鲁教版（五四制）数学七年级下册 10.2 等腰三角形 教案（含4课时）

等腰三角形
【课时安排】
4课时
【第一课时】
【教学目标】
一、经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
二、通过探究，养成严谨的科学态度、不懈的探究精神和良好的说理方法。
【教学重难点】
重点：
通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。
难点：
能够用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理（特别是证明等腰三角形性质时辅助线做法）。
【教学方法】
观察法。
【教学过程】
一、新课讲解。
（一）议一议：
1．还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（教师提出问题，并利用等腰三角形纸片帮助学生回忆。）
2．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？
（等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。）
定理：等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简单叙述为：等边对等角。
已知：如图，在ABC中，AB＝AC。求证：∠B＝∠C。
（引导学生证明定理“等腰三角形的两个底角相等”，重点引导学生做辅助线，将等腰三角形分成两个全等的三角形：我们刚才利用折叠的方法说明了这两个底角相等。实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形。能否通过作一条线段，得到两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等呢？）
证明：取BC的中点D，连接AD。
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABC△≌△ACD（SSS）；
∴∠B=∠C（全等三角形的对应边、角相等）。
（让同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法。做∠BAC的平分线，交BC边于D；过点A做AD⊥BC。学生指出该定理的条件和结论，写出已知、求证，画出图形，并选择一种方法进行证明。）
想一想：
在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
（应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，讨论图中存在的相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。）
推论：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（二）议一议：
把“等边对等角”反过来还成立吗？你能证明吗？
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
简述为：等角对等边。
证明
已知：在ΔABC中∠B=∠C。
求证：AB=AC。（引导学生证明定理）
方法如下：
2．
随堂练习：
做练习第1、2题。（引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程。）
课堂小结：通过这节课的学习你学到了什么知识？
（学生小结：通过本课的学习我们掌握了证明的基本步骤和书写格式。经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理。）
【第二课时】
【教学目标】
一、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。
二、经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等。
【教学重难点】
一、重点。
正确叙述结论及正确写出证明过程。通过学习，掌握证明的基本步骤和书写格式。
二、难点。
等腰三角形的定理应用。
【教学方法】
探究式教学法、自主探究与合作探究。
【教学过程】
一、复习回顾：
你知道等腰三角形具有怎样的性质吗？
探索——发现——猜想——证明。
二、引导探索：
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线具有上述的性质，那么，两底角的平分线、两腰上的中线和高线又具有怎样的性质呢？
（提出问题，激发学生探究的欲望。学生猜想。）
探究中发现：在等腰三角形中做出两底角的平分线，你会发现图中有哪些相等的线段？你能用文字叙述你的结论吗？
（学生动手画图、探索发现相等的线段并思考为什么相等。）
三、证明：
例1证明：等腰三角形两底角的平分线相等。
（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证。）
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线。
求证：BD＝CE。
典型例题：
例2已知：如图，点D，E在ΔABC的边AB上，AB=AC，AD=AE。
求证：BD=CE。
证明：
作AF⊥BC，垂足为点F，则AF⊥DE。
∵AB=AC，AD=AE。
∴BF=CF，DF=EF。（等腰三角形底边上的中线、底边上的高互相重合。）
∴BF-DF=CF-EF，
即BD=CE。
【第三课时】
【教学目标】
一、进一步学习证明的基本步骤和书写格式。
二、掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理。
【教学重难点】
关于综合法在证明过程中的应用。
【教学过程】
温故知新。
一、已知：∠ABC，∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。
1．找出图中的等腰三角形。
2．BD，CE，DE之间存在着怎样的关系？
3．证明以上的结论。
二、复习关于反证法的相关知识。
用两个含30°角的三角尺，能拼成一个怎样的三角形？能拼成一个等边三角形吗？说说你的理由。
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？能证明你的结论吗？
（提示学生根据两个三角尺拼出的图形发现结论，并证明）
证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则∠B=60°。
延长BC至D，使CD=BC，连接AD。
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°；
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等），
∴△ABD是等边三角形。
∴BC=BD=AB。
得到的结论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
例题学习：
等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高。
已知：在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高。
求：CD的长。
解：
∵∠ABC=∠ACB=15°，
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°；
∴CD=AC=×2a=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。
【第四课时】
教学目标 知识目标：结合实例体会反证法的含义。 能力目标：提高学生分析解题能力。 情感目标：培养学生的团结协作精神与严谨的学习态度。
教学重难点 重点：反证法的运用。 难点：灵活运用反证法解题。
教学措施 小组合作交流，精讲多练。
教学方法 分组讨论法。
教学准备 小黑板。
注意问题 注意说理的严谨性。
教学过程
一、复习： 等边三角形的性质定理与判定定理是什么？在直角三角形中30度角所对的边与斜边有什么关系？ 二、想一想： 小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ 小明是这样想的：如果∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不等。假设AB＝AC，那么根据等边对等角，可知∠B＝∠C，但已知他们不等，这与已知矛盾，所以AB≠AC。 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或者已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。 三、练一练：用反证法证明：一个三角形中至多有一个直角。 已知，△ABC，求证∠B、∠C、∠A中至多有一个直角。 证明：假设∠B、∠C、∠A中有两个或三个直角，不妨设∠B＝∠A＝90度，则： ∠B+∠C+∠A＝90+90+∠C﹥180度。这与三角形内角和定理矛盾，所以∠B＝∠A＝90度不成立，所以一个三角形至多有一个直角。 议一议： a1，a2，a3，a4，a5都是正数，且a1+a2+a3+a4+a5＝1，那么这五个数中至少有一个大于或等于1/5。 如何证明这一结论呢？假设这五个数中没有一个大于或者等于1/5，即都小于1/5，那么你能推出什么结论，这一结果与已知条件是否矛盾？
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