【数学总复习-对点练习】RJA 第四章 第3讲　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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第3讲　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．sin 110°cos 40°－cos 70°sin 40°＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
2．(2022·福建五校第二次联考)已知cos＝，则sin 2α＝(　　)
A. B.－
C. D.－
3．(2021·高考全国卷甲)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　)
A. B.
C. D.
4．已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　)
A. B.－
C. D.±
5．(多选)下列各式中，值为的是(　　)
A．cos2－sin2 B.
C．2sin 195°cos 195° D.
6．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________．
7．(2022·甘肃、青海、宁夏联考改编)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝________，tan α＝________．
8．已知cos α＝－，tan β＝，π＜α＜，0＜β＜，则α－β的值为________．
9．已知A，B均为钝角，且sin A＝，sin B＝，求A＋B的值．
10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
11．(2022·河北五校联考)已知x，y∈，sin(x＋y)＝2sin(x－y)，则x－y的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
12．(多选)下列四个选项中，化简正确的是(　　)
A．cos(－15°)＝
B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝0
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝
D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
13．(2022·宁波宁海中学二模)已知tan(α＋45°)＝2 020，则tan α＝________，＋tan 2α＝________．
14．(2022·大连市质检)＝________．
15．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)求2α－β的值．
参考答案
1解析：选A.sin 110°cos 40°－cos 70°sin 40°＝sin 70°cos 40°－cos 70°sin 40°＝sin(70°－40°)＝sin 30°＝.
2解析：选C.因为cos＝，所以(cos α＋sin α)＝，所以cos α＋sin α＝，两边同时平方得1＋sin 2α＝，得sin 2α＝.
3解析：选A.因为tan 2α＝＝＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝.
4解析：选A.因为cos＝，
所以cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝
＝cos＝×＝.
5解析：选BC.选项A，cos2－sin2＝cos＝cos ＝，错误；
选项B，＝·＝tan 45°＝，正确；
选项C，2sin 195°cos 195°＝2sin(180°＋15°)cos(180°＋15°)＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，正确；
选项D，＝＝，错误．故选BC.
6解析：依题意可将已知条件变形为
sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，所以sin β＝－.
又β是第三象限角，因此有cos β＝－，
所以sin＝－sin
＝－sin βcos －cos βsin ＝.
答案：
7解析：因为tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，
所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝
＝＝－1；tan α＝tan(α＋β－β)＝＝.
答案：－1　
8解析：方法一：由cos α＝－，π＜α＜，得sin α＝－，tan α＝2.
又tan β＝，于是tan(α－β)＝＝＝1.
由π＜α＜，0＜β＜，得＜α－β＜，因此α－β＝.
方法二：由cos α＝－，π＜α＜，得sin α＝－.
由tan β＝，0＜β＜，得sin β＝，cos β＝，
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－.
由π＜α＜，0＜β＜，得＜α－β＜，因此α－β＝.
答案：
9解：因为A，B均为钝角，且sin A＝，sin B＝，
所以cos A＝－＝－，
cos B＝－＝－，
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝－×－×＝.
又因为＜A＜π，＜B＜π，所以π＜A＋B＜2π，所以A＋B＝.
10解：(1)由角α的终边过点P，得sin α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，得cos α＝－，sin α＝－，
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α得
cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
11解析：选B.由sin(x＋y)＝2sin(x－y)得sin xcos y＋cos xsin y＝2sin xcos y－2cos xsin y，则tan x＝3tan y，所以tan (x－y)＝＝＝≤，当且仅当tan y＝时等号成立，由于f(x)＝tan x在上单调递增，x，y∈，则x－y的最大值为.
12解析：选BCD.对于A，原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝，A错误．
对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B正确．
对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，C正确．
对于D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝，D正确．
13解析：因为tan(α＋45°)＝2 020，所以＝2 020，所以＝2 020，解得tan α＝，
所以＋tan 2α＝＋＝
＝＝＝＝2 020.
答案：　2 020
14解析：原式＝
＝＝.
答案：
15解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，
又α，β∈[0，π]，所以α－β＝，
所以即≤α≤π，
所以sin(2α－β)＋sin(α－2β)
＝sin＋sin(α－2α＋π)
＝cos α＋sin α＝sin.
因为≤α≤π，所以≤α＋≤，
所以－1≤ sin≤1，
即取值范围为[－1，1]．
答案：[－1，1]
16解：(1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，
因为S△OAM＝|OA|·|OM|sin α＝，
所以sin α＝，又α为锐角，所以cos α＝.
因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是，所以sin β＝，cos β＝－，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.
(2)因为sin α＝，cos α＝，cos (α－β)＝－，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，
所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－，
因为α为锐角，
sin α＝＞，
所以α∈，所以2α∈，
又β∈，
所以2α－β∈，
所以2α－β＝－.
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