【数学总复习-考点精讲】RJA 第四章 第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

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第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考向预测 核心素养
本讲是高考热点之一，主要考查：①作函数图象，包括五点法作图及图形变换作图；②由图象确定解析式；③三角函数图象变换；④图象的轴对称、中心对称；⑤三角函数的实际应用．中、低档难度. 直观想象、数学建模
一、知识梳理
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
x － － －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径
3．简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
常用结论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标．
二、教材衍化
1．(人A必修第一册P239练习T2改编)为了得到函数y＝3sin的图象，只需把函数y＝3sin的图象上所有的点(　　)
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
2．(人A必修第一册P241习题5.6T5改编)将函数f(x)＝3sin的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________．
参考答案
1答案：B
2解析：g(x)＝f＝3sin＝3sin.
答案：3sin
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　　)
(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(　　)
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋(k∈Z)．(　　)
二、易错纠偏
1．(图象平移与φ的关系不清致误)要得到y＝cos的图象，只需将y＝sin x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
2．(图象变换实质理解不清致误)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝________．
3．(图象特征辨识易误)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，0＜φ＜π，则这段曲线的函数解析式为____________________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
二、易错纠偏
1解析：选C.y＝cos＝sin＝sin ，故要得到y＝cos的图象，只需将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度．
2解析：把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，再把函数y＝sin图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，所以f＝sin＝sin ＝.
答案：
3解析：从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，
所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，
又×＝14－6，所以ω＝.
又×10＋φ＝kπ，k∈Z，0＜φ＜π，
所以φ＝，
所以y＝10sin＋20，x∈[6，14]．
答案：y＝10sin＋20，x∈[6，14]
考点一　五点法作图及图象变换(思维发散)
复习指导：能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象．
已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
【解】　(1)f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a
＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a
＝2sin＋1＋a的最大值为2，
所以a＝－1，最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，列表：
x 0 π
2x＋ π 2π
f(x)＝2sin 1 2 0 －2 0 1
画图如下：
1．(链接常用结论2)在本例条件下，函数y＝2cos 2x的图象向右平移________个单位长度得到y＝f(x)的图象．
2．在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．
参考答案
1解析：将函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝2sin 2x的图象，再将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin的图象，综上可得，函数y＝2sin的图象可以由函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到．
答案：
2解：由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin[2(x－m)＋]＝2sin是偶函数，所以2m－＝(2k＋1)，k∈Z，m＝＋，k∈Z，
又因为m>0，所以m的最小值为.
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)
的图象的两种作法
五点法 设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点连线后得出图象
图象变换法 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
[注意]　平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是ωx加减多少值．
|跟踪训练|
1．(2022·金华一中段考)将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)
A．y＝sin B.y＝sin
C．y＝sin D.y＝sin
2．(2022·湖南模拟改编)已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则所得函数的最小正周期为________，g的值为________．
参考答案
1解析：选C.将y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y＝sin的图象．
2解析：由题知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，
可得y＝2sin＝2sin 2x的图象，
再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)＝2sin 2x＋1的图象，
则T＝＝π，g＝2sin＋1＝3.
答案：π　3
考点二　求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(自主练透)
复习指导：分析函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象特征，分别确定参数求函数解析式．
1．(2022·蓉城名校第一次联考)
若将函数g(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．g(x)＝sin
B．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin 2x
D．g(x)＝sin
2.
(2022·兰州实战考试)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________．
3.
函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________．
参考答案
1解析：选C.根据题图有A＝1，T＝－＝ T＝π＝ ω＝2(T为f(x)的最小正周期)，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，由f＝sin＝1 φ＝＋2kπ，k∈Z.因为|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin，将f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝f＝sin＝sin 2x.
2解析：由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，则φ＝，所以f(x)＝cos，所以f(1)＝－.
答案：－
3解析：设f(x)的最小正周期为T，
由题中图象可知，
T＝－得T＝π，
则ω＝＝＝2，又图象过点，
则f＝2，即2sin＝2，
则sin＝1.
因为－<φ<，所以<φ＋<，
所以＋φ＝，所以φ＝－.
答案：2　－
(1)确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
①求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝，b＝.
②求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.
③求φ，常用的方法有：
(i)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；
(ii)特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．
(2)通过函数图象求解析式，要注重提取图象中的关键信息，体现了直观想象的核心素养．
考点三　三角函数图象、性质的综合应用(多维探究)
复习指导：会用三角函数解决一些综合问题及简单应用，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
角度1　三角函数性质的综合问题
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m(ω>0，－<φ<0)满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：
①ω＝，②最小正周期T＝π，③图象过点(0，0)，④f＝.
(1)写出所满足的3个条件的序号(不需要说明理由)，并求f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的图象与直线y＝1的相邻两个交点间的最短距离．
【解】　(1)所满足的三个条件是②③④.
因为f(x)的最小正周期T＝π，
所以ω＝2，
所以f(x)＝sin(2x＋φ)＋m，
又f(x)的图象过点(0，0)，且f＝，所以sin φ＋m＝0，sin＋m＝，
所以sin－sin φ＝，
所以cos φ－sin φ－sin φ＝，
所以＝，
所以sin＝，
又－<φ<0，
所以φ＝－，
又sin φ＋m＝0，
所以－＋m＝0，
所以m＝，
所以f(x)＝sin＋.
(2)由f(x)＝sin＋＝1，
得sin＝，
所以2x－＝2kπ＋，k∈Z或2x－＝2kπ＋，k∈Z，
所以x＝kπ＋，k∈Z或x＝kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的图象与直线y＝1的相邻两个交点间的最短距离为－＝.
解决三角函数图象与性质的综合问题的关键
首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念．
角度2　函数零点(方程根)问题
已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．
【解析】　因为2sin2x－sin 2x＋m－1＝0，
所以1－cos 2x－sin 2x＋m－1＝0，
即cos 2x＋sin 2x－m＝0，
所以2sin＝m，即sin＝，
因为x∈，所以2x＋∈，
设2x＋＝t，t∈，则sin t＝在t∈上有两个不同的实数根，
所以y1＝sin t，t∈，y2＝的图象有两个不同的交点，如图：
由图象可知，－1＜＜－，即－2＜m＜－1.
所以m的取值范围是(－2，－1)．
【答案】　(－2，－1)
巧用图象解决三角函数中的零点(方程根)问题
解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决．
角度3　三角函数的实际应用
(多选)(2022·湖北省金太阳百校联考)血压(blood pressure，BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明这位成人有高血压，设从未使用抗高血压药的李华今年40岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t＝0)，他的血压p(t)(mmHg)与经过的时间t(h)满足关系式p(t)＝116＋22sin，则(　　)
A．函数p(t)的最小正周期为6
B．当天早晨7点时李华的血压为138 mmHg
C．当天李华有高血压
D．当天李华的收缩压与舒张压之差为44 mmHg
【解析】　因为ω＝，所以T＝＝12；
当t＝1时，p(t)＝138，所以当天早晨7点时李华的血压为138 mmHg；
因为p(t)的最大值为116＋22＝138，最小值为116－22＝94＞90，所以李华的收缩压为138 mmHg，舒张压为94 mmHg，因此李华有高血压，且他的收缩压与舒张压之差为44 mmHg.故选BCD.
【答案】　BCD
利用三角函数模型解决实际问题的步骤
(1)寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型．
(2)寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答．
解题思路如下：
|跟踪训练|
1.
(多选)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象与y轴交于点，与x轴的一个交点为(1，0)，如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．φ＝
B．f(x)的最小正周期为6
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)在上单调递减
2．若函数f(x)＝sin(ω>0)满足f(0)＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为________．
参考答案
1解析：选ABC.由函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的图象与y轴交于点，
得cos φ＝，又0＜φ＜π，所以φ＝，A正确；
由f(x)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，
即y＝f(1)＝0，所以ω＋＝kπ＋，k∈Z，
又1＜＜2，解得＜ω＜，所以ω＝，
所以f(x)＝cos，求得f(x)的最小正周期为T＝6，B正确；
f＝cos＝－1，
所以x＝是f(x)的一条对称轴，C正确；
令2kπ≤x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
解得6k－≤x≤6k＋，k∈Z，
所以函数f(x)在，k∈Z上单调递减，D错误；
综上知，正确的是ABC.故选ABC.
2解析：因为f(0)＝f，所以x＝是f(x)图象的一条对称轴，所以f＝±1，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝6k＋2，k∈Z，所以T＝(k∈Z)．又f(x)在上有且只有一个零点，所以＜≤－，所以＜T≤，所以＜≤(k∈Z)，所以－≤k＜，又因为k∈Z，所以k＝0，所以T＝π.
答案：π
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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