24.1.2垂直于弦的直径 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
人教版 九年级上册
24.1.2垂直于圆的直径
本课是在学生已经学习了圆的有关概念的基础上开始研究圆的性质，包括圆的轴对称性以及垂径定理，并应用垂径定理及其推论解决问题．
课件说明
学习目标：
1．理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的
　 证明、计算和作图问题；
2．感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和
　 方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理
　 的过程中发展逻辑思维能力和识图能力．
学习重点：
垂径定理及其推论．
课件说明
由此你能得到圆的什么特性？
可以发现：圆是轴对称图形.任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗
引入新知
如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，
垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧
为什么
·
O
A
B
C
D
E
线段: AE=BE
弧:
AD =
BD
AC =
BC
学习新知
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
·
O
A
B
C
D
E
CD⊥AB
∴ AE=BE，
∵ CD是直径，
AD
=BD
AC
=BC
O
A
B
D
C
E
O
A
B
C
D
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？
是
否
E
认识新知
O
A
B
C
E
O
A
B
C
D
2.下列图形是否具备垂径定理的条件？
是
否
E
O
O
O
O
3.垂径定理的几个基本图形：
CD过圆心
CD⊥AB于E
AE=BE
A
B
A
B
C
D
E
E
C
A
B
E
A
B
C
E
AC
=BC
AD
=BD
4.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是( )
A.∠COE=∠DOE
B.CE=DE
C.OE=AE
·
O
A
B
E
C
D
D.
C
BC
=BD
例2.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O
到 AB的距离为3cm，求⊙O的半径.
·
O
A
B
E
解：过点O作OE⊥AB于E，
即⊙O的半径为5cm.
连接OA
∴AE= AB
1
2
=4cm，
OE=
3cm.
在Rt△OAE中，根据勾股定理，　
OA2 =AE2＋OE2
=42＋32=25．
∴OA=
5cm.
典型例析
　　 例3 如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)是 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(精确到 0.1 m)．
A
B
O
解：如图，用弧AB表示主桥拱，
设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为R.
R
37m
7.23m
A
B
O
C
D
解：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为R.
A
B
O
C
D
解：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC,垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
∴ AD= AB=18.5m，
∵OA2 =AD2＋OD2
解得R=27.3(m).
即主桥拱半径约为27.3m.
OD=OC－CD=R－7.23
∴R2 =18.52＋(R－7.23)2
1
2
A
B
O
C
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。
圆心到弦的距离、半径、半弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。
　　1.如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB交小圆于C，D，则AC与BD间可能存在什么关系？
D
O
C
A
B
答：AC 与 BD 相等.
过点O作OE⊥AB于E，
E
理由如下：
则有：
∴AE=BE ，
CE=DE .
∴AE－CE=BE－DE ，
∴AC=BD .
学以致用
　　变式1
　　如图，连接 OA，OB，设 AO=BO，求证:AC=BD．
D
O
C
A
B
过点O作OE⊥AB于E，
则有：
∴CE=DE ，
E
∵AO=BO，
OE⊥AB，
∴AE=BE ，
∴AE－CE=BE－DE ，
∴AC=BD .
证明：
　　变式2
　　连接 OC，OD，设 OC=OD，求证:AC=BD．
D
O
C
A
B
E
过点O作OE⊥AB于E，
则有：
∴AE=BE ，
∵OC=OD，
OE⊥CD，
∴CE=DE ，
∴AE－CE=BE－DE ，
∴AC=BD .
证明：
2.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且
相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.
求证：四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
AC=AB，
∴ AE=AD，
∴ 四边形ADOE为正方形.
∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，
∴∠ODA=90°，
∠OEA=90°，
∠A=90°，
∵OD= AB，
1
2
OE= AC，
1
2
1.如图，已知OC是⊙O的半径，AB是弦，OC
=5，AB=6 ，AB⊥CO于点D，则CD的长
为( ).
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
，
A
B
O
C
D
巩固新知
D
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
下列结论: ①CE=DE；②BE=OE；③AC=AD；
④∠CAB=∠DAB； ⑤ .一定正确
的个数有( ).
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
B
C
D
E
O
A
·
AD
=AC
A
3.已知⊙O的半径为13cm，弦AB//CD，AB=24cm，
CD=10cm，则AB、CD之间的距离为( ).
A.12cm B.7cm C.17cm D. 7cm或17cm
D
① 当 AB与CD在
圆心的同侧时；　　
②当 AB与CD在
圆心的异侧时；
　　
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
EF=12－5=7
EF=12 ＋5=17
F
E
F
E
4.如图，⊙O的半径OA= cm，弦AB=4cm，
则圆心O到弦AB的距离为 cm.
，
A
B
O
5
1
5.如图，⊙O的直径CD⊥弦AB是于点E，且
CE=1，OB=5 ，则弦AB的长为 .
A
B
O
C
D
6
E
6.如图，一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，
水面宽AB为8m，则拱桥的OC长为 .
OD2＋AD2=OA2
(8－OC)2＋42=OC2
64－16OC＋OC2＋16=OC2
OC=5
5m
A
B
O
C
D
　　内容：
　　垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
　　①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法．
　　②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线．
　　　　重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—
（结合）勾股定理—建立方程．
小结
今天作业
课本P89页第2题
课本P83页第2题
谢谢
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