【数学总复习-考点精讲】RJA 第四章 第3讲　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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第3讲　简单的三角恒等变换
考向预测 核心素养
三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查. 数学运算、逻辑推理
一、知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsinβ；
cos(α β)＝cos αcos β±sin αsinβ；
tan(α±β)＝
.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
3．三角函数公式的关系
常用结论
1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
3．公式的常用变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)，
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
4．辅助角公式
asin x＋bcos x＝ sin(x＋φ)，其中tan φ＝.
二、教材衍化
1．(人A必修第一册P219例4(1)改编)sin 15°sin 45°－cos 15°cos 45°＝(　　)
A. B. C.－ D.－
2．(人A必修第一册P218例3改编)已知α∈，sin α＝，则tan＝(　　)
A. B.7
C.－ D.－7
3．(人A必修第一册P229习题5.5T12改编)sin －cos 的值为(　　)
A．0 B.－
C.2 D.
4．(人A必修第一册P229习题5.5T5改编)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝________．
参考答案
1解析：选C.sin 15°sin 45°－cos 15°cos 45°＝－(cos 15°·cos 45°－sin 15°sin 45°)＝－cos(15°＋45°)＝－cos 60°＝－.
2解析：选A.因为α∈，所以cos α＜0.因为sin α＝，
所以cos α＝－，所以tan α＝＝－，
所以tan＝＝＝.
3解析：选B.sin －cos ＝2＝2sin＝2sin＝－.
4解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.
答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　)
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)
(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)
二、易错纠偏
1．(多选)(公式记忆混乱致误)下列各式中，正确的是(　　)
A．sin＝sin cos ＋cos
B．cos ＝sin －cos cos
C．cos＝cos cos ＋
D．cos ＝cos －cos
2．(不会合理配角致误)若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________．
3．(忽略角的范围致误)已知在△ABC中，sin A＝，cos B＝，则cos C＝________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
二、易错纠偏
1解析：选ABC.因为sin＝sin cos ＋cos ·sin ＝sin cos ＋cos ，所以A正确；
因为cos ＝－cos ＝－cos
＝sin －cos cos ，所以B正确；
因为cos＝cos＝cos cos ＋，所以C正确；
因为cos ＝cos≠cos －cos ，所以D不正确．故选ABC.
2解析：tan β＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝.
答案：
3解析：因为cos B＝＜，所以B∈且sin B＝.
因为sin A＝＜，所以A∈∪.
若A∈，因为B∈，则A＋B∈，与A＋B＋C＝π矛盾，所以A ，故A∈，则cos A＝，
所以cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)
＝－cos Acos B＋sin Asin B
＝－×＋×
＝.
答案：
第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考点一　两角和与差公式的直接应用(自主练透)
复习指导：理解两角和与差公式的推导过程，会直接利用公式进行三角变换．
1．已知角α的终边经过点P(sin 47°，cos 47°)，则sin(α－13°)＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
2．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－ B.
C. D.－
3．若sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，则sin 2αcos β＝(　　)
A. B.
C. D.
4．已知cos＝cos α，tan β＝，则tan(α＋β)＝________．
参考答案
1解析：选A.由三角函数的定义，得sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°，
则sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13°
＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13°
＝cos(47°＋13°)＝cos 60°＝.
2解析：选A.因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
因为tan(π－β)＝＝－tan β，
所以tan β＝－，
则tan(α－β)＝＝－.
3解析：选B.由sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，
可得sin 2αcos β－cos 2αsin β＝，①
sin 2αcos β＋cos 2αsin β＝，②
由①＋②得2sin 2αcos β＝，
所以sin 2αcos β＝.故选B.
4解析：因为cos＝cos α－sin α＝cos α，
所以－sin α＝cos α，故tan α＝－，所以tan(α＋β)＝＝＝＝－.
答案：－
利用三角函数公式时应注意的问题
(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)应注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
考点二　三角函数公式的逆用与变形应用(综合研析)
复习指导：能运用三角函数公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．
(1)cos 15°－4sin215°cos 15°＝(　　)
A. B.
C.1 D.
(2)若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________．
(3)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
【解析】　(1)cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝.
(2)tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
(3)因为sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
所以①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
所以sin αcos β＋cos αsin β＝－，
所以sin(α＋β)＝－.
【答案】　(1)D　(2)2　(3)－
(1)三角函数公式活用技巧
①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．
|跟踪训练|
1．(1－tan215°)cos215°的值为(　　)
A. B.1
C. D.
2．(2022·陕西省模拟)已知0＜α＜β＜，且cos(α－β)＝，sin β＝，则sin α＝(　　)
A．－ B.
C.－ D.
3．(2021·新高考卷Ⅰ)若tan θ＝－2，则＝(　　)
A．－ B.－
C. D.
4．已知＝，且tan(α＋β)＝，则tan α的值为________，tan β的值为________．
参考答案
1解析：选C.(1－tan215°)cos215°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
2解析：选D.因为0＜α＜β＜，cos(α－β)＝，sin β＝，
所以α－β∈，sin(α－β)＝－＝－，cos β＝＝.
所以sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝－×＋×＝＝.
3解析：选C.通解(求值代入法)：因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，
所以或所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2 θ＋sin θcos θ＝－＝.故选C.
优解一(弦化切法)：因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C.
优解二(正弦化余弦法)：因为tan θ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ.则＝＝sin θ·(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C.
4解析：因为sin2α＋cos2α＝1，所以＝＝，利用tan α＝可得，＝，即tan2α－4tan α＋4＝0，解得tan α＝2.所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝－1.
答案：2　－1
考点三　三角公式的灵活应用(多维探究)
复习指导：三角公式的灵活应用的实质是三角恒等变换，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．
角度1　三角函数公式中变“角”
(2022·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________．
【解析】　由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－<0，所以cos(α＋β)＝，因为β－∈，所以cos＝－，cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－.
【答案】　－
角度2　三角函数公式中变“名”
已知cos＝，θ∈，则sin＝________．
【解析】　由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝.
因为cos＝>0，θ∈，
所以0<θ<，2θ∈，
根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，
由两角差的正弦公式，可得
sin＝sin 2θcos －cos 2θsin
＝×－×＝.
【答案】　
三角函数公式应用的解题思路
(1)角的转换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋＝，＝2×等．
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
[提醒]　转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．
|跟踪训练|
1．(多选)(2022·河北省省级联测)设α∈，β∈，若＝tan，则有(　　)
A．sin α＝sin β B.cos α＝－cos β
C．sin α＝cos β D.sin2＋sin2＝1
2．已知0<α<，且sin α＝，则tan＝________；＝________．
参考答案
1解析：选ABD.＝tan ＝tan ＝.因为α∈，所以∈，因此有＝，
又因为β∈，所以∈，
所以coscos－sinsin＝0，即cos＝0，因为∈，∈，
所以∈，即＝，因此α＋β＝π，
所以有sin α＝sin(π－β)＝sin β，cos α＝cos(π－β)＝－cos β，
sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1.
2解析：由题意得cos α＝＝，所以tan α＝＝，
则tan＝tan(α＋)＝＝7.
＝
＝＝＝.
答案：7　
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