第9章 9.3.2 向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示(共59张PPT)

(共59张PPT)
第9章　 9.3.2　向量坐标表示与运算
　向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示
知识点一　向量的坐标表示
1.向量的坐标
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个 i，j作为基底.对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y).
单位向量
2.点的坐标与向量坐标的区别和联系
区别 表示形式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
知识点二　向量的坐标运算
1.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ
数学公式 文字语言表述
向量 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
向量 数乘 λa＝___________ 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
(λx1，λy1)
1.在平面直角坐标系内，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量 ＝(x1－x2，y1－y2).(　 　)
2.与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量分别为i＝(1,0)，j＝(0,1).
(　 　)
3.当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.
(　 　)
4.相等向量的坐标与向量的起点、终点有关.(　 　)
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
√
×
√
×
2
题型探究
PART TWO
一、向量的坐标表示
例1　在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标.
解　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，
反思感悟
在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.
跟踪训练1　已知O是坐标原点，点A在第二象限， ＝6，∠xOA＝150°，向量 的坐标为__________．
解析　设点A(x，y)，
二、向量的坐标运算
例2　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；
解　2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)
＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).
(2)a－3b；
解　a－3b＝(－1,2)－3(2,1)
＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).
反思感悟
向量坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
√
三、向量坐标运算的应用
解析　设点P的坐标为(x，y)，∵点P在线段P1P2上，
反思感悟
坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.
(0,2)
核心素养之逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
解　设P(x，y).
∴(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，
(2)如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且 ＝2，求点G的坐标.
解　∵D是AB的中点，
设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得
素养
提升
(1)用有向线段的定比分点坐标公式 可以求解有向
线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比．事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其他一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．定比分点坐标公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法．
(2)通过定比分点坐标公式的推导与应用，培养逻辑推理和数学运算素养.
3
随堂演练
PART THREE
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√
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2.已知 ＝(－2,4)，则下列说法正确的是
A.点A的坐标是(－2,4)
B.点B的坐标是(－2,4)
C.当点B是坐标原点时，点A的坐标是(－2,4)
D.当点A是坐标原点时，点B的坐标是(－2,4)
√
解析　由任一向量的坐标的定义可知，当A是坐标原点时，点B的坐标是(－2,4).
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(－2，－4)
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)向量的坐标表示.
(2)向量加、减、数乘运算的坐标表示.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：混淆点的坐标与向量的坐标致错.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
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1.已知点A(1,1)，B(2,4)，将向量 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得向量 的坐标是
A.(2,0) B.(3,3) C.(1,3) D.(3,4)
√
解析　∵点A(1,1)，B(2,4)，
再向下平移1个单位长度后，向量的大小和方向没有变化，
2.(多选)下面几种说法中正确的有
A.相等向量的坐标相同
B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应于唯一的一个向量
D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
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√
√
√
解析　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误.
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A.(1，－2) B.(7，6) C.(5，0) D.(11，8)
√
解析　设c＝xa＋yb，
∴c＝3a－b.
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4.若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c等于
A.3a－b B.3a＋b C.－a＋3b D.a＋3b
√
所以(x－5，y＋1)＝(2，－5)，
所以x＝7，y＝－6.即D(7，－6).
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5.已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为
A.(－7,0) B.(7,6) C.(6,7) D.(7，－6)
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6.已知a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，则a＝_______，b＝___________.
(3,5)　 (－2，－2)
解析　由a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，
所以2a＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)，
所以a＝(3,5)，2b＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)，
所以b＝(－2，－2).
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(7,7)
设O为坐标原点，
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8.已知A(1，0)，B(3，4)，M是线段AB的中点，那么向量 的坐标是________.
(1，2)
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解　设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，
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∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，
综合运用
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12.若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标.现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为
A.(2,0) B.(0，－2) C.(－2,0) D.(0,2)
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√
解析　∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，
∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4).
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
∴a在基底m，n下的坐标为(0,2).
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14.如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝________.
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解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，
则可得a＝(1,2)，b＝(2，－3)，c＝(3,4).
拓广探究
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15.已知集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R}，则M∩N等于
A.{(1,1)} B.{(1,2)，(－2，－2)}
C.{(－2，－2)} D.
√
解析　设a∈M∩N，则存在λ和μ使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，
即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ).
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故四边形OABP不能成为平行四边形.
(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由.
本课结束