量的模都是正实数
B.单位向量都是相等向量
C.向量的大小与方向无关
D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
√
解析　零向量的模为0，故A不正确；
单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；
向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；
不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确.
二、共线向量与相等向量
例2　如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
解　因为E，F分别是AC，AB的中点，
又因为D是BC的中点，
反思感悟
非零向量共线是指向量的方向相同或相反.
①②③④
三、向量的表示及应用
解　由(1)所画的图知，
反思感悟
准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练3　在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务.它首先从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点.此时，它完成了此片海域的巡逻任务.
解　由题意知AB∥CD，AB＝CD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AD＝BC＝400 km，
核心素养之逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
特殊向量的作用
典例　给出下列命题：
①若a∥b，则a与b的方向相同或相反；
②若a∥b，b∥c，则a∥c；
③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；
④若a＝b，b＝c，则a＝c，
其中正确的是_____.(填序号)
④
解析　由于零向量的方向是任意的，且规定零向量与任意向量平行，故取a＝0，则对于任意的向量b，都有a∥b，知①错误；
取b＝0，则对于任意的向量a，c都有a∥b，b∥c，知②错误；
两个模相等的向量互相平行，方向可能相反，知③错误；
由两个向量相等的概念可知④正确.
素养
提升
(1)特殊向量的性质往往与一般向量有所不同，在解题中应单独加以验证，不能混淆.
例如：零向量与任意向量平行，解题时要验证取零向量时是否成立.
(2)本题主要考查相等向量，共线向量与零向量的概念，需要准确理解概念进行推理，这体现了数学中逻辑推理的核心素养.
3
随堂演练
PART THREE
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1.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量的终点形成的图形是
A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线
√
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√
√
√
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解析　A对，共线的两个单位向量的方向相同或相反；
B错，相等向量的起点和终点都可能不相同；
C错，直线AB与CD可能重合；
D错，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不一定在同一直线上.
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√
所以BA＝CD且BA∥CD，
所以四边形ABCD为平行四边形.
4.在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1)，判断是否存在下列关系的向量：
(1)是共线向量的有______________；
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解析　a∥d，e∥b，故a和d，e和b是共线向量.
a和d，b和e
(2)方向相反的向量有_____________；
(3)模相等的向量有___________.
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解析　a和d，b和e是方向相反的向量.
a和d，b和e
a，c，d
解析　由勾股定理可得，模相等的向量有a，c，d.
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5.如图所示，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出______个向量.
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)向量的概念及表示.
(2)向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)、相反向量.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：不理解零向量和单位向量的方向导致出错.
4
课时对点练
PART FOUR
1.(多选)下列说法正确的是
A.若a＝0，则|a|＝0 B.零向量是没有方向的
C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
解析　零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以ACD正确，B错误.
基础巩固
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√
√
√
2.下列命题中正确的有
A.温度含零上和零下温度，所以温度是向量
B.共线的向量，若始点不同，则终点一定不同
C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.若|a|>|b|，则a>b
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√
解析　温度没有方向，所以不是向量，故A错；
由共线向量的定义可知，共线的向量，始点不同，终点可能相同，故B错；
向量不可以比较大小，故D错；
C项中，若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故若a与b不共线，则应均为非零向量，故C对.
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而在Rt△AOD中，因为∠ADO＝30°，
因为∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°，
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菱形
∴四边形ABCD是平行四边形，
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③
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解析　对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；
对于②，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；
对于④，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故④不正确.
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8.在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，则向量 的夹角为_____.
135°
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解　如图.
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解　由题意可知，四边形ABCD是平行四边形，
11.(多选)已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列说法中，正确的是
A.C?A B.A∩B＝{a} C.C?B D.A∩B?{a}
综合运用
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解析　因为A∩B中含有与a长度相等、方向相反的向量，所以B选项错误，故选ACD.
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12.设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是
A.e1＝e2 B.e1∥e2
C.e1＝－e2 D.|e1|＝|e2|
解析　由单位向量的定义知，两向量的长度为1，故选D.
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13.在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则 ＝_____.
解析　易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，
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拓广探究
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解析　由向量相等及共线的概念，结合图形可知C不一定正确.
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16.如图所示，在 ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{ |M，N∈S，且M，N不重合}.试求集合T中元素的个数.
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解　由题意可知，集合S中任意两点连成的有向线段共有20个，即
由平行四边形的性质可知，共有8对相等向量，
因为集合中元素具有互异性，所以集合T中的元素共有20－8＝12个.
本课结束