【数学总复习-对点练习】RJA 第四章 第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

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第四章 第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)
2．把函数y＝sin的图象先向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数解析式为(　　)
A．y＝sin　　 B.y＝sin
C．y＝sin D.y＝sin
3．(2022·山东省联考)已知函数f(x)＝sin，将其图象向右平移φ(φ＞0)个单位后得函数g(x)图象，若g(x)为奇函数，则φ的值可以为(　　)
A. B.
C. D.
4．(2022·百师联盟数学卷)如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断错误的是(　　)
A．该弹簧振子的振幅为2 cm
B．该弹簧振子的振动周期为1.6 s
C．该弹簧振子在0.2 s和1.0 s时振动速度最大
D．该弹簧振子在0.6 s和1.4 s时的位移为零
5.
(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　)
A．sin
B．sin
C．cos
D．cos
6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2，则f(x)＝________．
7．函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________．
8.
已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________，函数f(x)的单调递增区间为________________．
9.
某地夏天一天的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，部分图象如图所示．
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出该函数的解析式．
10．(2022·黄岗中学模拟)已知函数f(x)＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx(ω＞0)，且f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈时，函数g(x)的最大值．
11．(多选)(2022·沈阳市郊联体月考)函数f(x)＝sin 2x的最小正周期为T，将f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)，则g(x)具有的性质是(　　)
A．最小正周期为π，图象关于点对称
B．最大值是1，图象关于直线x＝对称
C．在上单调递减，为偶函数
D．在上单调递减，为奇函数
12．(多选)(2022·苏州中学月考)已知g(x)＝4cos xcos，则下列说法中正确的是(　　)
A．函数g(x)的最小正周期为π
B．函数g(x)在上单调递增
C．函数g(x)的图象可以由函数y＝2cos＋1图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得到
D.是函数g(x)图象的一个对称中心
13．(多选)(2022·唐山高三摸底)声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的．已知纯音的数学模型是函数y＝Asin ωt.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sin x＋sin 2x，则(　　)
A．f(x)的最大值为
B．2π为f(x)的最小正周期
C．x＝为y＝f(x)曲线的对称轴
D．(π，0)为曲线y＝f(x)的对称中心
14．(2022·全国百所名校大联考)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)在区间[0，π]上最多有4个零点，则ω的取值范围为________．
15．(2022·广州市高三调研)
如图，在海岸线TO一侧有一休闲游乐场，游乐场的其中一部分边界为曲线段TDBS，该曲线段是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，x∈[－4，0]的图象，图象的最高点为B(－1，2)，曲线段TDBS上的入口D到海岸线TO的距离为千米，现准备从入口D修一条笔直的景观路到O，则景观路DO的长为________千米．
16．已知函数f(x)＝sin(ω＞0，0＜φ＜π)的周期为π，图象的一个对称中心为，若先把函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象．
(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；
(2)设函数φ(x)＝ag(x)－2cos2x＋1(a∈R)，试判断φ(x)在(0，2π)内的零点个数．
参考答案
1解析：选A.令x＝0得y＝sin＝－，排除B，D项，由f＝0，f＝0，排除C项，故选A.
2解析：选D.将原函数图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y＝sin的图象．
3解析：选A.由题意得g(x)＝f(x－φ)＝sin，
因为g(x)为奇函数，所以－2φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝－(k∈Z)；
当k＝0时，φ＝.
4解析：选C.由图象及简谐运动的有关知识得，该弹簧振子的振幅为2 cm，振动周期为2×(1.0－0.2)＝1.6 s，
当t＝0.2 s或1.0 s时，振动速度为零，该弹簧振子在0.6 s和1.4 s时的位移为零．
所以ABD选项正确，C选项错误．
5解析：选BC.由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，所以＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，将点代入得，sin＝0，所以2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin.由于y＝sin＝sin[π－(2x＋)]＝sin，故选项B正确；y＝sin(－2x)＝cos ＝cos，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin(－2x＋φ)，将代入，得sin(－2×＋φ)＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，所以y＝sin，但当x＝0时，y＝sin(－2x＋)＝－＜0，与图象不符合，舍去．综上，选BC.
6解析：因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x＝时，f(x)取得最大值2.
所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，因为－<φ<，
所以φ＝，所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
答案：2sin
7解析：把函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，得到y＝cos(2x－π＋φ)的图象，
与函数y＝sin的图象重合，则cos (2x－π＋φ)＝sin，
即sin＝sin，
所以－＋φ＝－，则φ＝.
答案：
8解析：由图象知＝－＝，
则周期T＝π，即＝π，
则ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)．
由2×＋φ＝kπ，k∈Z，
又|φ|＜，所以φ＝，
则f(x)＝2sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，
即函数的单调递增区间为(k∈Z)．
答案：2　(k∈Z)
9解：(1)由题图可知，这一天的最大用电量为50万千瓦时，最小用电量为30万千瓦时．
(2)由题图可知，8时到14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
所以×＝14－8，所以ω＝.
易得A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40，
所以y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.
故所求函数解析式为y＝10sin＋40，x∈[0，24]．
10解：(1)由题意知f(x)＝sin 2ωx＋1＋cos 2ωx
＝2sin＋1，
因为周期T＝π，＝π，所以ω＝1，
所以f(x)＝2sin＋1，
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)因为g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1，当x∈时，－≤2x－≤，
所以当2x－＝，即x＝时，g(x)max＝2×1＋1＝3.
11解析：选BC.由题意得T＝＝π，
所以g(x)＝sin 2＝sin＝cos 2x，
对于A：g(x)的最小正周期为＝π，
当x＝时，g＝cos π＝－1≠0，所以图象不关于点对称，故A错误；
对于B：g(x)的最大值为1，
当x＝时，g＝cos π＝－1，所以图象关于直线x＝对称，故B正确；
对于C：令2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，
当k＝0时，一个单调递减区间为，
因为 ，所以g(x)在上单调递减，且g(x)＝cos 2x为偶函数，故C正确，D错误．
故选BC.
12解析：选AD.化简可得g(x)＝1＋2cos.
A：由周期公式可知T＝π，故A正确；
B：令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
当k＝0时，可得函数的单调递减区间，故B错误；
C：函数y＝2cos＋1图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，
可得y＝2cos＋1，故C错误；
D：令x＝可得，g＝1＋2cos＝1＋2cos ＝1，故是函数g(x)图象的一个对称中心，故D正确．故选AD.
13解析：选BD.对于A：若f(x)的最大值为，则y＝sin x与y＝sin 2x同时取得最大值，
当y＝sin x取得最大值1时，cos x＝0，可得y＝sin 2x＝sin xcos x＝0取不到，
若y＝sin 2x取得最大值时，sin 2x＝1，此时x＝＋kπ(k∈Z)，
而y＝sin x＝sin＝±取不到1，所以y＝sin x与y＝sin 2x不可能同时取得最大值，故选项A不正确；
对于B：因为y＝sin x的最小正周期是2π，y＝sin 2x的最小正周期是＝π，
且f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋sin 2(x＋2π)＝sin x＋sin 2x＝f(x)，
f(x＋π)＝sin(x＋π)＋sin 2(x＋π)＝－sin x＋sin 2x≠f(x)，
所以2π为f(x)的最小正周期，故选项B正确；
对于C：f＝sin＋sin 2＝cos x－sin 2x，
f＝sin＋sin 2＝cos x＋sin 2x，
所以f＝f不恒成立，即x＝不是曲线y＝f(x)的对称轴，故选项C不正确；
对于D：f(2π－x)＝sin(2π－x)＋sin 2(2π－x)＝－sin x－sin 2x，
所以f(x)＋f(2π－x)＝0对于任意的x恒成立，所以(π，0)为曲线y＝f(x)的对称中心，故选项D正确．
14解析：f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，ω＞0，
当0≤x≤π时，－≤ωx－≤ωπ－，
y＝sin x的零点为0，π，2π，3π，4π，5π，…，
由于函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)在区间[0，π]上最多有4个零点，
所以 0＜ω＜.
答案：
15解析：由函数图象可知A＝2，又因为＝－1－(－4)＝3，所以T＝＝12，所以ω＝.
又因为当x＝－1时，有y＝2sin＝2，所以－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，因为0＜φ＜π，所以φ＝.
所以曲线段TDBS的解析式为y＝2sin，x∈[－4，0]．
因为D到海岸线TO的距离为千米，设D(xD，yD)，显然－4＜xD＜－1，yD＝，所以2sin＝，即sin＝，所以x＋＝＋2kπ，k∈Z或x＋＝＋2kπ，k∈Z，解得x＝－2＋12k，k∈Z或x＝12k，k∈Z，所以xD＝－2，即D(－2，)，所以DO＝＝.
答案：
16解：(1)因为f(x)的周期为π，所以ω＝2，
f(x)＝sin(2x＋φ)，又f(x)的图象的一个对称中心为，
所以＋φ＝kπ(k∈Z)，又0＜φ＜π，所以φ＝，
所以f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝cos x.
(2)由(1)可知，φ(x)＝acos x－2cos2x＋1，
设cos x＝t，因为x∈(0，2π)，所以t∈[－1，1)，
则φ(x)＝h(t)＝－2t2＋at＋1，t∈[－1，1)，则h(0)＝1＞0.
①当h(1)h(－1)＜0，即a＜－1或a＞1时，h(t)在[－1，1)内有唯一零点，
这时函数φ(x)在(0，2π)内有两个零点．
②当h(1)h(－1)＞0，即－1＜a＜1时，h(t)在[－1，1)内有两个不等零点，
这时函数φ(x)在(0，2π)内有四个零点．
③当h(－1)＝0，即a＝－1时，h(t)＝－2t2－t＋1，由h(t)＝0，得t＝或t＝－1，
这时函数φ(x)在(0，2π)内有三个零点．
④当h(1)＝0，即a＝1时，h(t)＝－2t2＋t＋1，由h(t)＝0，得t＝－或t＝1(舍去)，
这时函数φ(x)在(0，2π)内有两个零点．
综上可得，当a＜－1或a≥1时，φ(x)在(0，2π)内有两个零点；
当a＝－1时，φ(x)在(0，2π)内有三个零点；
当－1＜a＜1时，φ(x)在(0，2π)内有四个零点．
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