2022-2023学年苏科版数学九年级上学期1.4.3 一元二次方程应用——几何问题 同步训练

2022-2023学年苏科版数学九年级上学期1.4.3 一元二次方程应用——几何问题 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·克东期末）如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（　　）
A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，
根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102，
解得：x1=2，x2=，
答：当P、Q两点从出发开始到2s或s时，点P和点Q的距离是10cm．
故答案为：D．
【分析】先求出（16-2x-3x）2+82=102，再解方程求出x1=2，x2=，即可作答。
2．（2021九上·朝阳期中）如图， 中， ， cm， cm，动点 从点 出发沿 边以 cm /秒的速度向点 移动，点 从点 出发，沿 边以 cm /秒的速度向点 移动，如果点 ， 分别从点 ， 同时出发，在运动过程中，设点 的运动时间为 ，则当 的面积为 cm2时， 的值（　　）
A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设经过 秒钟，使 的面积为 ，
， ，
×（6 t）×2t＝8，解得： ，
故答案为：B．
【分析】设经过 秒钟，使 的面积为 ，根据 ， ，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值。
3．（2021九上·宿迁月考）把一块长与宽之比为2：1的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子，如果这个盒子的容积是1500立方厘米，设铁皮的宽为x厘米，则正确的方程是（　　）
A．（2x﹣20）（x﹣20）=1500 B．10（2x﹣10）（x﹣10）=1500
C．10（2x﹣20）（x﹣20）=1500 D．10（x﹣10）（x﹣20）=1500
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设铁皮的宽为x厘米，
那么铁皮的长为2x厘米，
依题意得10（2x﹣20）（x﹣20）=1500.
故答案为：C.
【分析】设铁皮的宽为x厘米，则铁皮的长为2x厘米，则长方体的长为2x-20，宽为x-20，高为10，根据长方体的体积公式列式，结合体积为1500，构建方程即可.
4．（2020九上·汾阳月考）如图，将边长 的正方形 沿其对角线 剪开，再把 沿着 方向平移，得到 ，若两个三角形重叠部分的面积为 ，则它移动的距离 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平移的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AC交A′B′于H，
∵AC是正方形 的对角线，
∴∠A=45°，∠D=90°，
∴△A′HA是等腰直角三角形，
设AA′=x，则阴影部分的底A′H=x，高A′D=2-x，
∴x (2-x)=1，即 ，
解得： ，
即AA′=1cm．
故答案为：B．
【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2-x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
5．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm，由题意可列方程（　　）
A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24
C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设x秒后，螳螂走了 2x，蝉走了x，MB=10-2x，NC=8-x，
由题意知 (10－2x)(8－x)＝24，
(10－2x)(8－x)＝48，
故答案为：D
【分析】根据点M、N的移动方向及速度，表示出MB、NC的长，再根据△MNB的面积=24，列方程可解答。
二、填空题
6．（2020九上·呼和浩特期末）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为 ，设雕像下部高为 ，则可得到方程　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设雕像下部高为 ，则可得到方程： ，
整理得： ，
故答案为： ．
【分析】设雕像下部高为 ，可得雕像的上部为（2-x）m，根据雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，列出方程即可.
7．（2021八下·通州期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多 尺，门的对角线长 尺，那么门的高和宽各是多少 如果设门的宽为 尺，根据题意，那么可列方程　 　．
【答案】 或
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺，
依题意得：
即 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】设未知数，一般设题目中“比”“是”后面的量为未知数
8．（2021八下·高港期末）我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴.良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即 尺，秋千踏板离地的距离 就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为　 　尺.
【答案】14.5
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理
【解析】【解答】解：设秋千的绳索长为x尺，
由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，
在Rt△OCP′中，由勾股定理得：
（x-4） +10 =x ，
解得：x=14.5，
故答案为：14.5.
【分析】设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=(x-4)尺，CP′=10尺，OP′=x尺，然后在Rt△OCP′中，应用勾股定理求解即可.
9．（2020七下·吴中期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发以每秒2cm的速度沿A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当t=　 　，△APE的面积等于6.
【答案】 或5或9
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵BC＝8cm，点E是BC的中点，
∴CE＝ BC＝4cm，
当点P在线段AC上，如图1所示，
AP＝2t，
∵∠C＝90°，
∴S△APE＝ AP CE＝ = 4t＝6，
解得：t＝ ；
当点P在线段CE上，如图2所示，AC＝6cm，PE＝4-（t-3）=7-t，
∴S△APE＝ PE AC＝ ＝6，
解得：t＝5.
如图3，当P在线段BE上时， PE=t-3-4=t-7，
∴S△APE＝ PE AC＝ ＝6，
解得：t=9，
综上所述，t的值为 或5或9；
故答案为： 或5或9.
【分析】分点P在线段AC上和点P在线段CE上和点P在线段EB上三种情况考虑，根据三角形的面积公式分别列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论.
10．（2018九上·郴州月考）在 中， ， ， ，动点 从 开始向 以 速度移动，点 从 开始向 以 的速度移动，点 到 后停止，点 到 后停止，则能使 面积为 的时间为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】根据题意画出图形，如图所示，
设能使△PBQ面积为15cm2的时间为ts，
∵动点P速度为1cm/s，点Q速度为2cm/s，
∴AP=tcm，CQ=2tcm，
∴CP=AC-AP=（8-t）cm，QB=BC-CQ=（6-2t）cm，
由题意得： QB PC=15，即 （8-t）（6-2t）=15，
整理得：t2-11t+9=0，
解得：t= （不合题意，舍去）或t= ，
则能使△PBQ面积为15cm2的时间为 s，
故答案为： s．
【分析】设能使△PBQ面积为15cm2的时间为ts，用含t的代数式分别表示出AP、CQ、CP、QB的长，再利用△PBQ的面积=15，建立关于t的方程，求解即可。
三、解答题
11．（2021九上·长春月考）如图，把一块长为20cm，宽为15cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为150cm2，求剪去小正方形的边长．
【答案】解：设剪去小正方形的边长为x cm，则纸盒的底面为长（20 2x）cm，宽为（15 2x）cm的长方形，
依题意，得：（20 2x）（15 2x）＝150，
解得： ， (舍)，
∴剪去小正方形的边长为： ．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】先求出 （20 2x）（15 2x）＝150， 再计算求解即可。
12．（2021九上·浦口月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝3cm，点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度运动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度运动.如果P、Q同时出发，运动时间为t（s）（0≤t≤3）.
（1）AP＝　 　cm，AQ＝　 　cm；
（2）t为何值时，△QAP的面积等于2cm2？
【答案】（1）2t；（3-t）
（2）解：由题意得，
整理得，
解得，
答：t为1或2时，△QAP的面积等于2cm2.
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=3cm，∠A=90°，
∴AP=2tcm，AQ=（3-t）cm，
故答案为：2t，（3-t）；
【分析】（1）由矩形的性质得出AD长，然后根据“距离=速度×时间”，列式用含t的代数式表示AP和AQ长即可；
（2）利用（1）的结果，根据△QAP的面积为2，建立关于t的一元二次方程求解即可.
13．（2022·杭州模拟）已知矩形的一边长为2，另一边长为1.
（1）是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？小明是这样想的：小刚是这样想的：
按照小明思路，完成解答：
根据小刚的思路，直接写出两个交点坐标；
（2）如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的 倍 ，求 的取值范围.
【答案】（1）解： 根据题意得：小明可列方程为 ，
解得： ， ，
当 时， ，
当 时， ，
即两矩形是全等的，所以存在这样的矩形符合题意，
这个矩形一边为 ，另一边为 ；
两个交点坐标为： ， ，
（2）解：根据题意知这个矩形周长为12，面积为 ，
设矩形的一边长为 ，则另一边为 ，
则 ，
整理得： ，
由题意得原方程有实数根，
，
，
又 ，
，
即 的取值范围为： .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；分式方程的实际应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）②根据题意得： ，
解得： ， ，
两个交点坐标为： ， ，
【分析】（1）①根据矩形的面积=长×宽，列出方程并解之即可；②联立方程组，解之即得结论；
（2） 由周长是已知矩形周长的2倍，可设矩形的一边长为 ，则另一边为 （6-x） ，根据矩形的面积为2k，可得方程 ， 由题意知方程有实数根， 可得△≥0，据此即得结论.
14．（2022·广西模拟）如图是一个五边形的空地ABCDE，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∠A＝135°，已知AB＝4m，BC＝8m，CD＝10m，DE＝2m，准备在五边形ABCDE内按如图方式设计一个长方形FGCH铺设木地板，剩下部分铺设地砖.点F，G，H分别在边AE，BC，CD上.
（1）求五边形ABCDE的面积；
（2）若长方形FGCH的面积为35m2，求BG的长.
（3）若铺设木地板的成本为每平方米200元，铺设地砖的成本为每平方米100元，投资7300元能否完成地面铺设？通过计算说明.
【答案】（1）解：过点E、A分别作EM⊥BC于M，作AN⊥EM于点N，如图，
则∠EAN=∠AEN=45°，
∴AN=EN，
∵MN=AB，EM=CD，
∴EN=EM-MN=DC-AB=10-4=6(m)，
∴AN=6(m)，
∴
（2）解：设BG=x m， CG=(8-x)m，设AN、FG交于点P
由（1）得∠EAN =45°，∠APF=90°，AB=PG
是等腰直角三角形
则FG=(4+x)m，
根据题意得，(4+x)(8-x)=35，
解得：x1=1，x2=3，
答：BG的长为1m或3m；
（3）解：设BG=ym，且0由题意得，200(4+y)(8-y)+100[62-(4+y)(8-y)]=7300，
化简，得，y2-4y-21=0，
解得：y1=7，y2=-3均不符合题意，
∴投资7300元不能完成地面铺设.
【知识点】等腰直角三角形；一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）过点E、A分别作EM⊥BC于M，作AN⊥EM于点N，将图形进行分割，可证得∠EAN=∠AEN=45°，利用等角对等边可推出AN=EN，再根据EN=EM-MN，代入计算求出EN的长，即可得到AN的长； 然后根据五边形ABCDE的面积=四边形ABME的面积+四边形MEDC的面积，利用梯形和矩形的面积公式进行计算；
（2）设BG=x m， CG=(8-x)m，设AN、FG交于点P，由（1）易证△AFP是等腰直角三角形，可表示出AP的长及FG的长；然后利用长方形FGCH的面积为35m2， 建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BG的长；
（3）设BG=ym，且015．（2022八下·长兴月考）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为21m和12m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为400m2．
（1）求小路的宽度；
（2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【答案】（1）解：设小路的宽度是xm，
根据题意得：（21+2x）（12+2x）=400．
整理得：4x2+66x-148=0，解得：x1=2，x2=-18.5（舍去）．
答：小路的宽度是2m
（2）解：设每次降价的百分率为y，
依题意得：50（1-y）2=40.5．
解得：y1=0.1，y2=1.9（舍去）．
答：每次降价的百分率为10%．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设小路的宽度时xm，分别表示出整个矩形的长与宽，进而根据矩形的面积计算方法，由活动区和小路的总面积为400m2 ，可列出方程 ，求解得出x的值，再根据题意确定符合题意的小路宽度即可；
（2）此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-y)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可.
16．（初中数学浙教版八下精彩练习第二章一元二次方程章末复习 ）某社区利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示.已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为640平方米.
（1）求通道的宽是多少米.
（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元且使租出的车位较多？
【答案】（1）解：设通道的宽为x米，
根据题意，得（52-2x）（28-2x）=640，
解得x1=34（舍去），x2=6.
答：通道的宽为6米.
（2）解：设每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为14400元，
根据题意，得（200+a）（64- ）=14400，
整理，得a2-440a+16000=0，
解得a1=400，a2=40.
∵要使租出的车位较多，∴a=40
答：每个车位的月租金上涨40元时，停车场的月租金收入为14400元.
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设通道的宽为x米，由图形可得铺花砖的区域的长为52-2x，宽为28-2x，根据面积为640平方米建立方程，求解即可；
（2）设每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为14400元，则实际租金为(200+a)元，减少的车位为，实际的车位为64-，然后根据每个车位的租金×车位数=收入建立方程，求解即可.
17．（2021九上·西安期中）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边 的长；
（2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边 的长；若不能，说明理由．
【答案】（1）解：设AB=x米，由题意可得： ，
∴ ，
解得： ，
∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时， ，
∴ ，
答：边AB的长为15米；
（2）解：由（1）可得： ，
化简得： ，
∴ ，
∴羊圈的总面积不能为500平方米．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设AB=x米，由题意可得x(80-4x)=300，求出x的值，然后根据墙的最大可用长度为30米对x的值进行取舍；
（2）由（1）可得x(80-4x)=500，求解即可判断.
1 / 12022-2023学年苏科版数学九年级上学期1.4.3 一元二次方程应用——几何问题 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·克东期末）如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（　　）
A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s
2．（2021九上·朝阳期中）如图， 中， ， cm， cm，动点 从点 出发沿 边以 cm /秒的速度向点 移动，点 从点 出发，沿 边以 cm /秒的速度向点 移动，如果点 ， 分别从点 ， 同时出发，在运动过程中，设点 的运动时间为 ，则当 的面积为 cm2时， 的值（　　）
A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4
3．（2021九上·宿迁月考）把一块长与宽之比为2：1的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子，如果这个盒子的容积是1500立方厘米，设铁皮的宽为x厘米，则正确的方程是（　　）
A．（2x﹣20）（x﹣20）=1500 B．10（2x﹣10）（x﹣10）=1500
C．10（2x﹣20）（x﹣20）=1500 D．10（x﹣10）（x﹣20）=1500
4．（2020九上·汾阳月考）如图，将边长 的正方形 沿其对角线 剪开，再把 沿着 方向平移，得到 ，若两个三角形重叠部分的面积为 ，则它移动的距离 等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm，由题意可列方程（　　）
A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24
C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48
二、填空题
6．（2020九上·呼和浩特期末）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为 ，设雕像下部高为 ，则可得到方程　 　．
7．（2021八下·通州期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多 尺，门的对角线长 尺，那么门的高和宽各是多少 如果设门的宽为 尺，根据题意，那么可列方程　 　．
8．（2021八下·高港期末）我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴.良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即 尺，秋千踏板离地的距离 就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为　 　尺.
9．（2020七下·吴中期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发以每秒2cm的速度沿A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当t=　 　，△APE的面积等于6.
10．（2018九上·郴州月考）在 中， ， ， ，动点 从 开始向 以 速度移动，点 从 开始向 以 的速度移动，点 到 后停止，点 到 后停止，则能使 面积为 的时间为　 　．
三、解答题
11．（2021九上·长春月考）如图，把一块长为20cm，宽为15cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为150cm2，求剪去小正方形的边长．
12．（2021九上·浦口月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝3cm，点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度运动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度运动.如果P、Q同时出发，运动时间为t（s）（0≤t≤3）.
（1）AP＝　 　cm，AQ＝　 　cm；
（2）t为何值时，△QAP的面积等于2cm2？
13．（2022·杭州模拟）已知矩形的一边长为2，另一边长为1.
（1）是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？小明是这样想的：小刚是这样想的：
按照小明思路，完成解答：
根据小刚的思路，直接写出两个交点坐标；
（2）如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的 倍 ，求 的取值范围.
14．（2022·广西模拟）如图是一个五边形的空地ABCDE，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∠A＝135°，已知AB＝4m，BC＝8m，CD＝10m，DE＝2m，准备在五边形ABCDE内按如图方式设计一个长方形FGCH铺设木地板，剩下部分铺设地砖.点F，G，H分别在边AE，BC，CD上.
（1）求五边形ABCDE的面积；
（2）若长方形FGCH的面积为35m2，求BG的长.
（3）若铺设木地板的成本为每平方米200元，铺设地砖的成本为每平方米100元，投资7300元能否完成地面铺设？通过计算说明.
15．（2022八下·长兴月考）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为21m和12m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为400m2．
（1）求小路的宽度；
（2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
16．（初中数学浙教版八下精彩练习第二章一元二次方程章末复习 ）某社区利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示.已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为640平方米.
（1）求通道的宽是多少米.
（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元且使租出的车位较多？
17．（2021九上·西安期中）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边 的长；
（2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边 的长；若不能，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，
根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102，
解得：x1=2，x2=，
答：当P、Q两点从出发开始到2s或s时，点P和点Q的距离是10cm．
故答案为：D．
【分析】先求出（16-2x-3x）2+82=102，再解方程求出x1=2，x2=，即可作答。
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设经过 秒钟，使 的面积为 ，
， ，
×（6 t）×2t＝8，解得： ，
故答案为：B．
【分析】设经过 秒钟，使 的面积为 ，根据 ， ，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值。
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设铁皮的宽为x厘米，
那么铁皮的长为2x厘米，
依题意得10（2x﹣20）（x﹣20）=1500.
故答案为：C.
【分析】设铁皮的宽为x厘米，则铁皮的长为2x厘米，则长方体的长为2x-20，宽为x-20，高为10，根据长方体的体积公式列式，结合体积为1500，构建方程即可.
4．【答案】B
【知识点】平移的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AC交A′B′于H，
∵AC是正方形 的对角线，
∴∠A=45°，∠D=90°，
∴△A′HA是等腰直角三角形，
设AA′=x，则阴影部分的底A′H=x，高A′D=2-x，
∴x (2-x)=1，即 ，
解得： ，
即AA′=1cm．
故答案为：B．
【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2-x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设x秒后，螳螂走了 2x，蝉走了x，MB=10-2x，NC=8-x，
由题意知 (10－2x)(8－x)＝24，
(10－2x)(8－x)＝48，
故答案为：D
【分析】根据点M、N的移动方向及速度，表示出MB、NC的长，再根据△MNB的面积=24，列方程可解答。
6．【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设雕像下部高为 ，则可得到方程： ，
整理得： ，
故答案为： ．
【分析】设雕像下部高为 ，可得雕像的上部为（2-x）m，根据雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，列出方程即可.
7．【答案】 或
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺，
依题意得：
即 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】设未知数，一般设题目中“比”“是”后面的量为未知数
8．【答案】14.5
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理
【解析】【解答】解：设秋千的绳索长为x尺，
由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，
在Rt△OCP′中，由勾股定理得：
（x-4） +10 =x ，
解得：x=14.5，
故答案为：14.5.
【分析】设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=(x-4)尺，CP′=10尺，OP′=x尺，然后在Rt△OCP′中，应用勾股定理求解即可.
9．【答案】 或5或9
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵BC＝8cm，点E是BC的中点，
∴CE＝ BC＝4cm，
当点P在线段AC上，如图1所示，
AP＝2t，
∵∠C＝90°，
∴S△APE＝ AP CE＝ = 4t＝6，
解得：t＝ ；
当点P在线段CE上，如图2所示，AC＝6cm，PE＝4-（t-3）=7-t，
∴S△APE＝ PE AC＝ ＝6，
解得：t＝5.
如图3，当P在线段BE上时， PE=t-3-4=t-7，
∴S△APE＝ PE AC＝ ＝6，
解得：t=9，
综上所述，t的值为 或5或9；
故答案为： 或5或9.
【分析】分点P在线段AC上和点P在线段CE上和点P在线段EB上三种情况考虑，根据三角形的面积公式分别列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】根据题意画出图形，如图所示，
设能使△PBQ面积为15cm2的时间为ts，
∵动点P速度为1cm/s，点Q速度为2cm/s，
∴AP=tcm，CQ=2tcm，
∴CP=AC-AP=（8-t）cm，QB=BC-CQ=（6-2t）cm，
由题意得： QB PC=15，即 （8-t）（6-2t）=15，
整理得：t2-11t+9=0，
解得：t= （不合题意，舍去）或t= ，
则能使△PBQ面积为15cm2的时间为 s，
故答案为： s．
【分析】设能使△PBQ面积为15cm2的时间为ts，用含t的代数式分别表示出AP、CQ、CP、QB的长，再利用△PBQ的面积=15，建立关于t的方程，求解即可。
11．【答案】解：设剪去小正方形的边长为x cm，则纸盒的底面为长（20 2x）cm，宽为（15 2x）cm的长方形，
依题意，得：（20 2x）（15 2x）＝150，
解得： ， (舍)，
∴剪去小正方形的边长为： ．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】先求出 （20 2x）（15 2x）＝150， 再计算求解即可。
12．【答案】（1）2t；（3-t）
（2）解：由题意得，
整理得，
解得，
答：t为1或2时，△QAP的面积等于2cm2.
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=3cm，∠A=90°，
∴AP=2tcm，AQ=（3-t）cm，
故答案为：2t，（3-t）；
【分析】（1）由矩形的性质得出AD长，然后根据“距离=速度×时间”，列式用含t的代数式表示AP和AQ长即可；
（2）利用（1）的结果，根据△QAP的面积为2，建立关于t的一元二次方程求解即可.
13．【答案】（1）解： 根据题意得：小明可列方程为 ，
解得： ， ，
当 时， ，
当 时， ，
即两矩形是全等的，所以存在这样的矩形符合题意，
这个矩形一边为 ，另一边为 ；
两个交点坐标为： ， ，
（2）解：根据题意知这个矩形周长为12，面积为 ，
设矩形的一边长为 ，则另一边为 ，
则 ，
整理得： ，
由题意得原方程有实数根，
，
，
又 ，
，
即 的取值范围为： .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；分式方程的实际应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）②根据题意得： ，
解得： ， ，
两个交点坐标为： ， ，
【分析】（1）①根据矩形的面积=长×宽，列出方程并解之即可；②联立方程组，解之即得结论；
（2） 由周长是已知矩形周长的2倍，可设矩形的一边长为 ，则另一边为 （6-x） ，根据矩形的面积为2k，可得方程 ， 由题意知方程有实数根， 可得△≥0，据此即得结论.
14．【答案】（1）解：过点E、A分别作EM⊥BC于M，作AN⊥EM于点N，如图，
则∠EAN=∠AEN=45°，
∴AN=EN，
∵MN=AB，EM=CD，
∴EN=EM-MN=DC-AB=10-4=6(m)，
∴AN=6(m)，
∴
（2）解：设BG=x m， CG=(8-x)m，设AN、FG交于点P
由（1）得∠EAN =45°，∠APF=90°，AB=PG
是等腰直角三角形
则FG=(4+x)m，
根据题意得，(4+x)(8-x)=35，
解得：x1=1，x2=3，
答：BG的长为1m或3m；
（3）解：设BG=ym，且0由题意得，200(4+y)(8-y)+100[62-(4+y)(8-y)]=7300，
化简，得，y2-4y-21=0，
解得：y1=7，y2=-3均不符合题意，
∴投资7300元不能完成地面铺设.
【知识点】等腰直角三角形；一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）过点E、A分别作EM⊥BC于M，作AN⊥EM于点N，将图形进行分割，可证得∠EAN=∠AEN=45°，利用等角对等边可推出AN=EN，再根据EN=EM-MN，代入计算求出EN的长，即可得到AN的长； 然后根据五边形ABCDE的面积=四边形ABME的面积+四边形MEDC的面积，利用梯形和矩形的面积公式进行计算；
（2）设BG=x m， CG=(8-x)m，设AN、FG交于点P，由（1）易证△AFP是等腰直角三角形，可表示出AP的长及FG的长；然后利用长方形FGCH的面积为35m2， 建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BG的长；
（3）设BG=ym，且015．【答案】（1）解：设小路的宽度是xm，
根据题意得：（21+2x）（12+2x）=400．
整理得：4x2+66x-148=0，解得：x1=2，x2=-18.5（舍去）．
答：小路的宽度是2m
（2）解：设每次降价的百分率为y，
依题意得：50（1-y）2=40.5．
解得：y1=0.1，y2=1.9（舍去）．
答：每次降价的百分率为10%．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设小路的宽度时xm，分别表示出整个矩形的长与宽，进而根据矩形的面积计算方法，由活动区和小路的总面积为400m2 ，可列出方程 ，求解得出x的值，再根据题意确定符合题意的小路宽度即可；
（2）此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-y)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可.
16．【答案】（1）解：设通道的宽为x米，
根据题意，得（52-2x）（28-2x）=640，
解得x1=34（舍去），x2=6.
答：通道的宽为6米.
（2）解：设每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为14400元，
根据题意，得（200+a）（64- ）=14400，
整理，得a2-440a+16000=0，
解得a1=400，a2=40.
∵要使租出的车位较多，∴a=40
答：每个车位的月租金上涨40元时，停车场的月租金收入为14400元.
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设通道的宽为x米，由图形可得铺花砖的区域的长为52-2x，宽为28-2x，根据面积为640平方米建立方程，求解即可；
（2）设每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为14400元，则实际租金为(200+a)元，减少的车位为，实际的车位为64-，然后根据每个车位的租金×车位数=收入建立方程，求解即可.
17．【答案】（1）解：设AB=x米，由题意可得： ，
∴ ，
解得： ，
∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时， ，
∴ ，
答：边AB的长为15米；
（2）解：由（1）可得： ，
化简得： ，
∴ ，
∴羊圈的总面积不能为500平方米．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设AB=x米，由题意可得x(80-4x)=300，求出x的值，然后根据墙的最大可用长度为30米对x的值进行取舍；
（2）由（1）可得x(80-4x)=500，求解即可判断.
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