北师大版数学八年级下册 1.2 直角三角形 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
第1章 三角形的证明
1.2 直角三角形
温故知新
等腰三角形有哪些性质？怎样判定一个三角形是等腰三角形？
性质：等边对等角；三线合一
判定：定义法；等角对等边
温故知新
直角三角形的两个锐角有何关系？
你记得勾股定理的内容吗？你曾经用什么方法得到了勾股定理？
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
探究新知
问题（一）：如图所示，小明有一个三角形，有一个角被挡住了，已知未被挡住的两个角互余，你知道这是一个什么三角形吗？
直角三角形
因为三角形的内角和是180°，知道其中两个角互余，就是它们的和是90°，所以另一个角是180°-90°=90°.
探究新知
问题（二）：古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，用量角器度量三个角，你发现了什么？你能说明其中的道理吗？
猜想：按这种方法可以得到一个直角三角形.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
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(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
探究证明：这个三角形的三边长分别为3，4，5，我们知道32+42=52，并且量得最大角为90°.
理论证明：阅读教材第16~17页“读一读” 内容.
探究新知
问题（三）：若一个三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+b2=c2，那么∠C还等于90°吗？
∠C=90°
探究新知
A
B
C
A′
B′
C′
已知：如图，在△ABC 中， AB2+AC2=BC2.
求证： △ABC是直角三角形 .
证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′ = 90°，A′B′ =AB， A′C′ =AC，则A′B′ 2+A′C′ 2=B′C′ 2.
∵ AB2+AC2=BC2， A′B′ =AB，A′C′ =AC，
∴ B′C′ 2=BC2，∴ B′C′ =BC，
∴ △ABC≌ △ A′B′C′ （SSS）.
∴ ∠A= ∠A′（全等三角形的对应角相等） ，
∴ △ABC是直角三角形 .
探究新知
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
议一议：观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流.
探究新知
定理：直角三角形的两个锐角互余.
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流.
探究新知
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
观察下面三组命题：
探究新知
逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
探究新知
逆定理：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
注意：任何一个命题都有逆命题，但并不是所有的定理都有逆定理.
探究新知
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？
由全等三角形的判定方法SSS，SAS，ASA，AAS知没有SSA，故三角形不一定全等.
当对角为直角时，这两个三角形全等.
已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′中， ∠C= ∠C′ = 90°， AB=A′B′ ， AC=A′C ′.
求证： △ABC≌ △ A′B′C′ .
证明：在△ABC 中， ∠C= 90°，
∴ BC2=AB2-AC2（勾股定理）.
同理， B′C′ 2=A′B′ 2-A′C′ 2.
∵ AB=A′B′ ， AC=A′C′ ，
∴ BC=B′C′ ，
∴ △ABC≌ △ A′B′C′ （SSS）.
探究新知
A
B
C
A′
B′
C′
做一做：
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
已知：如图，线段a，c(a求作： Rt△ABC，使∠C= ∠ α，BC=a ， AB=c.
探究新知
要求：（1）动手作直角三角形；
（2）同桌剪下所作的直角三角形，看是否能重合.
a
c
α
探究新知
已知：如图，线段a，c(a求作： Rt△ABC，使∠C= ∠ α，BC=a ， AB=c.
a
c
α
探究新知
定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
简述为：“斜边、直角边”或“HL”.
例.如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠ABC 和∠DFE有什么关系？
解：根据题意，可知:
∠BAC= ∠EDF =90°，BC= EF， AC= DF ，
∴ Rt△BAC≌ Rt △ EDF（HL）.
∴ ∠ABC =∠DEF （全等三角形的对应角相等）.
∵ ∠DEF+ ∠DFE=90°（直角三角形的两锐角互余），
∴ ∠ABC +∠DFE=90°.
探究新知
随堂练习，巩固新知
在△ABC 中，已知∠A=∠B=45°，BC=3，求AB的长.
解：在△ABC 中，
∠A+ ∠B + ∠C=180 °，
又∵ ∠A=∠B=45°,
∴ ∠C=90 °.
∵ BC=3,
∴AB= .
随堂练习，巩固新知
已知，在△ABC 中，AB=13 cm，BC=10 cm，BC边上的中线AD=12 cm，求证：AB=AC.
解：∵ BC边上的中线AD=12 cm，
∴ BD=5 cm.
在△ABD 中，
AB=13 cm，AD=12 cm， BD=5 cm，
则AB2=AD2+BD2.
∴ ∠ADB=90 °.
∴ AD是BC边上的垂直平分线，
∴ AB=AC.
A
B
D
C
随堂练习，巩固新知
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假.
（1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）如果ab=0，那么a=0，b=0.
多边形是四边形.
真
假
同旁内角互补，两直线平行.
真
真
如果a=0，b=0，那么ab=0.
真
假
随堂练习，巩固新知
判断下列命题的真假，并说明理由.
（1）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
（2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；
（3）两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
（4）一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.
假
真
真
真
随堂练习，巩固新知
如图，两根长度均为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.
相等
根据“HL” 可得
随堂练习，巩固新知
如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD， E为BC上的一点，且∠BAE=25°， ∠CDE=65°，AE=2， DE=3，求AD的长.
A
B
C
D
E
随堂练习，巩固新知
一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠A=30°， AB=10 m，CB1⊥AB，B1C1⊥AC，垂足分别为B1，C1 ，那么BC的长是多少？ B1C1呢？
BC=5 m
B1C1 = m
A
B
C
C1
B1
1.这节课你学到的知识是什么？
2.本节课你不明白的地方是什么？
课堂小结
教材第18页习题1.5第3，4 ，5题.
布置作业
教材第21页习题1.6第1，2 ， 3题.
谢谢大家！
再见！