【数学总复习-考点精讲】RJA 第四章 第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式

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第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式
考向预测 核心素养
考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变换的技能以及基本的运算能力. 数学运算、逻辑推理
一、知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：tan α＝.
2．三角函数的诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 α＋2kπ(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
常用结论
1．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
2．同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(2)sin α＝tan αcos α.
(3)sin2α＝＝；
cos2α＝＝.
二、教材衍化
1．(人A必修第一册P185习题5.2T6(2)改编)已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　)
A．－ B.－
C. D.
2．(人A必修第一册P195习题5.3T8改编)已知sin＝，则cos＝________；
sin＝________．
3．(人A必修第一册P194练习T3(1)改编)化简·cos(2π－α)的结果为________．
参考答案
1解析：选A.因为α是第二象限角，所以cos α＜0，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos α＝－＝－.
2解析：因为＋＝，所以cos＝cos＝sin＝.
sin＝sin＝sin＝.
答案：　
3解析：原式＝·cos α＝sin α.
答案：sin α
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　)
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)
(4)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝.(　　)
二、易错纠偏
1．(多选)(应用平方关系致误)已知cos(π＋α)＝，则tan α＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
2．(忽视诱导公式符号致误)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)
A．{1，－1，2，－2} B.{－1，1}
C．{2，－2} D.{1，－1，0，2，－2}
3．(忽视角的范围致误)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、易错纠偏
1解析：选AC.因为cos(π＋α)＝，所以cos α＝－，则α为第二或第三象限角，所以sin α＝±＝±.所以tan α＝＝＝ .
2解析：选C.当k为偶数时，A＝＋＝2；
当k为奇数时，A＝－＝－2.
3解析：因为sin θ＋cos θ＝，所以sin θcos θ＝.
又因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈，
所以sin θ－cos θ＝－.
答案：－
考点一　同角三角函数的基本关系(自主练透)
复习指导：理解同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α(其中α≠kπ＋，k∈Z)．
1．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝(　　)
A. B.－ C. D.－
2．(多选)(2022·湛江二十一中9月月考)已知＝5，下列计算结果正确的是(　　)
A．tan α＝ B.tan α＝2
C．cos2α＋sin αcos α＝ D.2sin2α－cos2α＝
3．已知＜α＜π，化简：＋＝________．
4．已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为________．
参考答案
1解析：选D.因为tan α＝－，所以＝－，
所以cos α＝－sin α，
代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝，
又α是第四象限角，所以sin α＝－.
2解析：选BC.由＝5得＝5，解得tan α＝2，故A错误，B正确；
cos2α＋sin αcos α＝＝＝＝，故C正确；
2sin2α－cos2α＝＝＝，故D错误．
3解析：因为＜α＜π，所以cos α＜0，sin α＞0，所以原式＝－＝－＝0.
答案：0
4解析：由tan α＝－，
得sin α＝－cos α，且sin α＞0，cos α＜0，
将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，
所以cos α＝－，sin α＝，
故sin α＋cos α＝－.
答案：－
同角三角函数的基本关系的应用策略
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
考点二　诱导公式的应用(综合研析)
复习指导：借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式.
(1)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3，4)，则sin＝(　　)
A．－ B.－ C. D.
(2)(2022·江西临川九校联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－，则sin·tan(π＋α)＝(　　)
A．－ B. C.－ D.
(3)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则＝________．
【解析】　(1)由题意知sin α＝，cos α＝，
所以sin＝sin＝－cos α＝－.
(2)sin·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α，因为α∈(0，π)，且cos α＝－，所以sin α＝＝，即sin·tan(π＋α)＝ .
(3)由题可知tan θ＝3，原式＝＝＝.
【答案】　(1)B　(2)D　(3)
(1)诱导公式用法的一般思路
①化负为正，化大为小，化到锐角为止；
②角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
(2)常见的互余和互补的角
①常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等；
②常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．
|跟踪训练|
1．已知cos α＝，且－<α<0，则＝________．
2．(2022·江西上饶模拟)已知sin＝，则cos的值为________．
参考答案
1解析：因为cos α＝，且－<α<0，所以sin α＝－＝－，
所以原式＝＝tan α＝＝－2.
答案：－2
2解析：由sin＝，
得cos＝cos＝sin＝.
答案：
考点三　同角三角函数的基本关系和诱导公式的综合应用(思维发散)
复习指导：利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知－π＜x＜0，sin(π＋x)－cos x＝－.求的值．
【解】　(1)选C.由已知得
消去sin β，得tan α＝3，
所以sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，
化简得sin2α＝，则sin α＝(α为锐角)．
(2)由已知，得sin x＋cos x＝，
两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
因为(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，
由－π＜x＜0知，sin x＜0，
又2sin xcos x＝－＜0，
所以cos x＞0，所以sin x－cos x＜0，
故sin x－cos x＝－.
＝
＝
＝＝－.
本例(2)中若将条件“－π＜x＜0”改为“0＜x＜π”，求sin x－cos x的值．
解：若0＜x＜π，又2sin xcos x＝－，
所以sin x＞0，cos x＜0，
所以sin x－cos x＞0，故sin x－cos x＝.
求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求
基本思路 ①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式.
化简要求 ①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.
|跟踪训练|
1．(2022·潍坊调研)已知3sin＝－5cos，则tan＝(　　)
A．－ B.－ C. D.
2．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 023)的值为________．
参考答案
1解析：选A.由3sin＝－5cos，
得sin＝－cos，
所以tan＝＝＝－.
2解析：由题意得f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)
＝asin α＋bcos β＝3，
所以f(2 023)＝asin(2 023π＋α)＋bcos(2 023π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin α－bcos β＝－3.
答案：－3
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