【数学总复习-对点练习】RJA 第四章 第3讲　第2课时　简单的三角恒等变换

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第3讲　第2课时　简单的三角恒等变换
1．(2022·烟台模拟)直线y＝2x绕原点顺时针旋转45° 得到直线l，若l的倾斜角为α，则cos 2α的值为(　　)
A. B.
C．－ D.
2．计算：＝(　　)
A. B.
C. D.－
3．若＝·sin 2θ，则sin 2θ＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
4．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A. B.
C. D.
5．(2022·郑州模拟)设α＝，若β∈，且tan α＝，则β＝(　　)
A. B.
C. D.
6．(2022·平顶山模拟)已知sin α＝－，若＝2，则tan(α＋β)＝________．
7．(2022·贵州黔东南一模改编)已知sin α＋3cos α＝－，则tan 2α＝________．
8．已知α，β为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________．
9．已知sin＝，α∈.求：
(1)cos α的值；
(2)sin的值．
10．(2022·抚顺市第一中学期中测试)已知2sin α＝2sin2－1.
(1)求sin αcos α＋cos 2α的值；
(2)已知α∈(0，π)，β∈，且tan2β－6tan β＝1，求α＋2β的值．
11．(2022·龙岩质检)若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan 等于(　　)
A. B.
C. D.
12．(多选)(2022·湖北八校联考)已知3π≤θ≤4π，且 ＋ ＝，则θ＝(　　)
A. B.π
C. D.
13．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A. B.
C.或 D.或
15．(2022·江西省五校协作体试题)若θ∈，且2sin2θ＋sin 2θ＝－，则tan＝________．
16．已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
参考答案
1解析：选D.设直线y＝2x的倾斜角为β，则tan β＝2，α＝β－45°，所以tan α＝tan(β－45°)＝＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝.
2解析：选A.＝＝＝.
3解析：选C.由题意知＝sin 2θ，
所以2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，
则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ，
因此sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍去)．
4解析：选B.由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝ ，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B.
5解析：选A.由tan α＝得sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
即sin(α－β)＝cos α＝sin，因为β∈，
α＝π∈，所以α－β∈，－α∈，
由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，
所以2α－β＝，
所以β＝π.故选A.
6解析：因为sin α＝－，α∈，
所以cos α＝.由＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，即cos(α＋β)＝sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝.
答案：
7解析：因为(sin α＋3cos α)2＝sin2α＋6sin αcos α＋9cos2α＝10(sin2α＋cos2α)，所以9sin2α－6sin αcos α＋cos2α＝0，则(3tan α－1)2＝0，即tan α＝.所以tan 2α＝＝.
答案：
8解析：因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.又因为α，β为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝×－×＝.
因为α为锐角，所以0＜2α＜π.
又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，
又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
答案：　
9解：(1)sin＝，
即sin αcos ＋cos αsin ＝，
化简得sin α＋cos α＝，①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②解得cos α＝－或cos α＝，
因为α∈，
所以cos α＝－.
(2)因为α∈，cos α＝－，
所以sin α＝，
则cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－，
所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝－.
10解：(1)由已知得2sin α＝－cos α，所以tan α＝－.
sin αcos α＋cos 2α＝＝＝.
(2)由tan2β－6tan β＝1，可得tan 2β＝＝－，
则tan(α＋2β)＝＝＝－1.
因为β∈，所以2β∈(0，π)，
又tan 2β＝－>－，则2β∈，
因为α∈(0，π)，tan α＝－>－，
则α∈，则α＋2β∈，
所以α＋2β＝.
11解析：选D.3sin α＋2cos α
＝
＝＝2，
所以3tan ＋1－tan2＝tan2＋1，
解得tan ＝0或tan＝，又α∈(0，π)，
所以tan ≠0，
所以tan ＝，故选D.
12解析：选BD.因为3π≤θ≤4π，所以≤≤2π，所以cos ≥0，sin ≤0，
则 ＋ ＝ ＋ ＝cos －sin ＝cos＝，
所以cos＝，
所以＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z.因为3π≤θ≤4π，所以θ＝或，故选BD.
13解析：选A.因为α∈，β∈，
所以2α∈.
又0即α∈，所以β－α∈，
所以cos 2α＝－＝－.
又sin(β－α)＝，所以cos(β－α)＝
－＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)
＝－×－×＝.
又α∈，β∈，
所以α＋β∈，所以α＋β＝.
14．计算：＝________．
解析：＝
＝＝＝.
答案：
15解析：由2sin2θ＋sin 2θ＝－，得1－cos 2θ＋sin 2θ＝－，得cos 2θ－sin 2θ＝，2cos＝，即cos＝，又θ∈，所以2θ＋∈，则tan＝，
所以tan＝tan
＝＝.
答案：
16解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.
(2)由f＝2cos(α＋＋)
＝2cos＝－2sin α＝－，
得sin α＝，又α∈，
所以cos α＝.
由f＝2cos(β－＋)＝2cos β＝，
得cos β＝，又β∈，所以sin β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
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