二项分布及其应用(理)
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课件62张PPT。第七节 二项分布及其应用(理)点 击 考 纲
1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．
2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布．
3.能解决一些简单的实际问题. 关 注 热 点
1.相互独立事件、n次独立重复试验的概率及条件概率是高考重点考查的内容．
2.三种题型均有可能出现，在解答题中常和分布列的有关知识结合在一起考查，属中档题目.(3)条件概率的性质
①条件概率具有一般概率的性质，即 .
②如果B和C是两个互斥事件，即
P(B∪C|A)＝ ．0≤P(B|A)≤1P(B|A)＋P(C|A)
2．事件的相互独立性
设A，B为两个事件，如果P(AB)＝ ，则称事件A与事件B相互独立．P(A)P(B)1．如何判断事件是否相互独立？
提示：(1)利用定义：事件A、B相互独立?P(AB)＝P(A)·P(B)．
(2)利用性质：A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(3)具体背景下：
①有放回地摸球，每次摸球结果是相互独立的．
②当产品数量很大时，不放回抽样也可近似看作独立重复试验．
相同 A B 4．二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生k的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝ (k＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量X服从二项分布，记作 ，并称p为成功概率．Cnkpk(1－p)n－kX～B(n，p)2．如何判断一个试验是不是独立重复试验？
提示：(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
3．如何判断一个随机变量是否服从二项分布？
提示：(1)这个随机变量是不是n次独立重复试验中某事件发生的次数．
(2)这个事件在每次试验中发生的概率是不是确定的．
答案：D 答案：A 3．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )
A．0.12 B．0.42
C．0.46 D．0.88
解析：至少有一人被录取的概率P＝1－(1－0.6)(1－0.7)＝1－0.4×0.3＝1－0.12＝0.88.
答案：D
4．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为________．
解析：P＝C53×(0.80)3×(0.20)2＋C54×(0.80)4×0.20＋(0.80)5≈0.94.
答案：0.94 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．
(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；
(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．【思路导引】 (1)利用古典概型的概率公式求解．
(2)代入条件概率公式求解．
提醒：在等可能事件的问题中，求条件概率第二种方法更易理解．1．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率．
解析：设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：
P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.
根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. (2009·全国卷Ⅰ)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；
(2)设X表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求X的分布列及数学期望．【思路导引】 (1)甲获得这次比赛胜利当且仅当甲先胜2局故分三类．
(2)X的取值为2、3.
【解析】 记Ai表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5，Bj表示事件：第j局已获胜，j＝3,4,5.
(1)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而
B＝A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5， 由于各局比赛结果相互独立，故
P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)
＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6
＝0.648.(2)X的可能取值为2,3.
由于各局比赛结果相互独立，所以
P(X＝2)＝P(A3A4＋B3B4)
＝P(A3A4)＋P(B3B4)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)
＝0.6×0.6＋0.4×0.4
＝0.52，
P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－0.52＝0.48.X的分布列为
E(X)＝2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)
＝2×0.52＋3×0.48
＝2.48.【方法探究】 (1)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．(2)已知两个事件A、B相互独立，它们的概率分别为
P(A)、P(B)，则有(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．(2)寻找ξ与选择民生工程项目的人数η的关系，据η服从二项分布，可求ξ的分布列．故ξ的分布列是【方法探究】 (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)二项分布满足的条件
①每次试验中，事件发生的概率是相同的．
②各次试验中的事件是相互独立的．
③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
即ξ的分布列是(2010·全国Ⅱ，12分)如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p；
(2)求电流能在M与N之间通过的概率；
(3)ξ表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．(3)由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立，
故ξ～B(4,0.9)，Eξ＝4×0.9＝3.6.(12分)
【考向分析】 从近两年的高考试题来看，相互独立事件的概率、n次独立重复试验的概率是考查的热点，题型为解答题，属中档题，主要考查对基本知识的应用及运算能力．
预测2012年高考，相互独立事件的概率，n次独立重复试验仍然是考查的重点，同时应注意二项分布的应用．
答案：B 答案：A 3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A．[0.4,1] B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1)
解析：设事件A发生的概率为p，
则C41p(1－p)3≤C42p2(1－p)2，解得p≥0.4.
答案：A4．某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把．于是，他逐把不重复地试开，则：恰好第三次打开房门锁的概率是________；三次内打开的概率是________．5．(2009·湖北高考)甲、乙、丙三人将参加某项测试．他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．
解析：P1＝0.8×0.6×0.5＝0.24；
P2＝1－(1－0.8)(1－0.6)(1－0.5)＝0.96.
答案：0.24 0.96学习至此，请做课时作业点击进入WORD链接
1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．
2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布．
3.能解决一些简单的实际问题. 关 注 热 点
1.相互独立事件、n次独立重复试验的概率及条件概率是高考重点考查的内容．
2.三种题型均有可能出现，在解答题中常和分布列的有关知识结合在一起考查，属中档题目.(3)条件概率的性质
①条件概率具有一般概率的性质，即 .
②如果B和C是两个互斥事件，即
P(B∪C|A)＝ ．0≤P(B|A)≤1P(B|A)＋P(C|A)
2．事件的相互独立性
设A，B为两个事件，如果P(AB)＝ ，则称事件A与事件B相互独立．P(A)P(B)1．如何判断事件是否相互独立？
提示：(1)利用定义：事件A、B相互独立?P(AB)＝P(A)·P(B)．
(2)利用性质：A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(3)具体背景下：
①有放回地摸球，每次摸球结果是相互独立的．
②当产品数量很大时，不放回抽样也可近似看作独立重复试验．
相同 A B 4．二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生k的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝ (k＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量X服从二项分布，记作 ，并称p为成功概率．Cnkpk(1－p)n－kX～B(n，p)2．如何判断一个试验是不是独立重复试验？
提示：(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
3．如何判断一个随机变量是否服从二项分布？
提示：(1)这个随机变量是不是n次独立重复试验中某事件发生的次数．
(2)这个事件在每次试验中发生的概率是不是确定的．
答案：D 答案：A 3．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )
A．0.12 B．0.42
C．0.46 D．0.88
解析：至少有一人被录取的概率P＝1－(1－0.6)(1－0.7)＝1－0.4×0.3＝1－0.12＝0.88.
答案：D
4．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为________．
解析：P＝C53×(0.80)3×(0.20)2＋C54×(0.80)4×0.20＋(0.80)5≈0.94.
答案：0.94 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．
(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；
(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．【思路导引】 (1)利用古典概型的概率公式求解．
(2)代入条件概率公式求解．
提醒：在等可能事件的问题中，求条件概率第二种方法更易理解．1．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率．
解析：设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：
P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.
根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. (2009·全国卷Ⅰ)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；
(2)设X表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求X的分布列及数学期望．【思路导引】 (1)甲获得这次比赛胜利当且仅当甲先胜2局故分三类．
(2)X的取值为2、3.
【解析】 记Ai表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5，Bj表示事件：第j局已获胜，j＝3,4,5.
(1)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而
B＝A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5， 由于各局比赛结果相互独立，故
P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)
＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6
＝0.648.(2)X的可能取值为2,3.
由于各局比赛结果相互独立，所以
P(X＝2)＝P(A3A4＋B3B4)
＝P(A3A4)＋P(B3B4)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)
＝0.6×0.6＋0.4×0.4
＝0.52，
P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－0.52＝0.48.X的分布列为
E(X)＝2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)
＝2×0.52＋3×0.48
＝2.48.【方法探究】 (1)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．(2)已知两个事件A、B相互独立，它们的概率分别为
P(A)、P(B)，则有(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．(2)寻找ξ与选择民生工程项目的人数η的关系，据η服从二项分布，可求ξ的分布列．故ξ的分布列是【方法探究】 (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)二项分布满足的条件
①每次试验中，事件发生的概率是相同的．
②各次试验中的事件是相互独立的．
③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
即ξ的分布列是(2010·全国Ⅱ，12分)如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p；
(2)求电流能在M与N之间通过的概率；
(3)ξ表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．(3)由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立，
故ξ～B(4,0.9)，Eξ＝4×0.9＝3.6.(12分)
【考向分析】 从近两年的高考试题来看，相互独立事件的概率、n次独立重复试验的概率是考查的热点，题型为解答题，属中档题，主要考查对基本知识的应用及运算能力．
预测2012年高考，相互独立事件的概率，n次独立重复试验仍然是考查的重点，同时应注意二项分布的应用．
答案：B 答案：A 3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A．[0.4,1] B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1)
解析：设事件A发生的概率为p，
则C41p(1－p)3≤C42p2(1－p)2，解得p≥0.4.
答案：A4．某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把．于是，他逐把不重复地试开，则：恰好第三次打开房门锁的概率是________；三次内打开的概率是________．5．(2009·湖北高考)甲、乙、丙三人将参加某项测试．他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．
解析：P1＝0.8×0.6×0.5＝0.24；
P2＝1－(1－0.8)(1－0.6)(1－0.5)＝0.96.
答案：0.24 0.96学习至此，请做课时作业点击进入WORD链接