【数学总复习-考点精讲】RJA 第四章 第6讲　综合提高 三角函数中的结构不良试题

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三角函数中的结构不良试题
“结构不良试题”是新高考试题中的新型试题．所谓“结构不良试题”不是指试题本身有什么问题和缺陷，而是试题没有明确的条件，解决途径和结论不唯一．这些试题读起来很别扭，理解起来很困难，做起来不顺畅，我们把这种题型称为结构不良试题．
类型一　补充结论型
(多选)(2022·山东青岛二模)声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y＝Asin ωt，我们听到的声音几乎都是由纯音合成的，称之为复合音．若某复合音的数学模型是函数f(x)＝|cos x|＋|sin x|，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是周期函数
C．f(x)在区间上单调递增
D．f(x)的最大值为2
【解析】　函数f(x)的定义域为R.
因为f(－x)＝|cos(－x)|＋|sin(－x)|＝|cos x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A正确．
因为f(x＋π)＝|cos(x＋π)|＋|sin(x＋π)|＝|－cos x|＋|－sin x|＝|cos x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)是以π为周期的周期函数，故B正确．
当x∈时，函数f(x)可化为f(x)＝cos x＋sin x＝2sin，易知f(x)在上单调递增，在上单调递减，故C错误．
由于函数f(x)是周期函数，故要知道f(x)的最大值，只需研究f(x)在一个周期内的最大值即可．
不妨取x∈[0，π]，当x∈时，函数f(x)可化为f(x)＝2sin，
由x∈，得x＋∈，
所以当x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当x∈时，f(x)＝－cos x＋sin x＝2sin，
由x∈，得x－∈，
所以当x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值2.
综上，当x∈[0，π]时，f(x)的最大值为2，故D正确．
【答案】　ABD
类型二　问题条件缺失——多选一型
(2022·北京市海淀区高三月考)已知函数f(x)＝2cos2(ω1x－π)＋cos，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件．
(1)求f(0)；
(2)若存在x∈，使得f(x)－a≤0，求a的最小值．
条件①：ω1＝1，ω2＝1；条件②：ω1＝1，ω2＝2.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解】　(1)f(0)＝2cos2(－π)＋cos ＝2＋0＝2.
(2)选择条件①.
f(x)＝2cos2(x－π)＋cos＝2cos2x－sin x＝－2sin2x－sin x＋2.
因为x∈，令sin x＝t，
所以t∈，f(x)＝－2t2－t＋2＝－2＋.
所以当t＝1，即x＝时，f(x)取得最小值f＝－1.
所以原命题等价于－1－a≤0，即a≥－1.
所以a的最小值为－1.
选择条件②.
f(x)＝2cos2(x－π)＋cos＝2cos2x－sin 2x＝cos 2x－sin 2x＋1＝sin＋1.
因为x∈，所以2x＋∈.
所以当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值f＝1－.
所以原命题等价于1－－a≤0，即a≥1－.
所以a的最小值为1－.
类型三　问题条件冗余——组合选择型
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin Acos＝.
(1)求角A的大小；
(2)现给出三个条件：①a＝2；②B＝；③c＝b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择________，并以此为依据求△ABC的面积．(注：只需写出一个选定方案即可)
【解】　(1)sin Acos＝经化简得sin＝1，
由于0＜A＜π，＜2A＋＜，所以2A＋＝，解得A＝.
(2)若选②③，三个已知条件是A＝，B＝，c＝b，没有一个是具体的边长，无法确定△ABC.
若选①②，三个已知条件是A＝，B＝，a＝2，
由正弦定理得＝ b＝2，
sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝，
所以S△ABC＝absin C＝×2×2×＝＋1.
若选①③，三个已知条件是A＝，c＝b，a＝2，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即4＝b2＋3b2－2b×b×，解得b＝2，c＝2，
S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝.
该类试题在考试中通常是以选择条件，补充结论型试题出现，可能缺少解决问题的必要条件或者某个条件存在变数，其结论也是多样化的，甚至在某些特定条件下问题是无解的．结构不良试题具有很好的开放性，可以考查学生的数学理解能力、数学探究能力、建模能力，培养良好的心理素质．
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