【数学总复习-考点精讲】RJA 第四章 第4讲　第1课时　三角函数的单调性与最值

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第4讲　三角函数的图象和性质
考向预测 核心素养
以考查三角函数的性质为主，题目涉及单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换相结合，中档难度. 直观想象、逻辑推理
一、知识梳理
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R ，　　　　　
值域 [－1，1] [－1，1] R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
函数的最值 最大值1，当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z时取得；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－，k∈Z时取得 最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z时取得；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π，k∈Z时取得 无最大值和最小值
单调性 增区间：[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)；减区间：[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z) 增区间：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；减区间：[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 增区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
周期性 周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π 周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π 周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为π
对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z
对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 无对称轴
零点 kπ，k∈Z kπ＋，k∈Z kπ，k∈Z
常用结论
1．函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线．
2．正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
3．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
4．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间(k∈Z)内为增函数．
二、教材衍化
1．(人A必修第一册P206例5改编)函数y＝2sin(x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　)
A. B.
C. D.
2．(人A必修第一册P207练习T2(2)改编)函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________．
3．(人A必修第一册P212例6改编)函数y＝－tan的单调递减区间为________________．
参考答案
1解析：选D.令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
由于x∈[－π，0]，所以所求的单调递增区间为.
2答案：5　＋2kπ(k∈Z)
3解析：由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，
得＋＜x＜＋(k∈Z)，
所以y＝－tan的单调递减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝cos x在第一、二象限内单调递减．(　　)
(2)若y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1.(　　)
(3)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．(　　)
(4)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(　　)
(5)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．(　　)
二、易错纠偏
1．(奇偶性概念不清致误)下列函数中，是奇函数的是(　　)
A．y＝|cos x＋1| B.y＝1－sin x
C．y＝－3sin(2x＋π) D.y＝1－tan x
2．(多选)(三角函数性质理解不透致误)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上单调递增
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
3．(忽视取最值的条件致误)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
二、易错纠偏
1解析：选C.选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y＝－3sin(2x＋π)＝3sin 2x，所以是奇函数，故选C.
2解析：选ABC.由题意，可得f(x)＝－cos x，
对于选项A，T＝＝2π，所以选项A正确；
对于选项B，y＝cos x在上单调递减，所以函数f(x)在区间上单调递增，所以选项B正确；
对于选项C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，所以选项C正确；选项D错误．故选ABC.
3解析：f(x)＝sin2x＋cos x－＝1－cos2x＋cos x－＝－＋1，cos x∈[0，1]，当cos x＝时，f(x)取得最大值1.
答案：1
第1课时　三角函数的单调性与最值
考点一　三角函数的定义域(自主练透)
复习指导：求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
1．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
2．函数y＝lg sin x＋ 的定义域为________．
3．函数y＝的定义域为________．
参考答案
1解析：选D.由2x＋≠kπ＋，得x≠＋(k∈Z)．
2解析：要使函数有意义，则有
即
解得(k∈Z)，
所以2kπ答案：
3解析：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一平面直角坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为
{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
答案：{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
三角函数的定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域．
(2)转化为求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域．
考点二　三角函数的单调性(多维探究)
复习指导：借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在上的单调性．
角度1　求三角函数的单调区间
(1)(2022·广东省七校联考)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
(2)函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
【解析】　(1)由－＋kπ＜－＜＋kπ，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间是，k∈Z，故选B.
(2)f(x)＝sin的单调递减区间是f(x)＝sin的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为，k∈Z.
【答案】　(1)B　(2)，k∈Z
1．若本例(2)f(x)变为：f(x)＝－cos，求f(x)的单调递增区间．
解：f(x)＝－cos＝－cos，
欲求函数f(x)的单调递增区间，
只需求y＝cos的单调递减区间．
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
2．本例(2)f(x)变为：f(x)＝sin，试讨论f(x)在区间上的单调性．
解：令z＝2x－，易知函数y＝sin z的单调递增区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，
B＝，易知A∩B＝.
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，又因为－＝求三角函数单调区间的方法
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
角度2　已知三角函数的单调性求参数
(1)(一题多解)(2022·湖南师大附中月考)若函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx在区间上单调递增，则正数ω的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
(2)定义在[0，π]上的函数y＝sin(ω＞0)有零点，且值域M ，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　(1)方法一：因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋1在区间上单调递增，
所以解得ω≤，所以正数ω的最大值是.
方法二：易知f(x)＝sin 2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝，所以解得ω≤.所以正数ω的最大值是.
(2)由0≤x≤π，得－≤ωx－≤ωπ－，当x＝0时，y＝－.因为函数y＝sin在[0，π]上有零点，所以ωπ－≥0，ω≥.因为值域M ，所以ωπ－≤π＋，ω≤，从而≤ω≤.
【答案】　(1)B　(2)C
已知函数单调性求参数
(1)明确一个不同：“函数f(x)在区间M上单调”与“函数f(x)的单调区间为N”两者的含义不同，显然M是N的子集．
(2)抓住两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M上的保号性，由此列不等式求解．
|跟踪训练|
1．函数y＝－2＋tan的单调递增区间是(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
2．若函数f(x)＝3sin－2在区间上单调，则实数a的最大值是________．
3．(2022·重庆市高三质量检测)函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，|φ|＜的图象过点，且在上单调递增，则ω的最大值为________．
参考答案
1解析：选A.由题意，令－＋kπ2解析：因为≤x≤a，
所以＋≤x＋≤a＋，
而f(x)在上单调，
所以a＋≤，即a≤，
所以a的最大值为.
答案：
3解析：依题意f(0)＝3sin φ＝，sin φ＝，
由于|φ|＜，所以φ＝.
所以f(x)＝3sin.
令ω＞0，由2kπ－≤ωx＋≤2kπ＋，化简得≤x≤，
由于f(x)在上单调递增，
所以解得8k－≤ω≤6k＋1，k∈Z，要使ω有解，则8k－≤6k＋1，解得k≤，由于k∈Z，故kmax＝1，故k＝1时，≤ω≤7，ω的最大值为7.
答案：7
考点三　三角函数的最值(值域)(综合研析)
(1)(2022·衡水调研)已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．
(2)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．
【解析】　(1)因为x∈，所以x＋∈，
因为当x＋∈时，f(x)的值域为，
所以由函数的图象(图略)知，≤a＋≤，所以≤a≤π.
(2)设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，且－≤t≤.
所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－， ]．
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－.
所以函数的值域为.
【答案】　(1)　(2)
三角函数值域的求法
(1)利用y＝sin x和y＝cos x的值域直接求．
(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)的形式求值域．
(3)把sin x或cos x看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域．
(4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系将原函数转换成二次函数求值域．
|跟踪训练|
1．函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　)
A. B.
C. D.
2．已知函数f(x)＝－10sin2x－10sin x－，x∈的值域为，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
3．(2020·高考北京卷)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．
参考答案
1解析：选B.当x∈时，2x－∈，
sin∈，
故3sin∈，
此时函数f(x)的值域是.
2解析：选B.记t＝sin x，x∈，则函数f(x)可转化为g(t)＝－10t2－10t－＝－10＋2.
因为函数的最大值为2，显然此时t＝－.
令g(t)＝－，得t＝－1或t＝0，
由题意知x∈，当x＝－时，t＝－1，g(－1)＝－，结合g(t)的图象及函数的值域为，可得－≤sin m≤0，
解得－≤m≤0.故选B.
3解析：因为f(x)＝cos φsin x＋(sin φ＋1)cos x＝sin(x＋θ)，
因为sin(x＋θ)≤1，
所以＝2，解得sin φ＝1.则φ＝＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为.
答案：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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