第9章 9.3.3　向量平行的坐标表示(共51张PPT)

(共51张PPT)
9.3.3　向量平行的坐标表示
第9章　 §9.3　向量基本定理及坐标表示
知识点　向量平行的坐标表示
1.向量平行的坐标表示
一般地，设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a≠0，则a∥b .
(1)当λ∈(0，＋∞)时，P位于线段P1P2的内部，特别地，当λ＝1时，P为线段P1P2的中点.
(2)当λ∈(－∞，－1)时，P在线段P1P2的延长线上.
(3)当λ∈(－1,0)时，P在线段P1P2的反向延长线上.
x1y2－x2y1＝0
2.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.(　 　)
3.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.(　 　)
4.向量a＝(1,2)与向量b＝(4,8)共线.(　 　)
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
√
×
×
√
2
题型探究
PART TWO
一、向量共线的判定
例1　 (多选)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
A.a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B.a＝(2,3)，b＝(3,2)
C.a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D.a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
√
√
√
解析　能作为平面内的基底，则两向量a与b 不平行，A选项，
(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；
C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；
D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b.
反思感悟
向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配.
因为2×6－3×4＝0，
二、由向量平行(共线)求参数的值
例2　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？
解　方法一　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b).
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4).
方法二　由方法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，
∵ka＋b与a－3b平行，
延伸探究
若本例条件不变，判断当ka＋b与a－3b平行时，它们是同向还是反向？
反思感悟
根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解.
跟踪训练2　设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)平行，则λ＝______.
2
解析　λa＋b＝λ(1,2)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)，
∵λa＋b与c平行，
∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝λ－2＝0，
∴λ＝2.
三、三点共线问题
反思感悟
(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点.
(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.
∴(4－k)(k－12)＝－7×(10－k)，
解得k＝－2或11，
∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线.
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随堂演练
PART THREE
1.(多选)下列各组向量中，共线的是
A.a＝(－1,2)，b＝(－2,4)
B.a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
C.a＝ ，b＝(10,5)
D.a＝(0，－1)，b＝(3,1)
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√
解析　利用平面向量共线的坐标表示可知，AB满足题意.
√
2.已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，则实数x的值为
A.2 B.－2 C.3 D.－3
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√
解析　因为a∥b，
所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，解得x＝－3.
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解析　设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，
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4.若点A(－2,0)，B(3,4)，C(2，a)共线，则a＝________.
解析　因为向量a＝(1，λ)，b＝(2,1)，c＝(1，－2)，
所以2a＋b＝(4,2λ＋1)，
由2a＋b与c共线得－8－(2λ＋1)＝0，
解得λ＝ .
5.已知向量a＝(1，λ)，b＝(2,1)，c＝(1，－2)，若向量2a＋b与c共线，则λ＝________.
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)向量共线的判定.
(2)由向量平行求参数的值.
(3)三点共线问题．
2.方法归纳：化归与转化.
3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错.
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课时对点练
PART FOUR
基础巩固
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1.已知向量a＝(2，－1)，b＝ ，则a与b
A.垂直 B.平行且同向
C.平行且反向 D.不垂直也不平行
√
∴a＝－3b，∴a与b平行且反向.
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3.a＝(1，－2)，b＝(2,1)，满足与向量a＋b平行的一个向量是
A.(2，－4) B.(4,2)
C.(－1，－3) D.(6，－2)
解析　由已知得a＋b＝(3，－1)，
√
只有D满足题意.
4.(多选)在下列向量组中，不能表示向量a＝(－3,7)的是
A.e1＝(0,1)，e2＝(0，－2)
B.e1＝(1,5)，e2＝(－2，－10)
C.e1＝(－5,3)，e2＝(－2,1)
D.e1＝(7,8)，e2＝(－7，－8)
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√
√
√
解析　因为A，B，D中两个向量都共线，而C中两向量不共线，
故C可以把向量a＝(－3,7)表示出来，A，B，D不可以.
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解析　因为A(4,3)，B(5，m)，C(6，n)三点在一条直线上，
5.若A(4,3)，B(5，m)，C(6，n)三点在一条直线上，则下列式子一定正确的是
A.2m－n＝3 B.n－m＝1 C.m＝3，n＝5 D.m－2n＝3
√
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6.已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝______.
－6
解析　因为a∥b，
所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.
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所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，
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8.已知向量a＝(1，－2)，b＝(3,4).若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝________.
解析　3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，
因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以0＋10(1＋3k)＝0，
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9.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，求m的值，并判断ma＋4b与a－2b是同向还是反向？
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解　ma＋4b＝(2m,3m)＋(－4,8)＝(2m－4,3m＋8)，
a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，
因为ma＋4b与a－2b共线，
所以4(3m＋8)－(－1)×(2m－4)＝0，解得m＝－2.
当m＝－2时，ma＋4b＝(－8,2)，
所以ma＋4b＝－2(a－2b)，
所以ma＋4b与a－2b方向相反.
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解　设点P的坐标为(x，y)，
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解得x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2).
解得x＝7，y＝－6，∴P(7，－6).
综上可得，点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6).
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综合运用
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11.向量a＝(2，－1)，|b|＝3|a|，a∥b，则b可能是
A.(6,3) B.(3,6) C.(－6，－3) D.(－6,3)
√
解析　由a∥b可排除A，B，C，故选D.
12.(多选)已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是
A.存在实数x，使a∥b
B.存在实数x，使(a＋b)∥a
C.存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D.存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
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解析　A不正确，若a∥b，则x2＋9＝0，方程无实根；
B不正确，若(a＋b)∥a，则3(x－3)－x(x＋3)＝0，方程无实根；
C不正确，若(ma＋b)∥a，则3(mx－3)－x(3m＋x)＝0，方程无实根；
D正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b.
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解析　因为A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线，
所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1.
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15.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，则直线AC与BD交点P的坐标为________.
拓广探究
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又cos2α＋2sin α＝－sin2α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2，
∴－2≤cos2α＋2sin α≤2，
∴－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2，
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