第9章 9.3.2 向量数量积的坐标表示(共58张PPT)

(共58张PPT)
第9章　 9.3.2　
　向量数量积的坐标表示
知识点一　向量数量积的坐标表示
若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
数量积 a·b＝___________
向量垂直 a⊥b _____________
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2＝0
知识点二　向量的模
向量的模及两点间的距离
知识点三　向量的夹角
1.设非零向量a，b，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0.(　 　)
2.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角.
(　 　)
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
√
×
×
4.若|a|＝|b|，则a与b的坐标相同. (　 　)
×
2
题型探究
PART TWO
一、数量积的坐标运算
例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于
A.10 B.－10 C.3 D.－3
√
解析　∵a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于
A.6 B.5 C.4 D.3
√
解析　由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，
∴18＋3x＝30，解得x＝4.
反思感悟
进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2.
A.－8 B.10
C.8 D.－10
√
二、向量的模
例2　已知向量a＝(3,5)，b＝(－2,1).
(1)求a－2b及其模的大小；
解　∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，
解　∵a·b＝－6＋5＝－1，
∴c＝a＋b＝(1,6)，
(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.
反思感悟
求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方.
√
解析　∵a＝(2,1)，∴a2＝5，
即a2＋2a·b＋b2＝50，
∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.
三、向量的夹角、垂直问题
(2)求点A到直线OB的距离.
反思感悟
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝ 判断θ的值时，要注意cos θ
<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
√
(2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1).若向量a＋b与a垂直，则m＝_____.
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解析　∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3).
又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.
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随堂演练
PART THREE
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√
解析　a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.
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a·b＝3×5＋4×12＝63.
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√
解析　∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2
＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，
解析　由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，
又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6).
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)向量数量积的坐标表示.
(2)用坐标表示向量的模及夹角.
(3)向量垂直的坐标表示.
2.方法归纳：坐标法.
3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错.
4
课时对点练
PART FOUR
1.已知a＝(1，2)，b＝(4，3)，则(a－b)·b等于
A.－30 B.－15 C.－10 D.5
基础巩固
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√
解析　因为a＝(1，2)，b＝(4，3)，
所以a－b＝(－3，－1)，
所以(a－b)·b＝(－3)×4＋(－1)×3＝－15.
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解析　因为A(0，－1)，B(0，3)，
√
3.已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
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解析　∵a＝(2,0)，|b|＝1，
∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1.
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解析　∵四边形OABC是平行四边形，
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解析　设AC，BD相交于点O，
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－1
7.设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m).若a⊥(ma－b)，则m＝________.
解析　由题意得ma－b＝(m＋1，－m)，
根据向量垂直的充要条件可得
1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，
所以m＝－1.
8.设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝_______，|a＋b|＝________.
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－2
解析　由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a·b＝0，
即m＋2＝0，解得m＝－2.
所以a＋b＝(－1,3)，
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9.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2).
(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；
解　∵c＝4(1,2)＋(2，－2)＝(6,6)，
∴b·c＝(2，－2)·(6,6)＝2×6－2×6＝0，
∴(b·c)a＝0·a＝0.
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(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值.
解　∵a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(1＋2λ，2－2λ)，(a＋λb)⊥a，
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证明　∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
10.已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
(1)求证：AB⊥AD；
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(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值.
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解　∵四边形ABCD为矩形，
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11.已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于
A.－4 B.－3 C.－2 D.－1
综合运用
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解析　因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，
由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
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∴(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，
又ka－b与a＋b的夹角为120°，
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＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
此时点P的坐标为(3,0).
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解析　以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
15.已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定
拓广探究
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解析　因为△ABC是锐角三角形，
所以p·q＝sin A－cos B>0，
又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角.
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