【数学总复习-考点精讲】RJA 第四章 第6讲　解三角形

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第6讲　解三角形
考向预测 核心素养
以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，中档难度. 逻辑推理、直观想象
一、知识梳理
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(4)＝ cos A＝；cos B＝；cos C＝
2.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)．
(2)S＝absin C＝acsin_B＝bcsin_A．
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
3．三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
[注意]　上表中A为锐角时，aA为钝角或直角时，a＝b，a4．测量中的有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向转到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ＜360°
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：
坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
常用结论
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sinC.
(2)cos(A＋B)＝－cosC.
(3)sin＝cos .
(4)cos＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acos B.
二、教材衍化
1．(人A必修第二册P44练习T2改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　)
A. B. C. D.
2．(人A必修第二册P47例8改编)在△ABC中，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝________．
3．(人A必修第二册P49例9改编)
如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________km.
参考答案
1解析：选C.因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝，故选C.
2解析：由正弦定理得
sin C＝＝＝，
因为c>b，B＝30°，
所以C＝45°或C＝135°.
答案：45°或135°
3解析：在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝2×1×＝(km)．
答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)
(2)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(　　)
(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)
(4)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)
二、易错纠偏
1．(应用正弦定理求角出现增根致错)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________．
2．(实际问题不会建模致错)
如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84 m，则塔高CD＝________m.
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、易错纠偏
1解析：由题意得＝，即sin B＝＝＝，结合b＜c可得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°.
答案：75°
2解析：设塔高CD＝x m，则AD＝x m，DB＝x m.
由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，
在△ABD中，利用余弦定理得842＝x2＋(x)2－2·x2cos 150°，
解得x＝12(负值舍去)，故塔高为12 m.
答案：12
考点一　利用正、余弦定理解三角形(综合研析)
复习指导：掌握正弦定理、余弦定理，能求解简单的三角形问题．
(2020·新高考卷Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解】　方案一：选条件①.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，
由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，
由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.
由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
方案三：选条件③.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，
由此可得b＝c.
由③c＝b与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
(1)正、余弦定理的选用
①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；
②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
(2)正弦定理、余弦定理的作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
|跟踪训练|
1．(2022·河南南阳四校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R＝(　　)
A. B.
C. D.
2．(2022·洛阳高二期中)在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，已知c(cos A＋1)＝acos C，且a，b，c成公差为－1的等差数列，则△ABC的最小角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
参考答案
1解析：选D.因为b＝8，c＝3，A＝60°，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝64＋9－2×8×3×＝49，所以a＝7，所以此三角形外接圆的直径2R＝＝＝，所以R＝.
2解析：选D.因为c(cos A＋1)＝acos C，
所以sin C(cos A＋1)＝sin Acos C，可得
sin C＝sin Acos C－cos Asin C＝sin(A－C)，
所以C＝A－C或C＋(A－C)＝π，
所以2C＝A或A＝π(舍去)，
又a，b，c成公差为－1的等差数列，
则可设a＝n＋1，b＝n，c＝n－1，
c为最小的边，C为最小的角，
cos C＝＝＝，
又2C＝A，则sin 2C＝sin A，
所以2sin Ccos C＝sin A，所以2ccos C＝a，
所以cos C＝＝，则有＝，
解得n＝5，所以cos C＝＝.
考点二　正弦定理、余弦定理的应用(多维探究)
复习指导：能利用正、余弦定理解决三角形的形状判断、面积求解等问题．
角度1　判断三角形的形状
(多选)(链接常用结论2，3)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　)
A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若＝＝，则△ABC是等边三角形
【解析】　因为tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C>0，
所以A，B，C均为锐角，所以选项A正确；
由acos A＝bcos B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，
所以A＝B或A＋B＝，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以选项B错；
由bcos C＋ccos B＝b及正弦定理，
可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
所以sin(B＋C)＝sin A＝sin B，
所以A＝B，所以选项C正确；
由已知及正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，
所以选项D正确．
【答案】　ACD
角度2　三角形面积的计算
在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3.
(1)求sin B的值；
(2)若点D在边BC上，AD＝BD，求△ABD的面积．
【解】　(1)在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝36＋18＋36×＝90，所以BC＝3.
由正弦定理得，sin B＝＝＝.
(2)因为B为锐角，所以cos B＝＝.
在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B.
又因为AD＝BD，
所以BD＝＝＝，
所以S△ABD＝AB·BDsin B＝×6××＝3.
正弦定理、余弦定理的应用
(1)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
(2)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化．
|跟踪训练|
1．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
2．(2022·玉溪市教学质量检测)在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是线段AC上的点，∠DBC＝60°，若△ABC的面积为，则BD取到最大值时，AC的长度为(　　)
A．2 B.2
C. D.
参考答案
1解析：选B.因为cos2＝＝，
所以(1＋cos B)·c＝a＋c，所以a＝cos B·c＝
，
所以2a2＝a2＋c2－b2，所以a2＋b2＝c2，
所以△ABC为直角三角形．
2解析：选A.因为S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
所以·AB·BD·sin 30°＋·BD·BC·sin 60°＝，即BD＝，
因为·AB·BC＝ AB·BC＝2，
所以BD＝≤＝＝，
当且仅当AB＝BC时等号成立，此时AB＝，BC＝，AC＝2.
考点三　解三角形应用举例(多维探究)
复习指导：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
角度1　距离、高度问题
(1)(2022·天津市第四十一中学高三月考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)
A．240(－1) m B.180(－1) m
C．120(－1) m D.30(－1) m
(2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
【解析】　(1)由题意得∠ABC＝105°，∠ACB＝30°，∠CAB＝45°，
所以AC＝2×60＝120 m，
由正弦定理可得＝，AB＝，
所以BC＝＝＝120(－1)m.
(2)由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，
故由正弦定理得＝，
解得BC＝300 m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m)．
【答案】　(1)C　(2)100
角度2　角度问题
一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为12海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，则此时灯塔C位于游轮的(　　)
A．正西方向 B.南偏西75°方向
C．南偏西60°方向 D.南偏西45°方向
【解析】　如图，
在△ABD中，B＝45°，由正弦定理有＝，AD＝＝24.
在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD×cos 30°，因为AC＝12，AD＝24，所以CD＝12，由正弦定理得＝，sin∠CDA＝，故∠CDA＝60°或者∠CDA＝120°.
因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°.故选C
【答案】　C
解三角形应用问题的要点
(1)从实际问题中抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素．
(2)利用正弦定理、余弦定理解三角形，得到实际问题的解．
|跟踪训练|
1.
如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向上，则灯塔A相对于灯塔B的方向为(　　)
A．北偏西5° B.北偏西10°
C．北偏西15° D.北偏西20°
2．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部所连的线成30°角，则两条船相距________m.
参考答案
1解析：选B.易知∠B＝∠A＝30°，C在B的北偏西40°的方向上，又40°－30°＝10°，故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10°.
2解析：
由题意画示意图，如图，
OM＝AO tan 45°＝30(m)，
ON＝AO tan 30°＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝
＝＝10(m)．
答案：10
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