【数学总复习-考点精讲】RJA 第四章 第4讲 第2课时　 三角函数的周期性、奇偶性与对称性

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第2课时　三角函数的周期性、奇偶性与对称性
考点一　三角函数的周期性(自主练透)
复习指导：借助正弦、余弦、正切的图象，了解三角函数的周期性．
1．函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)
A. B.
C.π D.2π
2．(2020·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为(　　)
A. B.
C. D.
3．若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1＜T＜2，则正整数k的值为________．
4．(2022·福建省南平市高三联考)已知f(x)不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数f(x)：________．
①定义域为R；②f(x)＝f；③1＋f(2x)＝2f2(x)；④f≠－1.
参考答案
1解析：选C.因为y＝2＝2sin，所以T＝＝π.
2解析：选C.由题图知，函数f(x)的最小正周期T满足0－(－π)3解析：由题意得1＜＜2，k∈Z，
所以＜k＜π，k∈Z，所以k＝2或3.
答案：2或3
4解析：由1＋f(2x)＝2f2(x)，得f(2x)＝2f2(x)－1，
联想到cos 2x＝2cos2x－1，可推测f(x)＝cos ωx，
由f(x)＝f，得＝k·(k∈N*)，则|ω|＝4k(k∈N*)，
又f≠－1，所以f(x)＝cos(4kx)(k∈Z，k为偶数，且|k|＞1)，
则当k＝2时，f(x)＝cos 8x.
答案：f(x)＝cos 8x(答案不唯一)
周期的计算方法
(1)定义法．
(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．
考点二　三角函数的奇偶性、对称性(多维探究)
复习指导：函数的奇偶性可作为对称性的特殊情形．正弦、余弦型函数图象的对称轴与x轴交点的横坐标均在三角函数取最值的地方(即波峰和波谷)取得，对称中心的横坐标均在三角函数值为0的地方(即平衡位置)取得．
角度1　奇偶性
(1)(2022·广州模拟)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是(　　)
A. B.
C. D.2
(2)(链接常用结论3)(2022·抚顺调研)已知函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为________．
【解析】　(1)由题意得φ＝，所以f(x)＝cos＝－sin ωx，因为f(x)在上单调递减，所以－×ω≥－＋2kπ，k∈Z且×ω≤＋2kπ，k∈Z，解得k∈Z，又ω>0，当k＝0时，0<ω≤，当k>0时，无解．故ω的最大值为.
(2)因为函数f(x)为偶函数，所以θ＋＝kπ＋(k∈Z)．又θ∈，所以θ＋＝，解得θ＝，经检验符合题意．
【答案】　(1)C　(2)
三角函数的奇偶性
(1)可结合常用结论判断奇偶性．
(2)若y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))为奇函数，则当x＝0时，y＝0；若y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))为偶函数，则当x＝0时，y取最大值或最小值．
角度2　对称性
(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是(　　)
A. B.
C. D.
(2)(链接常用结论2)若函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)图象的一个对称中心为M，距离点M最近的一条对称轴为直线x＝，则ω＝________．
【解析】　(1)由题意可得＝π，所以ω＝2，
可得f(x)＝Asin(2x＋φ)，
再由函数图象关于直线x＝对称，
故f＝Asin＝±A，
可得φ＝－.
故函数f(x)＝Asin，令2x－＝kπ，k∈Z，
可得x＝＋，k∈Z，故函数的对称中心为，k∈Z.
所以函数f(x)图象的一个对称中心是.
(2)函数f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin，
因为图象的对称中心为M，距离点M最近的一条对称轴为x＝，所以－＝，即T＝.故ω＝＝3.
【答案】　(1)B　(2)3
三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法
(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象的对称轴和对称中心求解．
(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似的方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．
|跟踪训练|
1．(2022·四川师范大学附属中学模拟)将函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的图象的一个对称中心是(　　)
A. B.
C. D.
2．(多选)已知函数f(x)＝|sin x||cos x|，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的周期为
C．(π，0)是f(x)的一个对称中心
D．f(x)在区间上单调递减
3．函数y＝tan的周期为________，对称中心为________．
4．(2022·江西省铜鼓中学模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)－cos(2x＋φ)(0<φ<π)是定义在R上的奇函数，则f的值为________．
参考答案
1解析：选B.f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x
＝sin 2x＋(cos 2x＋1)
＝sin 2x＋cos 2x＋
＝2sin＋.
所以g(x)＝2sin＋
＝2sin 2x＋，
所以g(x)的对称中心为(k∈Z)，
当k＝2时，对称中心为(π，)．
2解析：选ABD.f(x)＝|sin x||cos x|＝
|sin xcos x|＝|sin 2x|，
作出f(x)的图象如图，
由图可知f(x)的图象关于直线x＝对称，故A正确；
函数周期T＝×＝，故B正确；
由图可知，函数f(x)的图象不关于点(π，0)对称，故点(π，0)不是f(x)的一个对称中心，故C错误；
由图可知，当x∈时，函数f(x)为减函数，故D正确．
故选ABD.
3解析：T＝＝，令2x＋＝，k∈Z，得x＝－(k∈Z)．
所以函数图象的对称中心为(k∈Z)．
答案：　(k∈Z)
4解析：f(x)＝sin(2x＋φ)－cos(2x＋φ)＝2sin，
因为f(x)为R上的奇函数，
所以φ－＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)，
又0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝2sin 2x，
所以f＝2sin＝－.
答案：－
考点三　三角函数的图象与性质的综合(综合研析)
复习指导：此类问题常与三角恒等变换综合考查，其思路为：先将三角函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等．
已知函数f(x)＝sin(2π－x)·sin－cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈时，求f(x)的最小值和最大值．
【解】　(1)由题意得，f(x)＝(－sin x)(－cos x)－cos2x＋＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π；
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，
故所求图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)当0≤x≤时，－≤2x－≤，
由函数图象(图略)可知，－≤sin≤1，即0≤sin(2x－)＋≤.
故f(x)的最小值为0，最大值为.
解决三角函数图象与性质综合问题的方法
先将y＝f(x)化为y＝asin x＋bcos x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
|跟踪训练|
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．
解：由f(x)的最小正周期为π，得T＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，有φ＝＋kπ(k∈Z)．因为0＜φ＜，所以φ＝.
(2)因为f＝，所以sin＝，即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，故φ＝2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为0＜φ＜，所以φ＝，即f(x)＝sin.由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
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