鲁教版（五四制）数学七年级下册 7.4 二元一次方程与一次函数 教案

二元一次方程与一次函数教学设计
一、学习目标
1、初步体会二元一次方程（组）与一次函数的关系；
2、能从“图形”的角度看待二元一次方程和二元一次方程组；
3、会利用待定系数法确定一次函数表达式。
二、教学过程
环节一：问题情境，探索一次函数与二元一次方程之间的关系。
【导入】回顾学过的二元一次方程的知识，你能举出几个二元一次方程吗？（师板书）前面学习时没有研究二元一次方程的解，这节课我们一起来研究一下。二元一次方程有多少个解？以第一个方程为例，你能举几个吗？（师板书）
【提出开放问题】如果将解中的x，y的值分别作为点的横、纵坐标，得到点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，你有什么发现？与以前学过的什么知识有关系？
【预设过程】1、分小组合作讨论，从刚才举出的几个二元一次方程中任选一个研究；
2、学生分小组进行交流；
【预设结论】1、学生通过研究可能会发现以方程的解中的x，y的值分别作为点的横、纵坐标，点形成的图象是条直线；
2、学生可能确定出点形成的图象的解析式；
3、学生可能会发现以方程解为横、纵坐标得到的点形成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线；
【交流提升】小组派代表交流，教师引导学生从“数”的角度看，方程与函数描述的是同样的关系；从“形”的角度看，他们对应解（点）组成的图象相同，得到二元一次方程图象的特征。
【得出结论】一般地，以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上，在一次函数图象上任取一点的坐标都是二元一次方程的一个解，同时任意的一次函数都可以通过变形得到二元一次方程。一次函数与二元一次方程是辩证统一的，这就是本节课要研究的二元一次方程与一次函数之间的关系。（板书课题）
【设计意图】本环节利用二元一次方程解有无数个，提出“将解中的x，y的值分别作为点的横、纵坐标，得到点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，你有什么发现？与以前学过的什么知识有关系？”这种开放性的问题，目的是为了使学生通过分小组合作探索充分体验数学的过程，引导学生从“数”“形”的角度看，发现方程与函数对应解（点）组成的图象是相同的，体会一次函数与二元一次方程辩证统一的关系，并以此为基础，为第二环节发现二元一次方程组的解与一次函数交点坐标的关系做铺垫。
【跟踪练习】1、若方程有一个解为，则一次函数的图象上必有一点为_______。
2、一次函数 的图象上有一点坐标为，则方程必有一个解为_______。
【设计意图】引导学生从“图形”的角度看待方程，再次感受一次函数与二元一次方程解之间的关系。
环节二：“数”“形”结合，思考提炼，体会一次函数与二元一次方程组之间的关系。
【提出问题】通过刚才的探究，我们知道了到一次函数与二元一次方程之间的关系，如果将刚才的方程组随机组合将会得到一些方程组，你有什么新的方法解这些方程组吗？
【预设过程】1、从中任意选择一个方程组，先独立思考，再在小组内合作讨论方程组解法；
2、学生分小组进行交流想法；
【预设结论】1、学生可能想不出新的方法，仍然使用旧方法，从“数”的角度考虑，借助前面学过的消元法解二元一次方程组。
2、部分学生可能会想到从“形”的角度考虑，由第一环节二元一次方程与一次函数之间的关系可知，每个方程组的解可以看成是两个一次函数的图象的交点坐标，画出相映的一次函数图象，确定直线交点坐标。
【交流提升】小组派代表交流，教师引导学生尝试从“图形”的角度看待二元一次方程和二元一次方程组。
【得出结论】通过小组合作探究，一般地，从“图形”的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相映的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组，相当于确定两条直线交点的坐标。这里面用到了一种重要的数学思想——“数”“形”结合。
【设计意图】从二元一次方程到二元一次方程组，由第一环节中学生举出的方程直接组合成方程组，再次放手给学生自己选择方程组，先自己思考求解方法，再通过小组合作，发掘出一次函数与二元一次方程组之间的联系，深刻体会“数”“形”结合的重要数学思想，整个过程发散了学生的思维，使学生学会了从“图形”的角度看待二元一次方程和二元一次方程组。通过师生、生生的交流互动，使学生学会与人合作，体验数学价值，学会从不同的角度去思考与解决问题。
【跟踪练习】1、下面图象的交点坐标可以看作是哪一个方程组的解？
2、若二元一次方程组的解为，则一次函数的图象与函数的图象的交点坐标为____________。
【设计意图】进一步体会一次函数与二元一次方程组之间关系，为二元一次方程组的图象解法做铺垫。
环节三：例题示范，体会图象法解二元一次方程组的方法。
【例题讲解】刚才我们知道从“图形”的角度可以直观地看出二元一次方程组的解，那如何用图象来解二元一次方程组呢？下面我们就一起看一看下面这个例题。
例：利用一次函数图象解二元一次方程组
【学生归纳】学生根据过程自己总结归纳解题步骤；①将方程组中的每一个方程变形为一次函数的形式；②作出每一个一次函数的图象；③找出直线的交点；④写出方程组的解。
【设计意图】通过例题感受用从“图形”的角度解二元一次方程组的直观性，课件展示解题过程，规范做题步骤，体会“数”“形”结合思想的重要性。
【跟踪练习】利用图象法解二元一次方程组
学生独立完成，教师巡视；
【预设结果】学生画出图象后，直观上可能会得不到交点的精确坐标值，进而无法确定方程组的解；
【交流提升】你在解题中有什么困惑吗？学生起来谈自己的困惑；通过交流发现利用一次函数图象解二元一次方程组，当两条直线交点坐标为非整数时，直观上无法读出坐标的精确值，也就无法确定方程组的精确解，此时要想求出方程组的精确解，我们还需要消元法来帮忙。
【得出结论】利用图象法求出的是二元一次方程组的近似解。
【设计意图】熟悉图象法解二元一次方程组的步骤，在感受图象法解二元一次方程组直观性的同时，发现当两条直线交点坐标为非整数时，这时不易读出交点的坐标，那么也就不容易找到二元一次方程组的解，此时还得需要用消元法才能求出方程组的精确解。
环节四：拓展提升，讨论二元一次方程组解的情况。
【提出疑问】这节课我们研究了二元一次方程（组）的解，老师有个疑问，一般的二元一次方程组都有解吗？如果有解，那么有几个解呢？如果无解你能举个例子吗？
【预设过程】小组合作探究方程组解得情况，教师巡视引导学生多角度思考问题。
【预设结论】1、学生通过已有经验可能会得出一般的方程组可能有解，也可能无解；
2、有的学生可能举不出无解的例子；
3、也有可能会从图形的角度考虑，方程组的解可以看成是两个一次函数图象的交点，两条直线如果有交点，那么相映的方程组有解，有一个交点，就有一个解；无交点，那么相映的方程组无解；
4、学生还有可能从一次函数解析式上看出方程组的解得情况；
【交流提升】小组派代表交流；
【得出结论】以两个方程为例，课件展示先从“形”的角度来看方程组，两条直线在平面直角坐标系的位置关系只有两种，交于一点或者平行，那么相映的方程组的解也有两种情况，有且只有一个解或无解。再从一次函数表达式中也可以看出，当时，两直线有一个交点，方程组有一个解；当，, 时，两直线无交点方程组无解
【设计意图】本环节是在学习了方程与函数之间的联系后的一个拓展提升，从不同的角度研究并概括出一般的方程组解的情况，提高了学生利用“数”“形”结合的思想解决问题的能力，学会辩证地看待方程与函数，同时也培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神。
环节五：师生合作，通过总结加深对本课内容的理解。
学生自己对比本节课学习目标，你还有哪些疑问和收获？引导学生总结
图象法求二元一次方程组解的特点。当但坐标为非整数时，不易写出精确值；
二元一次方程组解的情况；
【设计意图】通过本环节，感受数学知识与方法的内在联系，培养学生学习与总结相结合的好习惯。
板书设计
二元一次方程与一次函数
kx-y=-b y=kx+b
x+y=5 学生举例
x-y=4
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