【数学总复习-对点练习】RJA 第四章 第1讲　任意角和弧度制、三角函数的概念

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第四章 第1讲　任意角和弧度制、三角函数的概念
1．与－457°角终边相同的角的集合是(　　)
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
2.
(2022·金太阳百校高三上学期月考)如图所示的复古时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为(　　)
A. B.
C. D.
3．(2022·三门峡阶段检测)角α终边经过点P(2＋，1)，若把α逆时针方向旋转后得到β，则tan β＝(　　)
A．3 B. C.－3 D.－
4．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为(　　)
A．(1，) B.(，1)
C.(，) D.(1，1)
5．(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则下列说法中正确的有(　　)
A．扇形的半径为2
B．扇形的半径为1
C．圆心角的弧度数是1
D．圆心角的弧度数是2
6．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝________．
7．(2022·济南质检)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P(a，b)，且a＋b＝，则ab＝________，cos ＝________．
8．已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________．
9．已知扇形的面积为25，当扇形的圆心角(正角)为多大时，扇形的周长取得最小值？
10．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
11．(多选)(2022·济宁模拟)关于角度，下列说法正确的是(　　)
A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若α是第三象限角，则是第二或第四象限角
12．(2022·河北唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝(　　)
A. B.－
C. D.－
13.
在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan αA. B.
C. D.
14.如图是古希腊数学家希波克拉底用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB为直径构造半圆O，C为弧AB的中点，D为线段AC的中点，再以AC为直径构造半圆D，则由曲线AEC和曲线AFC所围成的图形为月牙形．若AB＝4，则该月牙形图形的面积为(　　)
A．4 B.2 C.π D.2
15．(多选)(2022·潍坊质检)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是(　　)
A．sin α＋cos α B.sin α－cos α
C．sin αcos α D.
16．(2022·海南模拟)在一块顶角为120°，腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，则哪个方案最优？
参考答案
1解析：选C.263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写作α＝k·360°＋263°，k∈Z.
2解析：选B.时钟有12个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为＝；
当时针指向10，分针指向2时，时针与分针夹角为4×＝；
但当分针指向2时，时针由10向11移动了×＝；
所以该时刻的时针与分针所夹钝角为－＝.
3解析：选B.角α终边经过点P(2＋，1)，则tan α＝＝2－，
把α逆时针方向旋转后得到β，所以β＝α＋，
所以tan β＝tan＝＝＝.
4解析：选D.设点P的坐标为(x，y)，
则由三角函数的定义得
即
故点P的坐标为(1，1)．
5解析：选ABC.设扇形的半径为r，圆心角弧度数为α，
则由题意得解得或
可得圆心角的弧度数是4或1，扇形的半径是1或2.
6解析：因为cos α＝＝x，所以x＝0或x＝或x＝－，又α是第二象限角，所以x＝－.
答案：－
7解析：由题知sin α＝b，cos α＝a.因为a＋b＝，所以sin α＋cos α＝.两边平方可得1＋2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝ab＝，所以cos ＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－.
答案：　－
8解析：因为θ＝，故P，故α为第四象限角且cos α＝，所以α＝2kπ＋，k∈Z，所以与角α终边相同的最小正角为.
答案：
9解：设扇形的半径为r，弧长为l，周长为y，则y＝l＋2r.
由题意知lr＝25，则l＝，
所以y＝＋2r≥2 ＝20，当且仅当＝2r，即r＝5时，
y取得最小值，最小值为20，此时l＝10，圆心角α＝＝2.
即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值．
10解：(1)由＝－，得sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以角α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以＋m2＝1，解得m＝±.
又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－，
所以sin α＝＝＝＝－.
11解析：选BD.对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误；
对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；
对于C，若三角形的内角为90°，则是终边在y轴正半轴上的角，故错误；
对于D，因为角α的终边在第三象限，
所以2kπ＋π<α<2kπ＋π，k∈Z，
所以kπ＋<当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋<<2nπ＋，n∈Z，得是第二象限角；
当k＝2n＋1，n∈Z时，(2n＋1)π＋<<(2n＋1)π＋，n∈Z，得是第四角限角，故正确．
12解析：选A.由三角函数的定义得tan α＝，即＝，得3cos α＝2sin2α＝2(1－cos2α)，解得cos α＝或cos α＝－2(舍去)．故选A.
13解析：选C.设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得14解析：选D.
记月牙形图形的面积为S1，曲线AFC与弦AC围成的弓形面积为S2，连接OC.
因为AC＝＝2，
所以S1＝π×()2－S2＝π×2－＝S△AOC＝2.
15解析：选CD.由已知得r＝|OP|＝，则sin α＝>0，cos α＝－<0，tan α＝－m<0，所以sin α＋cos α的符号不确定，sin α－cos α>0，sin αcos α<0，＝cos α<0.故选CD.
16解：因为△AOB是顶角为120°，即顶角为π，腰长为2的等腰三角形，
所以A＝B＝，AM＝BN＝1，AD＝2，
所以方案一中扇形的弧长为2×＝，
方案二中扇形的弧长为1×＝；
方案一中扇形的面积为×2×2×＝，方案二中扇形的面积为×1×1×＝.
由此可见，两种方案中利用废料面积相等，方案一切割时间短．因此方案一最优．
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