【数学总复习-对点练习】RJA 第五章 第3讲　平面向量的数量积

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第3讲　平面向量的数量积
1．(2022·常德市高三临考冲刺卷)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，那么|4a－b|＝(　　)
A．2 B.6
C.2 D.12
2．(2022·广州市综合检测)a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值为(　　)
A．－ B.－
C. D.
3．已知O是△ABC所在平面上一点，满足||2＋||2＝||2＋||2，则点O(　　)
A．在与边AB垂直的直线上
B．在角A的平分线所在直线上
C．在边AB的中线所在直线上
D．以上选项都不对
4．(多选)下列关于平面向量的说法中不正确的是(　　)
A．a＝，b＝(k，8)，若a∥b，则k＝6
B．单位向量i＝(1，0)，f＝(0，1)，则|3i－4f|＝5
C．若a·c＝b·c且c≠0，则a＝b
D．若点G为△ABC的重心，则＋＋＝0
5．(多选)(2022·名师联盟高三下学期联考)设a，b是两个非零向量，则下列命题为假命题的是(　　)
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
6．(2021·新高考卷Ⅱ)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________．
7．已知点M，N满足||＝||＝3，且|＋|＝2，则M，N两点间的距离为________．
8．一物体在力F的作用下，由点A(20，15)移动到点B(7，0)．已知F＝(4，－5)，则F对该物体做的功为________．
9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)(一题多解)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
11．(2022·安徽五校联盟第二次质检)已知O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)
A. B.3
C.1 D.2
12．(多选)(2021·新高考卷Ⅰ)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则(　　)
A．||＝||
B．||＝||
C.·3＝·
D.·＝·
13．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．
14．(2022·湖南长郡中学模考)
自行车运动是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱．如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑行过程中，·的最大值为(　　)
A．18 B.24
C.36 D.48
15.
在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝π，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
参考答案
1解析：选C.|4a－b|2＝16a2＋b2－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos＝12.所以|4a－b|＝2.
2解析：选B.设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以解得故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2，cos〈a，b〉＝＝＝－.
3解析：选A.设＝a，＝b，＝c，则＝－＝c－b，＝－＝a－c，又||2＋||2＝||2＋||2，所以|a|2＋|c－b|2＝|b|2＋|a－c|2，化简可得b·c＝a·c，即(b－a)·c＝0，即·＝0，所以⊥，AB⊥OC.
4解析：选AC.对于选项A：因为a∥b，则×8＝k2，解得k＝±6，故选项A不正确；
对于选项B：|3i－4f|2＝(3i－4f)2＝9i2＋16f2－24i·f＝9＋16－0＝25，所以|3i－4f|＝5，故选项B正确；
对于选项C：根据向量的几何意义可知若a·c＝b·c且c≠0，则a＝b不一定成立，故选项C不正确；
对于选项D：若点G为△ABC的重心，取AB的中点O，则＋＋＝2＋＝0，故选项D正确；
故选AC.
5解析：选ABD.对于A，若|a＋b|＝|a|－|b|，
则|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，
得a·b＝－|a||b|≠0，a与b不垂直，所以A为假命题；
对于B，由A解析可知，若a⊥b，则|a＋b|≠|a|－|b|，所以B为假命题；
对于C，若|a＋b|＝|a|－|b|，
则|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，
得a·b＝－|a||b|，设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝－1，
则a与b反向，因此存在实数λ，使得b＝λa，所以C为真命题．
对于D，若存在实数λ，使得b＝λa，
则a·b＝λ|a|2，－|a||b|＝－|λ||a|2，由于λ不能等于0，
因此a·b≠－|a||b|，则|a＋b|≠|a|－|b|，
所以D为假命题．
故选ABD.
6解析：由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
因此，a·b＋b·c＋c·a＝－.
答案：－
7解析：依题意，得|＋|2＝||2＋||2＋2·＝18＋2·＝20，则·＝1，故M，N两点间的距离为||＝|－|
＝
＝＝4.
答案：4
8解析：因为A(20，15)，B(7，0)，
所以＝(－13，－15)，
所以W＝·F＝－13×4＋(－15)×(－5)＝23.
答案：23
9解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．
由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，
解得x＝7，即b＝(1，7)，
所以|b|＝＝5.
(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，
所以2x－1＝－7，
即x＝－3，所以b＝(1，－3)，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b的夹角是.
10解：(1)由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为4，2.
(2)方法一：由题设知＝(－2，－1)，＝(3，5)，－t＝(3＋2t，5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
方法二：由题意得·＝t2，＝(－2，－1)，＝(3，5)，
t＝＝－.
11解析：选C.由·＝2，∠BAC＝60°，可得·＝||·||cos ∠BAC＝·||||＝2，所以||||＝4，所以S△ABC＝||·||·sin∠BAC＝3，又＋＋＝0，所以O为△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝1，故选C.
12解析：选AC.由题可知，||＝＝1，||＝＝1，所以||＝||，故A正确；取α＝，则P1，取β＝，则P2，则||≠||，故B错误；因为·＝cos(α＋β)，·＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以·＝·，故C正确；因为·＝cos α，·＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，取α＝，β＝，则·＝，·＝cos ＝－，所以·≠·，故D错误．故选AC.
13解析：设向量a，b的夹角为θ，由余弦定理得
|a－b|＝＝，
|a＋b|＝＝，
则|a＋b|＋|a－b|＝＋，
令y＝＋，则y2＝10＋2∈[16，20]，
据此可得(|a ＋b|＋|a－b|)max＝＝2，(|a＋b|＋|a－b|)min＝＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2.
答案：4　2
14解析：选C.通解：
在骑行过程中，A，B，C，D，E五点相对不动，只有点P绕点D做圆周运动，如图所示，以E为坐标原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
由题意得A(－4，0)，B(－2，2)，C(2，2)，D(4，0)，圆D的方程为(x－4)2＋y2＝3.
连接DP，设以Dx为始边，沿逆时针方向旋转，以DP为终边的角为α，则P(4＋cos α，sin α)，
则＝(6，2)，＝(6＋cos α，sin α－2)，
·＝6(6＋cos α)＋2(sin α－2)＝6cos α＋6sin α＋24
＝12＋24
＝12sin＋24，
易知当sin＝1时，·取得最大值36.故选C.
光速解：·＝||·||·
cos θ(θ为向量和的夹角)，
过B，P作直线AC的垂线，垂足分别为M，N，为在上的投影向量，易知||·cos θ的最大值为|MC|＋＝3，||＝4，
所以·的最大值为4×3＝36.
15解：(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝－t＋t2＋
＝t2－t＋1＝＋，
所以当t＝时，|＋|有最小值，为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，　
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1.
所以当θ＝时，m·n取得最小值，为1－.
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