人教版数学九上21.1一元二次方程 课件(共17张PPT)

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第二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
1.理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程.
2.知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式中一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
想一想
在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部(全身）的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2m,那么它的下部应设计为多高？
如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系：
AC:BC=BC:AB,即BC2=AC×AB.
设雕像下部高x米,可得方程
x2=2(2-x)
整理得 x2+2x-4=0
这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其中未知数x的最高次数是2.如何解这类方程？
如何用这类方程解决一些实际问题？这就是本章要学习的主要内容.
A
B
C
2-x
x
1.什么叫方程？
含有未知数的等式叫做方程.
2.我们学过哪些方程？
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
3.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.
问题一：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
100cm
3600cm2
50cm
对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？
100cm
x
3600cm2
50cm
解：设切去的正方形的边长为x cm,
则盒底的长为(100－2x)cm,
宽为(50－2x)cm,
根据方盒的底面积为3600cm2,得
(100-2x)(50-2x)=3600
化简得
x2-75x+350=0
想一想：
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题二：要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛
对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？
分析：
全部比赛的场数为 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他（x-1）个队各赛1场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共 场.
即
解：根据题意，列方程：
化简，得：x2-x=56
x2+2x-4=0
x2-x=56
x2-75x+350=0
上述方程都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？这三个方程有什么共同特点呢？
与一元一次方程的区别：
未知数的最高次数是2.
共同特征：
1、都是整式方程;
2、只含一个未知数;
3、未知数的最高次数是2.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫作一元二次方程；
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 ：
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根．
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当 a = 0 时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ，b = 0时 ，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ，c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
（是一元二次方程）
（不是一元二次方程）
（是一元二次方程）
（是一元二次方程）
例1 在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③
④(x-2)(x+5)=x2-1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
注意：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
例2 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
解：
去括号，得
3x2-3x=5x+10
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0
其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.
注意区分项与项的系数。无论是项还是项的系数都包含前面的符号。
例3 检验x=-2,x=3是不是方程x(x+1)=-2x-2的根
注意：判断一个数是一元二次方程的解的方法（代入检验法），将此数代入一元二次方程，若能使方程左右两边的值相等，则这个数是一元二次方程的解；反之，它不是一元二次方程的解.
解：当x=-2时，
左边=-2×(-2+1)=-2×(-1)=2,
右边=-2×(-2)-2=4-2=2.
左边=右边，∴x=-2是方程x(x+1)=-2x-2的根
当x=3时，
左边=3×(3+1)=3×4=12,
右边=-2×3-2=-6-2=-8.
左边≠右边，∴x=3不是方程x(x+1)=-2x-2的根.
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是2.
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0)
其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件
根
使方程左右两边相等的未知数的值.