【数学总复习-对点练习】RJA 第四章 第4讲　第2课时　三角函数的周期性、奇偶性与对称性

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第4讲　第2课时　三角函数的周期性、奇偶性与对称性
1．(2021·高考全国卷乙)函数f(x)＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别是(　　)
A．3π和 B.3π和2
C．6π和 D.6π和2
2．若直线x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴，则ω＝(　　)
A．2 B.
C.1 D.
3．若是函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是(　　)
A．2 B.4
C.6 D.8
4．(2022·陕西省咸阳市联考)已知函数f(x)＝sin是奇函数，则φ的值可以是(　　)
A．0 B.－
C. D.π
5．(多选)已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)的图象关于y轴对称
D．f(x)在区间上单调递增
6．函数y＝sin的对称轴为________，对称中心为________．
7．函数f(x)＝sin(ω>0)在上单调递增，且图象关于直线x＝－π对称，则ω的值为________．
8．(2022·浙南名校高三联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，则ω＝________，φ＝________．
9．已知函数f(x)＝2cos2＋2sin·sin.求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心．
10．已知函数f(x)＝2sin2－cos 2x－1，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；
(3)当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．
11．(多选)(2022·梅州虎山中学第二次段考)下列四个命题中，正确的是(　　)
A．函数y＝3sin的图象可由y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
B．直线x＝是函数y＝sin图象的一条对称轴
C．y＝esin 2x的最小正周期等于π，且在上是增函数(e是自然对数的底数)
D．函数y＝的定义域是
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，直线x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A．11 B.9
C.7 D.5
13．(多选)(2022·广东省普通高中高三质检)设函数f(x)＝2sin ωx·sin(ω＞0)，f(x)在区间上单调递增，则下列说法正确的是(　　)
A．存在ω，使得函数f(x)为奇函数
B．函数f(x)的最大值为
C．ω的取值范围为0＜ω≤4
D．存在4个不同的ω，使得函数f(x)的图象关于直线x＝对称
14．已知函数f(x)＝2sin的图象的一个对称中心为，其中ω为常数，且ω∈(1，3)．若对任意的实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是________．
15．(多选)在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数！函数f(x)＝(i∈N*)的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)为周期函数，且最小正周期为π
B．函数f(x)为奇函数
C．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)的导函数f′(x)的最大值为7
16．(2022·山东泰安模拟)在①函数f为奇函数；②当x＝时，f(x)＝；③是函数f(x)的一个零点．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π，________．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
参考答案
1解析：选C.因为函数f(x)＝sin ＋cos ＝(sin ＋cos )＝(sin cos ＋cos sin )＝sin(＋)，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝6π，最大值为.故选C.
2解析：选A.依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×＝π，解得ω＝2.
3解析：选C.因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，
由题意，知f＝sin＝0，所以＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.
4解析：选B.f(x)＝sin为奇函数，则只需＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z.
显然当k＝0时，φ＝－满足题意．
5解析：选ACD.因为f(x)＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，所以函数f(x)的最小正周期T＝π，f(x)的最大值为1.因为f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．因为y＝cos 2x在上单调递减，所以f(x)＝－cos 2x在上单调递增．故选ACD.
6解析：由x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，
由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.
故函数y＝sin的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z；对称中心为，k∈Z.
答案：x＝＋kπ，k∈Z　，k∈Z
7解析：因为函数f(x)＝sin(ω>0)在上单调递增，所以解得0<ω≤.
又函数f(x)＝sin(ω>0)的图象关于直线x＝－π对称，所以－πω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝－k－(k∈Z)，又0<ω≤，所以ω＝.
答案：
8解析：由题意得φ＝kπ＋，k∈Z，
又0≤φ≤π，所以φ＝，
所以f(x)＝cos ωx，
由对称中心得＝kπ＋，k∈Z，
得ω＝4k＋2，k∈Z，
又f(x)在上是单调函数，
可得≤π，所以ω≤2，
所以ω＝2.
答案：2　
9解：因为f(x)＝2cos2＋2sin·sin
＝cos＋1＋2sinsin
＝cos＋2sincos＋1
＝cos 2x＋sin 2x＋sin＋1
＝sin 2x－cos 2x＋1
＝sin＋1，
所以f(x)的最小正周期为＝π，图象的对称中心为，k∈Z.
10解：(1)因为f(x)＝－cos－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x
＝2sin(2x－)．
故f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知h(x)＝2sin.
令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，
得t＝＋(k∈Z)，
又t∈(0，π)，故t＝或.
(3)当x∈时，2x－∈，
所以f(x)∈[1，2]．
又|f(x)－m|<3，
即f(x)－3所以2－3即－1故实数m的取值范围是.
11解析：选BD.对于A：将y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y＝3sin＝3sin， 故A错误；
对于B：由2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝－，k∈Z，当k＝1时，x＝是其对称轴，故B正确；
对于C：令f(x)＝esin 2x，所以f(x＋π)＝esin 2(x＋π)＝esin 2x，故f(x)＝esin 2x的最小正周期为π，且在上为增函数，故C错误；
对于D：由tan x≥0得kπ≤x12解析：选B.由题意知T＝－，k∈Z，
解得T＝，ω＝2k＋1，k∈Z.
因为f(x)在上单调，
所以T≥2＝，于是k≤.
当k＝5时，因为＜－T＜，
所以f(x)在上不单调；
当k＝4时，f(x)在上单调，符合题意．
所以ω的最大值为9.
13解析：选BCD.f(x)＝2sin ωxsin＝sin－.
显然不存在ω，使得函数f(x)为奇函数，故A错误；
－≤f(x)≤，则f(x)的最大值为，故B正确；
由于f(x)在区间上单调递增，
＜2ωx＋＜＋，故(k∈Z)，解得0＜ω≤4，故C正确；
令2ω×＋＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝＋k，k∈Z，
由0＜ω≤4知ω的取值为，，，，共4个值，故D正确．
14解析：因为函数f(x)＝2sin的图象的一个对称中心为，所以ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k－1，k∈Z，由ω∈(1，3)得，ω＝2.由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即＝＝.
答案：
15解析：选BCD.对于A，因为f(x＋π)＝sin(x＋π)＋＋＋…＋＝－sin x－－－…－＝－f(x)，所以π不是函数y＝f(x)的最小正周期，故A错误；对于B，因为f(－x)＝sin(－x)＋＋＋…＋＝－sin x－－－…－＝－f(x)，且函数y＝f(x)的定义域为R，所以函数y＝f(x)为奇函数，故B正确；对于C，因为f(π－x)＝sin(π－x)＋＋＋…＋＝sin x＋＋＋…＋＝f(x)，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；
对于D，f′(x)＝cos x＋cos 3x＋cos 5x＋…＋cos 13x，因为－1≤cos x≤1，－1≤cos 3x≤1，－1≤cos 5x≤1，…，－1≤cos 13x≤1，所以f′(x)≤7，又f′(0)＝7，所以函数f(x)的导函数f′(x)的最大值为7，故D正确，故选BCD.
16解：因为函数f(x)的图象相邻对称轴间的距离为π，
所以T＝＝2π，所以ω＝1，
所以f(x)＝2sin(x＋φ)．
选条件①.
因为f＝2sin为奇函数，
所以φ－＝kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z.
(1)因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－π＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
所以令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤，
所以函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间为，.
选条件②.
f＝2sin＝，所以sin＝，
所以φ＝2kπ，k∈Z或φ＝＋2kπ，k∈Z.
(1)因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.
(2)同选条件①.
选条件③.
因为π是函数f(x)的一个零点，
所以f＝2sin＝0，
所以φ＝kπ－，k∈Z.
(1)因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.
(2)同选条件①.
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