【数学总复习-对点练习】RJA 第四章 第4讲　第1课时　三角函数的单调性与最值

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第4讲　第1课时　三角函数的单调性与最值
1．(2021·新高考卷Ⅰ)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是(　　)
A. B.
C. D.
2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)
A．－1 B.－
C. D.0
3．(2022·山西省实验中学期中)若tan 2＝a，tan 3＝b，tan 5＝c，则(　　)
A．a＜b＜c B.b＜c＜a
C．c＜b＜a D.c＜a＜b
4．(2022·福州检测)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的最大值是(　　)
A. B.
C. D.π
5．(多选)函数f(x)＝sin xcos x的单调递减区间可以是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
6．已知函数f(x)＝4sin，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递增区间是________．
7．(2022·上海市进才中学期中)已知定义在[－a，a]上的函数f(x)＝cos x－sin x是减函数，其中a>0，则当a取最大值时，f(x)的值域是________．
8．已知f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
9．已知函数f(x)＝a(2cos2＋sin x)＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值．
10．(2022·河南省名校联盟模拟)若函数f(x)＝sin与g(x)＝cos都在区间(a，b)(0＜a＜b＜π)上单调递减，则b－a的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
11．(多选)(2022·江西10月大联考)在数学史上，为了三角计算的简便并追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1－cos θ为角θ的正矢，记作versin θ；定义1－sin θ为角θ的余矢，记作coversin θ.则下列说法正确的是(　　)
A．versin＝coversin(θ＋π)
B．若＝－3，则coversin 2x－versin 2x＝
C．函数y＝coversin x－versin x在上单调递增
D．函数f(x)＝coversin＋versin的最小值为2－
12．(2022·日喀则市南木林高中期末)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，若f＝f，且f(x)在区间内有最大值，无最小值，则ω＝________．
13．(2022·江赣十四校联考)如果圆x2＋(y－1)2＝m2至少覆盖函数f(x)＝2sin2－ cos(m>0)的一个最大值点和一个最小值点，则m的取值范围是________．
14．设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
参考答案
1解析：选A.令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为?，所以区间是函数f(x)的单调递增区间．
2解析：选B.由已知x∈，得2x－∈，
所以sin∈，
故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
3解析：选D.因为tan 5＝tan(5－π)，＜5－π＜2＜3＜π，且函数y＝tan x在区间上单调递增，
所以tan(5－π)＜tan 2＜tan 3，
所以tan 5＜tan 2＜tan 3，即c＜a＜b.
4解析：选C.由题意得，f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，当k＝0时，－≤x≤，即函数f(x)在上单调递增．因为函数f(x)在[0，m]上单调递增，所以0＜m≤，即m的最大值为，故选C.
5解析：选AB.f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，
由＋2kπ≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
得＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)＝sin xcos x的单调递减区间是(k∈Z)，故B正确，
因为函数的周期是kπ(k≠0)，故A也正确．
故选AB.
6解析：由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
又因为x∈[－π，0]，
所以f(x)的单调递增区间为和.
答案：和
7解析：f(x)＝cos x－sin x＝－sin，
令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，则2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
故f(x)的减区间为，k∈Z，
由题设可得[－a，a]为，k∈Z的子集，
故k＝0且故0当－≤x≤时，－≤x－≤0，
故0≤－sin≤，
故f(x)的值域为.
答案：[0， ]
8解：(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.
9解：函数f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b
＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)因为0≤x≤π，所以≤x＋≤，所以－≤sin≤1，依题意知a≠0.①当a＞0时，得解得a＝3－3，b＝5.②当a＜0时，得解得a＝3－3，b＝8.综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.
10解析：选B.函数f(x)＝sin在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，函数g(x)＝cos在区间上单调递减，在上单调递增，所以这两个函数在区间上单调递减，故b－a＝－＝，即所求的最大值．故选B.
11解析：选AC.对于A，versin＝1－cos＝1＋sin θ，
coversin(π＋θ)＝1－sin(π＋θ)＝1＋sin θ，故A选项正确；
对于B，由＝－3，得tan x＝－3，
因为coversin 2x－versin 2x＝cos 2x－sin 2x
＝＝＝－，
故B选项错误；
对于C，y＝coversin x－versin x＝cos x－sin x＝cos，
则π＋2kπ≤x＋≤2π＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
所以在上单调递增，故C选项正确；
对于D，因为f(x)＝2－sin－cos＝2－2sin，
所以最小值为0，故D选项错误．
12解析：因为f(x)在区间内有最大值，无最小值，f＝f，
所以当x＝时，f(x)取得最大值，即ω＋＝2kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝6k＋(k∈Z)，
又－＝＜T，即＞，所以ω＜6，又ω＞0，所以ω＝.
答案：
13解析：化简f(x)＝2sin2－cos得f(x)＝2sin＋1，所以函数f(x)的图象靠近圆心(0，1)的最大值点为，最小值点为，
所以只需
解得m≥.
答案：
14解析：由题意得，当x＝时，函数f(x)有最大值，故f＝1，－＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝8k＋(k∈Z)，又ω>0，所以ωmin＝.
答案：
15．已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；
(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．
15解：(1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.
(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝π＋π(k∈Z)，
所以当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π和x＝π.
又由(1)知当x＝π时，f(x)取得最大值1，且f(x1)＝f(x2)＝＞0，所以x1，x2关于x＝π对称，
所以x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，
所以cos(x1－x2)＝cos＝sin，
又f(x2)＝sin＝，
故cos(x1－x2)＝.
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