探索规律[上学期]

6 探索规律
第一课时
教材分析
《字母表示数》这一章是开启整个初中阶段代数学习大门的钥匙，《探索规律》作为本章的最后一节，是学生初步学习数学语言符号后，在应用方面的升华。首先，要使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型；其次，使学生经历探索事物间的数量关系并用字母和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。
教学建议
根据学生已有的知识基础和认知特点，将原有的一课时改为两课时，分别从抽象符号和直观形象上进行规律探索（本课是第一课时）。对教学内容进行了增减，突出数学的生活化，要用教材教，而不是教教材。给学生提供更多机会体验主动学习和探索的“过程”与经历，使之拥有一定的问题解决，课题研究、社会调查的经验。
教案
教学目标：
1、通过分析数量间的关系，会用代数式表示简单问题中的数量关系，并能验证所探索的规律；
2、能运用探索出的规律解决一些简单的发展性问题；
3、通过在探索规律中交流与合作，体现教学活动的探索与创造性；
4、培养对数学的兴趣，体验人际间交流、合作的重要性。
教学设计：
课堂教学除知识对流的主线外，还有一条情感对流的主线。因此，我们的教学方式，重要的是要创造丰富的教学情境，营造轻松、活泼的课堂气氛，结合课堂具体情境和学生的兴趣因势利导，激活学生的思维，培养学生的思维过程和方法，让学生自己去开发知识，开发自己的潜能，全面提高综合能力。创造意境，导入新课后，结合学生的学习兴趣和生活经验，师生互动，情感交流，体现以学生为主体的意识，体现出倡导学生“主动参与，乐于探究，勤于动手，张扬个性，开发潜能”的现代教育理念。
本课时的教学将从创造情境出发，引入新内容，新方法，即“创设情况——教学活动（包括观察、实验、探究，归纳，推理，验证，想象，交流）——概括（即用代数式表示规律）——巩固应用与拓展”，使学生在解决数学问题的同时体会到数学的乐趣，从而达到培养数学兴趣的目的。
学习倾向
1、提供充分的探索规律的活动，使学生经历符号化的过程。
2、采取调动学生生活积累、学生观察、交流、动手、实验、猜想、归纳的方式进行，学生充分参与由感性知识自然过渡到理性知识。
教学重点、难点
1、重点：探究的过程，包括动手操作，观察类比，归纳分析，猜想验证，将发现的规律用代数式表述；
2、难点：探究规律的方法，并将该规律实际应用。
教具、学具准备
每生一张课本P111样式的日历卡。
教学过程
教 学 步 骤 教 师 活 动 学 生 活 动
一、创设情境 导入新课有一首唱不完的儿歌，请同学们欣赏：1只蛤蟆1张嘴，2只眼睛4条腿，1声扑通跳下水；2只蛤蟆2张嘴，4只眼睛8条腿，2声扑通跳下水；3只蛤蟆3张嘴，6只眼睛12条腿，3声扑通跳下水；4只蛤蟆4张嘴，8只眼睛16条腿，4声扑通跳下水；……二、合作交流 探索规律（一）问题：1、日历中每一竖列相邻两数之间有什么关系？2、日历中每一竖列相邻三个数之间有什么关系？3、日历中田字套色方框中的四个数之间有什么关系？4、日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？你能用代数式表示吗？5、这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示吗？6、这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？7、你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？用代数式表示。（二）、相关链接1、在下图中的日历中，任意圈上一竖列上相邻三个数，设中间一个数为a，则这三个数之和为_________（用含a的代数式表示）。 操作课件，出示幻灯片把握时机导入新课（板书课题：探索规律1）课件出示课本P111的日历图提出问题点拨出示题目点评学生回答 表现为注意力高度集中，求知欲望强烈先独自探索，再小组内相互交流，最后派代表汇报观察自己手中的日历卡探索其他规律独立思考回答问题
日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930312、如上图，现用一个矩形在日历中任意框出4个数，abcd请你用一个等式表示a、b、c、d之间的关系_____________。（三）学以致用细胞分裂问题分裂次数1234…n细胞个数在第二章第10节中我们曾接触过“细胞分裂问题”，细胞每次都是由一个分裂成2个。想一想：1个细胞经过n次分裂，由一个能分裂成多少个？模型迁移议一议：　你能否找到其他的类似的实际问题，使这个问题的条件与结论都对应相同吗？模型：1、将一根够长的线对折，求对折几次后，线段的总条数。2、将一张够长的纸张对折，每次的折痕互相平行，求对折几次后纸的总层数。对折次数1234…N折痕条数所得层数三、小结：这节课你学会了什么？谈谈你的感受，体验或方法。作业：1、课后习题2、编一道题内含有规律的数学题目考考你的同桌 思维启迪：为便于寻找规律，需要把细胞个数2，4，8，16……表示为分裂次数的同一种关系：21，22，23，24，……2n点拨:可从具体的、简单的对折次数入手，寻找所得折痕数与对折次数的变化关系。如左图表（折痕系数：1，3，7，15，……2n－1；所得层数：21，22，23，24……2n） 小组交流、合作动手操作, 感受、体验、探索规律的过程自悟自结
学案
学习目标：
对实际问题中包含的数量关系进行探索，揭示其内在规律，用代数式表示简单实际问题中的数量关系。
方法与规律：
探索现律应注意观察、分析每一次变化的特点，从而由特殊的1次、2次、3次……的情况推广到一般情况，所以探索规律时，只有抓住变化的过程，才能找到变化的规律。
分组练习
练习一：
1、观察一列数3，8，13，18，23，28……，依此规律，在数列中第2004个数是___________。
2、下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，……，第2003个数应是___________。
3、按规律填数：0。1，1，2，3，5，8，________。
4、一列数为1，3，7，15，请你写出第五个数为________。
练习二：
1、如右下图，在一个3阶幻方中已填入3个代数式，由此你怎样进一步完成整个幻方的填数（式）？
a+b
a
a-b
2、研究下列各式，你会发现什么规律
1×3＋1=4=22
2×4＋1=9=32
3×5＋1=16=42
4×6＋1=25=52 ……
请你将找出的规律用公式表示出来_________________。
达标测评题
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
在右表所示的2003年1月份的日历中，用一个长方形方框圈出任意3×3个数（如下图）
a b c
d e f
g h i
（1）如果从左下角到右上角的“对角线”上的3个数字的和为45，那么这9个数的和为_________，在这个9个日期中，最后一天是_________号。
（2）在这个月的日历中，用方框能否圈出“总和为162”的9个数？如果能，请求出这9个日期分别是几号；如果不能，请推测下个月的日历中，能否用方框圈出，并推测本月最后是星期几。
收获：（请你写出本节课学习后的体验）
第2课时
教材分析
新近中高考大纲中提出：一要着重考察学生运用知识和解决实际问题的能力。因此像规律的探索，课题学习等这类研究性较强的课程，有利于这方面的提高。本节是在学生学习了“生活中的图形”和“用字母表示数”知识的基础上，把“图形”和“代数式”有机地结合在一起，是对前面知识的深化延伸，通过对第一课时的学习，学生已经初步了解了探索规律的方法（如现察、实验、统计、类比、归纳等）。因此，在第二课时安排上着重于学生对内含规律直观形象题的探索，运用探索出来的规律解决新的问题得到新的规律。
教学建议；
本节的教学结合具体的教学内容采用“问题情影——建立模型——解释应用和拓展”的模式展开。以问题引导思维，内容的呈现突出以下几个特点：
1、把知识的学习置于具体情景之中，通过丰富的例子使学生经历从自然语言到符号语言和图表语言的双向交流过程，关注学生能否用不同的语言（自然语言、符号语言、图表语言）表达，交流自己的想法。
2、通过丰富而有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，使学生初步体会数学建模的思想，激发好奇心和主动学习的欲望。
3、根据“回想——联想——猜想”的思维过程，对难点进行层层铺垫，使学生亲自经历探索过程与思维升华的过程，感受自我奋斗的成功的喜悦。
教案
教学目标：
1、经历探索数量关系，运用符号表示规律，通过运算验证规律的过程，拥有一定的问题解决、课题研究、社会调查的经验。
2、会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律。
3、培养学生面对挑战勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情。
学习倾向
1、鼓励学生自主探索和合作交流，引导学生自主地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，使学生形成对数学知识的理解和有效的学习策略。
2、鼓励与提倡解决问题策略的多样性，引导学生在与他人交流中，去选择合适的策略，丰富自己的思维方式，获得成功的体验和不同的发展。
3、引导学生体会数学知识之间的联系，感受数学的整体性。不断积累解决问题的策略，提高解决问题的能力。
教学重点、难点
1、重点：学会探索数量关系，运用符号表示规律
2、难点：学会从不同角度探索数量关系表示规律
教具准备
火柴棒
一、开门见山，引出课题小时候我们都玩过搭积木的游戏，今天我们不妨重拾童年趣事，利用手中的火柴棒搭建一些常见的图形，探索规律。二、合作交流、探索规律1、建立模型探索常见图形的规律，用火柴棒按下图的方式搭三角形 ……（1）填写下表三角形个数12345火柴棒根数（2）照这样的规律搭建下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？2、迁移方法（1）若用火柴棒搭四边形，如下图 ……①填写下表四边形个数12345火柴棒根数②照这样的规律摆下去，搭几个这样的四边形需要多少根火柴棒？（2）若用火些棒搭五边形（如下图），填写有格 ……五边形个数12345…n火柴棒根数想一想图形个数三角形四边形五边形N边形13452793710134913175111621…………n3、应用解释、拓展(1)标准问题。餐桌的摆法方案(1)若按照上图的摆法摆放餐桌和椅子，完成下表。桌子张数123…N可坐人数方案（2）若按照上图的摆法摆放餐桌、和椅子，完成下表。桌子张数123…N可坐人数（2）变式问题在桌数相同时，哪一种摆法容纳的人更多 （3）探索问题。若你是一家餐厅的大堂经理，由你负责在一个宽敞明亮的大厅里组织一次规律盛大的西式冷餐会，你会选择哪种餐桌的摆法呢？三、小结由学生从以下方面进行总结：1、在探索规律中遇到挫折，你会怎么办？2、对自己本节课的学习情况进行自我评价（包括学到的探索规律的一般方法；探索规律中哪些量是重要的；探索规律的一般过程等）。四、作业：课本P113习题3.8 开门见山，导出新课，板书课题（探索规律二）注意引导学生概括“探索规律”的一般步骤：①寻找数量关系②用代数式表示规律③验证规律（1）3．5．7．9．11（2）3+2（n－1）或2n－1点评学生的回答（1）5．7．10．13．16（2）3n+15，9，13，17，21，……5+4（n－1）点评学生回答2n―13n―24n―35n―4……n+（n―1）2点拨思路总结方法 小组交流合作完成自我反思总结方法独立完成小组充分讨论交流、总结、归纳规律问题新颖吸引学生跃跃欲试讨伦热烈自悟自结
课题研究
课题一：牛顿的实验
高度s
时间t
课题二：欧拉的实验
名 称 面 数 f 棱 数 e 顶 点 数 v F+v－e
三棱锥 4 6 4 2
学案
学习目标
1、通过观察、分析、总结等一系列过程，经历探索数量关系，运用符号表示规律，通过运算验证规律的过程。
2、会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律。
3、通过动手操作、观察、思考，体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程；通过交流合作，体验在解决问题的过程中与他人合作的重要性。
方法与规律
1、模型迁移——将已知熟悉的数学模型，用其他的类似的实际问题代替，使这个问题的条件与结论都对应相同。
2、对于与图形有关的探索规律问题，可从具体简单的对应情况入手，寻找所得“结果数”与图形的同一变化关系式，由特殊到一般。
分组练习
练习一：用火柴棒按右图方式搭图形，填下表：
梯形个数 1 2 3 4 …… N
火柴根数
练习二：下列每个图案是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n（n＞1）盆花，每个图案花盆的总数是5。
……
n=2 s=3 n=3 s=6 n=4 s=9
按此规律推，s与n的关系式是：___________________________。
达标测评题
用棋子按下面的方式摆出正方形。
……
（1）填表
图形编号 1 2 3 4 5 6
棋子个数
（2）按照这种规律摆下去，摆第n个正方形需要_______个棋子。（答案4n）
收获：请你与同伴交流一下，通过这节课的学习，你有何收获？要真诚哟！
第三章 回顾与思考 平邑兴蒙学校 鲍光辉
教材分析
“字母表示数”看似平常，都包含着丰富的内涵。用字母表示数是人类认识的一个重大进展，它不仅导致了大量的数学发现，而且对人类的文化和科技的发展具有重要的作用。
本章介绍的主要内容有：
（1）字母能表示什么；（2）代数式的重点：符号化，赋予意义；（3）代数式的重点：程序的思想（对应），实际背景、寻找规律；（4）合并同类项的法则；（5）去括号法则；（6）代数式的运算：适度训练、实际背景，验证规律；（7）探索规律
教学建议
（1）提供充分的探索规律的活动，使学生经历符号化的过程。
（2）通过丰富的例子使学生经历语言叙述到代数式表示、代数式表示到语言叙述的双向过程。
（3）抓住代数式（符号化、赋予意义）、代数式求值（实际背景、寻求规律）、代数式运算（适度训练、验证规律）的重点。
（4）注意所学内容的螺旋上升，避免“补充”内容（整式与整式运算的处理）。
教案
教学目标
让学生通过思考与交流，表述自己对本章学习内容的理解，特别是对字母能表示任何数的理解，同时，通过回答问题及从事多种活动，学生可以梳理所学知识，形成一定的体系，并逐步掌握用代数式表达数量关系或变化规律的方法，发展符号感。
学习倾向
学生的符号感还不是很强，让学生充分参与实际活动，经历符号化的过程。鼓励学生从多个角度进行考虑，用语言、表格，符号多种形式表示规律，并亲自体验探索过程。不能只关注学生是否会列代数式和求代数式的值，而且关注学生是否能对代数式和代数式的值进行解释，对代数式的运算，让学生感受到，它在探索规律的过程中，能解决问题并能验证规律。
教学重点
理解字母表示的含义、会用字母进行表示和积极地从事数量关系的探索过程。
教具准备：
多媒体、幻灯片等。
教学过程
教 学 步 骤 教 师 活 动 学 生 活 动
一、导入：开门见山，直接导入二、梳理本章知识框架 数学内部 探索规律 数学外部数量关系或变化规律 用于计算字母表示 运算律 表示规律 公式、法则 用于推理 语言表示到代数表示 列代数式 代数表示到实际清境 值的实际意义代数式 代数式求值 代数式作为运算过程 算法的思想 对代数式所反映规律的推断 代数式运算 合并同类项、去括号 验证所探索的规律三、典型例题例1、某公园的门票价格是:成人10元,学生5元,设一个旅游团有成人x人,学生y人.（1）用代数式表示该旅游团应付的票费；（2）如果该旅游团有47个成人，12个学生，那么他们应付多少门票费？跟踪练习（一）填空1、a与b的商的方立用代数式表示为____________。2、小明今年13岁，小华比小明大a岁，十年后的小华的年龄是________岁，比小明大________岁。3、在式子2，3b，S=，，中，_______不是代数式。4、一个正方形的边长为ycm，把这个正方形的边长缩小3cm，则原正方形面积比缩小后正方形面积大___________cm2（二）列代数式1、比y的a倍大b的数2、个位数字是a，十位数字是b的两位数3、比x与y和的小2的数（三）求下列代数式的值1、当x=时，求（1）2x2－y （2）2、当a2+a+1=2时，求代数式的值。（四）、选择题1、下列各式正确的是（ ）A、a+（b—c）=a+b+c B、a-（b-c）=a+c-bC、a-（-b-c）=a-b+c D、-（a-b）-c=-a+b+c２、已知：A=-4a2+2b2+3c2，B=a2+b2—c2，如果A+B+C=0，则C=（ ）A、5a2—3b2+4c2 B、5a2+3b2+2c2C、3a2—3b2—2c2 D、3a2+b2+4c2（五）先去括号，再合并同类项1、--（--12x）--3（4x—3）2、--（5x2+6x---7）+（3x2---8x---1）挑战题：你能很快算出19952吗？（提示：任何一个个位数为5的自然数都可写成10n+5的形式，本题变成了求（10n+5）2的值，n为自然数分析：n=1，n=2……求探索猜想（1）152=225可写成100×1（1+1）+25252=625可写成100×2（2+1）+25352=1225可写成100×3（3+1）+25452=2075可写成100×4（4+1）+25… …猜想（1）（10n+5）2=100×n（n+1）=25（2）根据以上猜想，可求得19952=100×199（199+1）+25=3980025例2，某商店进了一批货，出售时要在进价的基础上加一定的利润，某数量a与售价c之间的关系如下表数量a（千克）售价c（元）12+0.6+0.0824+1.2+0.0836+1.8+0.0848+2.4+0.08…………（表内售价栏中的0.08是塑料袋的价格）则售价c与数量a的关系式为_____________。当a=6.8千克时，则c=________元。规律探索1、自然数按一定规律排列成下表，那么第15行的第5个数是什么？你是怎样思考的？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …2、树的高度与树生长的年度数有关，测得某棵树的有关数据如下表：（树苗原高100厘米）年数a高度h（单位：厘米）1115213031454……（1）填出第4年树苗可能达到的高度；（2）请用含a的代数式表示高度h；（3）用你得到的代数式求生长了10年后的树苗可能达到的高度。3、再火柴棒按下面的方式搭图形：填写下表编号（1）（2）（3）（4）（5）火柴根数第n个图形需要_________根火柴棒。4、1米长的小棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此截下去，第七次后剩下的小棒有________米？四、小结通过本章的复习，你有何收获、提高？谈谈你的想法。五、作业、复习题（课本P115） 板书课题：回顾与思考教师用实物投影展示学生自理的知识框架。最后投放预先制作的框架投影出示点评学生解题步骤投影出示点评学生回答指三名学生批改点评，特别是第2题中的整体思想点评指二生批改点评回答提示：畏助学生探垵规律出示题目与学生同讨论点评、讲解点拨、点评学生的汇报布置作业 梳理知识框架对照修改完善自己的框架板演该题学生口答三名学生板演三生板演口答三生板演小组充分讨、交流汇报成果先独立思考，再讨论、交流汇报小组交流自悟自结
学案
学习目标：
1、经历探索事物之间的数量关系，并用字母与代数式进行表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。
2、在具体情境中进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示。
3、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实世界的联系。
4、理解合并同类项和去括号的法则，并会进行运算。
5、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律。
分组练习
练习一：填空题
（1）用代数式表示被3整除得n的数，应是___________。
（2）若代数式2x2+3x+7的值是12，则代数式4x2+6x—10=_________。
（3）三角形的面积为S，底为a，则高h=________
（4）的系数是_________。
（5）去括号：--2a2—[3a3--（a—2）]=_________
（6）若3Xm+1yn+1与—5xn+2y3是同类项，则m+n=____________
（7）观察：13=12，13+23=（1+2）2，13+23+33=（1+2+3）2，则13+23+33+……103=_________
练习二
1、选择题
（1）m—[n—2m--（m—n）]等于（ ）
A、---2m B、2m C、4m---2n D、2m---2n
（2）已知a＜0，b＞0，且/a/＞/b/，则a+b的值（ ）
A、大于0 B、小于0 C、等于0 D、不确定
（3）圆柱底面半径为3cm，高为2cm，则它的体积为（ ）
A、9л B、18л C、3л D、182л
2、一张长方形桌子可坐6人，按下列方式讲桌子拼在一起。
（1）张桌子拼在一起可坐________人。3张桌子拼在一起可坐______人，n张桌子拼在一起可坐________人。
（2）一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐________人。
（3）若在（2）中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐________人。
达标测评题
1、5a2+[a2+（5a2—3a）---6（a2—a）]，其中a=
2、若a2+a—1=3，求的值
3、你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条。如图所示，这样捏合到第次后，就可拉出128根细面条，课后回家试试看。
……
收获：复习完本章后，你有何新的收获？你认为哪些方面有所提高？请你写写
a－8　　　a—7 a—6
a—1 a a+1
a+6 a+7 a+8
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