【数学总复习-考点精讲】RJA 第四章 第5讲　综合提高 三角函数中ω值的求法

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三角函数中ω值的求法
类型一　利用三角函数的周期T求解
(2022·河南省联考)已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是(　　)
A. B. C. D.8
【解析】　由题可知，是该函数的周期的整数倍，即＝×k，k∈Z，
解得ω＝，k∈Z，又ω＞0，故其最小值为.
【答案】　B
解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与平移量的关系，从而建立关系式求出ω.
类型二　利用三角函数的单调性求解
若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是________．
【解析】　令＋2kπ≤ωx≤π＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋(k∈Z)，因为f(x)在上单调递减，
所以(k∈Z)解得6k＋≤ω≤4k＋3(k∈Z)．又ω>0，所以k≥0，又6k＋≤4k＋3，得0≤k≤，又k∈Z，所以k＝0.即≤ω≤3.
【答案】　
根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，建立不等式，即可求得ω的取值范围．
类型三　利用三角函数的对称性求解
(1)已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴为x＝，一个对称中心为点，则ω有(　　)
A．最小值2 B.最大值2
C．最小值1 D.最大值1
(2)若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为________．
(3)(2022·金太阳百校联考)将函数f(x)＝sin(3＜ω＜6)的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则ω＝________．　
【解析】　(1)因为函数的对称中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以中心到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－＝＋(k∈N，T为周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝，所以(2k＋1)·＝π，则ω＝2(2k＋1)，当k＝0时，ω＝2最小．故选A.
(2)依题意得cos＝0，则＋＝＋kπ(k∈Z) ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ω的最小值为2.
(3)由题意可知g(x)＝sin，
因为g(x)为偶函数，所以ω＋＝＋kπ(k∈Z)，则ω＝3k＋1(k∈Z)，
因为3＜ω＜6，所以ω＝4.
【答案】　(1)A　(2)2　(3)4
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值．值得一提的是，三角函数的对称轴必经过其图象上的最高点(极大值)或最低点(极小值)，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称中心就是其图象与x轴的交点，这就说明，我们也可利用三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值．
类型四　利用三角函数的最值求解
已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
【解析】　显然ω≠0.
若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.
若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2.所以ω≤－，解得ω≤－2.
综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪.
【答案】　(－∞，－2]∪
利用三角函数的最值与对称和周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．
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