【数学总复习-考点精讲】RJA 第四章 第3讲　第2课时　简单的三角恒等变换

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第2课时　简单的三角恒等变换
考点一　三角函数式的化简(自主练透)
复习指导：三角函数式化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
1．(2022·蓉城名校联盟第一次联考)已知角θ的终边过点A(6，a)，且sin(θ－3π)＝，则tan＝(　　)
A. B.－ C. D.－
2．若tan α＝2tan ，则＝(　　)
A．1 B.2
C.3 D.4
3．(2022·长沙模拟)化简：＝________．
4．化简：＝________．
参考答案
1解析：选A.因为sin(θ－3π)＝－sin θ＝ sin θ＝－，所以＝－ a2＝64，
则cos θ＝＝，tan θ＝＝－，所以tan 2θ＝＝，
所以tan＝＝.
2解析：选C.因为cos＝cos＝sin，
所以原式＝＝＝.
因为tan α＝2tan ，所以原式＝＝3.
3解析：＝＝
＝4sin α.
答案：4sin α
4解析：原式＝
＝
＝
＝cos 2x.
答案：cos 2x
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
考点二　三角函数式的求值(多维探究)
复习指导：三角函数的求值包括给角求值、给值求值、给值求角三类．
角度1　给角求值
计算＝________．
【解析】　
＝
＝＝
＝＝2.
【答案】　2
角度2　给值求值
(1)(2022·福州检测)已知sin＝，且θ∈，则cos＝(　　)
A．0 B.
C.1 D.
(2)若tan α＋＝，α∈，则sin＋2cos cos2α＝________．
【解析】　(1)由sin＝，且θ∈得，θ＝，所以cos＝cos 0＝1.
(2)因为tan α＋＝，α∈，tan α∈(1，＋∞)，
所以tan α＝3或tan α＝(舍去)，
则sin＋2cos cos2α
＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＋·
＝sin 2α＋cos 2α＋
＝(2sin αcos α)＋(cos2α－sin2α)＋
＝·＋·＋
＝·＋·＋
＝×＋×＋
＝0.
【答案】　(1)C　(2)0
角度3　给值求角
(2022·山西大学附中期中)已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝(　　)
A. B.或
C．－ D.或或－
【解析】　因为tan α＝＞0，且α∈(0，π)，
所以α∈，2α∈(0，π)，
所以tan 2α＝＝＝＞0，
所以2α∈.
因为tan β＝－＜0，且β∈(0，π)，
所以β∈，
所以2α－β∈(－π，0)，
又tan(2α－β)＝＝＝1，
所以2α－β＝－.
【答案】　C
三角函数变换常用技巧
(1)给角求值问题要充分观察并利用所给角与特殊角的关系，给值求值要着眼于所求角与已知角的和、差或倍数关系，两者的关键都在于“变角”．
(2)给值求角问题的解题策略
①求相关角的某一个三角函数值．
②由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据已知角的范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，以排除多余的解．
|跟踪训练|
1．求值：＝(　　)
A．1 B.2
C. D.
2．(2022·河南省联考高三核心模拟)已知α＋β＝，tan α＋tan β＝2，则cos(α－β)的值为(　　)
A. B.
C. D.
3．(2022·北京市怀柔区联考)已知π＜α＜α＋β＜2π，且满足cos α＝－，cos(α＋β)＝，则β＝________．
参考答案
1解析：选C.原式＝
＝
＝
＝
＝＝＝.
2解析：选B.α＋β＝，tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝＝＝，
tan αtan β＝1－＝.
tan α＋tan β＝＋＝＝＝＝2，
所以cos αcos β＝，sin αsin β＝＝－，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，
故选B.
3解析：因为cos α＝－，cos(α＋β)＝，且π＜α＜α＋β＜2π，
所以sin α＝－，sin(α＋β)＝－，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－.
因为π＜α＜α＋β＜2π，所以0＜β＜π，所以β＝.
答案：
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