【数学总复习-考点精讲】RJA 第四章 第1讲　任意角和弧度制、三角函数的概念

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第1讲　任意角和弧度制、三角函数的概念
考向预测 核心素养
本部分内容高考较少直接考查，多与三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质结合考查，低档难度. 数学抽象、直观想象
一、知识梳理
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
分类：按旋转方向，角可以分成三类：正角、负角和零角．
(2)象限角
在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
(3)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
2．弧度制的相关概念
(1)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
(2)弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
如图，在单位圆O中，的长等于1，∠AOB就是1弧度的角．
(3)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad，1°＝ rad，1 rad＝°．
(4)扇形的弧长公式：l＝α·r，扇形的面积公式：S＝lr＝α·r2.其中r是半径，α(0＜α＜2π)为弧所对圆心角．
3．三角函数的概念
三角函数 正弦 余弦 正切
定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α
常用结论
1．一个口诀
三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．象限角
3．轴线角
4．三角函数定义的推广
设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.
二、教材衍化
1．(人A必修第一册P173例4(1))67°30′化为弧度是(　　)
A. B.
C. D.
2．(人A必修第一册P176习题5.1T7(2))已知α是第一象限角，那么是(　　)
A．第一象限角 B.第二象限角
C．第一或第二象限角 D.第一或第三象限角
3．(人A必修第一册P180练习T3改编)已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________．
参考答案
1解析：选A.67°30′＝67.5×＝π.
2解析：选D.由α是第一象限角得2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z，kπ＜＜kπ＋，k∈Z，故是第一或第三象限角．
3解析：因为x＝2，y＝－3，所以点P到原点的距离r＝＝.于是sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，tan α＝＝－.
答案：－　　－
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　　)
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　)
(3)不相等的角终边一定不相同．(　　)
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.(　　)
二、易错纠偏
1．(终边相同角的表示不准致误)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋(k∈Z)
2．(任意角的定义不清致误)设集合M＝，N＝，则(　　)
A．M＝N B.M N
C．N M D.M∩N＝
3．(三角函数符号理解不准确致误)函数y＝的定义域为________________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
二、易错纠偏
1解析：选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z)．
2解析：选B.由于M中，x＝(2k＋1)·45°，k∈Z，2k＋1是奇数；而N中，x＝(k＋1)·45°，k∈Z，k＋1是整数，因此必有M N，故选B.
3解析：要使函数有意义，需或
其中k∈Z，
故x∈∪，k∈Z.
即函数y＝的定义域为∪，k∈Z.
答案：∪，k∈Z
考点一　任意角(自主练透)
复习指导：了解任意角的概念，掌握象限角和终边相同的角．
1．(多选)下列四个命题中正确的是(　　)
A．－是第二象限角　 B.是第三象限角
C．－400°是第四象限角 D.－315°是第一象限角
2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
3．在[－720°，0°]范围内所有与45°终边相同的角为________．
4．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．
参考答案
1解析：选BCD.－是第三象限角，故A错误；
＝π＋，所以是第三象限角，故B正确；
－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故C正确；
－315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故D正确，故选BCD.
2解析：选C.当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C.
3解析：所有与45°终边相同的角可表示为
β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令－720°≤45°＋k×360°≤0°(k∈Z)，
得－765°≤k×360°≤－45°(k∈Z)，
解得－≤k≤－(k∈Z)，从而k＝－2和k＝－1，
代入得β＝－675°和β＝－315°.
答案：－675°和－315°
4解析：如图，
在平面直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个，即，；
在[－2π，0)内满足条件的角有两个，即－，－，故满足条件的角α构成的集合为.
答案：
(1)表示区间角的三个步骤
①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
②再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；
③最后令起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角的集合．
(2)象限角的两种判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
[提醒]　注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．
考点二　弧度制及其应用(思维发散)
复习指导：理解弧度制的概念，掌握弧长公式和扇形面积公式.
一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.已知α＝，R＝10 cm，求扇形的面积．
【解】　由已知得α＝，R＝10 cm，
所以S扇形＝α·R2＝××102＝(cm2)．
1．若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．
解：l＝α·R＝×10＝(cm)，
S弓形＝S扇形－S三角形
＝·l·R－·R2·sin
＝××10－×102×
＝(cm2)．
2．若本例已知条件改为：“扇形周长为20 cm”，则当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解：由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(0＜R＜10)．
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm时，S取得最大值，最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.
弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长公式l＝αr，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．
(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．
[提醒]　运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度．
|跟踪训练|
1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为(　　)
A．120　　 B.240　　
C.360　　 D.480
2．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．4 B.2
C.8 D.1
3．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，求扇形的弧长与圆周长的比．
参考答案
1解析：选A.因为圆的直径为16步，所以圆的半径为8步，又因为弧长为30步，所以扇形田的面积S＝×8×30＝120(平方步)．
2解析：选A.设扇形的弧长为l，则l·2＝8，
即l＝8，所以扇形的圆心角的弧度数为＝4.
3解：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，则＝，所以α＝.所以扇形的弧长与圆周长的比为＝＝.
考点三　三角函数的定义及其应用(多维探究)
复习指导：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的概念．
角度1　三角函数的定义
(1)(链接常用结论4)(2022·江西省高三监测)已知角α的终边过点P(1，2)，则＝(　　)
A．0 B.1
C.－1 D.－2
(2)(2022·长沙市雨花区模拟)已知角α的终边经过点P(3，t)，且sin(2kπ＋α)＝－(k∈Z)，则t＝(　　)
A．－ B.－
C.－ D.
【解析】　(1)因为tan α＝2，所以＝＝1.故选B.
(2)因为角α的终边经过点P(3，t)，所以r＝，所以sin α＝ .又sin(2kπ＋α)＝－＝sin α，所以＝－，所以t＝－(正值已舍去)．
【答案】　(1)B　(2)B
角度2　三角函数值的符号
(1)(链接常用结论1)若sin αcos α＞0，cos αtan α＜0，则α的终边落在(　　)
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D.第四象限
(2)若θ为第二象限角，则下列结论一定成立的是(　　)
A．sin ＞0 B.cos ＞0
C．tan ＞0 D.sin cos ＜0
【解析】　(1)由sin αcos α＞0，得α的终边落在第一或第三象限，由cos αtan α＝cos α·＝sin α＜0，得α的终边落在第三或第四象限，综上所述，α的终边落在第三象限．
(2)因为θ为第二象限角，所以＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z.则＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z，
所以为第一或第三象限角，则tan ＞0.
【答案】　(1)C　(2)C
三角函数的定义及应用的注意点
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
|跟踪训练|
1．(2022·福建省泉州市联考)已知角α的终边经过点P(m，－6)，且cos α＝－，则m＝(　　)
A．8 B.－8
C.4 D.－4
2．点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
3．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋＝________．
参考答案
1解析：选B.由题意得r＝＝，
故cos α＝＝－，解得m＝－8或m＝8(舍去)．
2解析：选A.由三角函数的定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.又＝1.所以Q点的坐标为.
3解析：由题意得角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，＋＝＋＝0；当角α的终边位于第四象限时，＋＝＋＝0.所以＋＝0.
答案：0
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