鲁教版（五四制）数学七年级下册 7.4 二元一次方程与一次函数_ 教案

二元一次方程与一次函数
【教学目标】
一、知识目标。
（一）使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系。
（二）能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。
（三）能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式。
二、能力目标。
通过学生的思考和操作，在力图提示出方程与图象之间的关系，引入二元一次方程组图象解法，同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力。
三、情感目标。
通过学生的自主探索，提示出方程和图象之间的对应关系，加强了新旧知识的联系，培养了学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣。
【教学重难点】
一、重点。
（一）二元一次方程和一次函数的关系。
（二）能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。
二、难点。
方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。
【教学过程】
一、试一试。
问题：方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个解来。
方程x+y=5的解有无数多个，如：
、、、、等。
在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5－x的图象上吗？
在一次函数y=5－x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？
以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5－x的图象相同吗？
二、做一做。
在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=5－x和y=2x－1的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组的解有什么关系？你能说明理由吗？
一次函数y=5－x和y=2x－1的图象的交点为（2，3），因此，就是方程组的解。
例1：用作图象的方法解方程组。
解：由x－2y=－2可得y=，同理，由2x–y=2可得y=2x–2，在同坐标系中作出一次函数y=的图象和y=2x–2的图象，
观察图象，得两直线交于点（2，2），所以方程组的解是x=2，y=2。
同学们从本题中感悟到什么？
原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以用图象法，那么用作图法来解方程组的步骤如下：
（一）把二元一次方程化成一次函数的形式。
（二）在直角坐标系中画出两个一次函数的图象，并标出交点。
（三）交点坐标就是方程组的解。
三、想一想。
在同一直角坐标系中，分别画出一次函数y=x+1和y=x－2的图象，观察它们有怎样的位置关系？方程组的解的情况如何？你发现了什么？
两条直线平行，所以方程组无解。
四、练一练。
用作图象的方法解方程组。
由2x+y=4得y=－2x+4由2x－3y=12可得y=在同一直角坐标系中做出函数y=－2x+4和函数y=的图象，观察图象可得交点为（3，－2），所以方程组的解是。
五、教后感。
（一）通过学生的思考和操作、自主探索，画图提示出方程与图象之间的关系，引入二元一次方程组图象解法，同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力。使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系并能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。
（二）通过学生的提示出方程和图象之间的对应关系，加强了新旧知识的联系，培养了学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣。
【第二课时】
【教学目标】
一、知识与技能。
二元一次方程和一次函数的关系。
二、过程与方法。
通过学生的思考和比较，进而获得从图象等信息确定一次函数表达式的方法。同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力。
三、情感态度与价值观。
通过学生的自主探索、思考和比较，进而获得从图象等信息确定一次函数表达式的方法，加强一次函数与二元一次方程的联系。
【教学重难点】
一、重点。
从图象等信息确定一次函数表达式的方法。
二、难点。
方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。
【教学过程】
一、创设情景，引入新课。
出示：
A、B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时从A、B两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数。1时后乙距A地80千米；2时后甲距A地30千米。问经过多长时间两人将相遇？你是怎样做的？与同伴交流。
小明：可以分别做出两人s与t之间的图象（如图所示）：
出交点的横坐标就行了！小颖：对于乙s是t的一次函数，可设s=kt+b，当t=0时，s=100；t=1时，s=80；将它们分别代入s=kt+b中可求出k、b的值，也即可求出s与t的函数表达式。
同样可以求出甲s与t的函数表达式，再联立这个表达式求解方程组就行了。
小彬：1时后乙距A地80千米，即乙速度是20千米/时，2时后甲距A地30千米，也即甲速度是15千米/时，由此可以求出甲、乙两人的速度和为20+15=35（千米/时）所以两人相遇需要的时间为==2（小时），由此可以看出一道题可以用三种不同的方法来解：通过画图象解方程，用消元法解方程组，用解方程三种方法，由此可知，二元一次方程和一次函数密切相关——这节课我们继续研究：二元一次方程和一次函数的关系。
二、讲授讲课。
（一）提出问题，引发讨论。
你明白他们的想法吗？用他们的方法做一做，看看和你的结果一致吗？小明的方法求出的结果准确吗？
小明的想法是：由于在前一课时已经有了用作图象的方法解方程组的经验，因此较为自然的做法是画图象，但画图的结果多是近似的难以精确。
小颖的想法是：确定甲、乙各自的s与t之间的函数表达式，再用消元法解方程组，能准确地求出结果。
小彬的想法是：根据行程问题中的相遇问题，找出等量关系列一元一次方程来解。
通过对上述几种方法的比较，发现小颖的想法很好，既利用了小明的想法的优点，克服了他的想法的缺点。优点：直观地获得问题的结果，使考虑问题的思路清晰，借助图象帮助我们寻找解题途径；缺点：作图象的方法难以获得准确的结果，由此可见当遇到一次函数，二元一次方程有关的问题，要认真审清题意，必要时要借助数形结合，从图象信息确定一次函数表达式加强一次函数与二元一次方程的联系。
（二）导入知识，解释疑难。
从上面的问题中，用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法。
例题讲解：
某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（千克）的一次函数。现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，交了行李费10元。
1．写出y与x之间的函数表达式。
2．旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解：1．设y=kx+b依题意得；
②－①得30k=5，。
将k=代入①得b=－5，所以y=x－5。
2．当x=30时，y=0，所以旅客最多可免费携带30千克的行李。
三、随堂练习。
（一）图中的两直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组_________的解。
解：根据图象可知l1过点(1，3)、(0，1)。设l1是函数y=k1x+b1的图象，根据题意，得；
解之得k1=2，b1=1。
所以l1是函数y=2x+1的图象。
l1同理可得l2是函数y=4－x的图象。所以l1、l2交点的坐标可看作二元一次方程组的解。
四、课时作业设计。
A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午从A地出发驶往B地，如下图中，折线PQR和线段MN分别表示甲和乙，所行的里程S与该日下午时间t之间的关系。
（一）甲出发多少小时乙才开始出发？
（二）乙行使多少小时就能追上了甲，这时两人离B地还有多少千米？
答案：
解：（1）甲下午1时出发，乙下午2时出发，乙比甲晚1小时出发。
（2）设QR的表达式为s=k1t+b1点Q(2，20)、R(5，50)。依题意得：
；
解之得：。
所以QR的表达式为s=10t。
设MN的表达式为s=k2t+b2点M(2，0)、N(3，50)。依题意得：
；
解之得：。
所以MN的表达式为s=50t－100；
解方程组；
得。
所以乙行使2.5－2=0.5（小时）就追上甲，此时两人离B地还有：50－25=25千米。
4 / 7