第三章 勾股定理单元测试题（含答案）
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第三章综合测试题
（满分：100分 时间：60分钟）
一、选择题(每小题3分，共24分)
1.在下列四组数中，属于勾股数的是( )
A.0.3,0.4,0.5 B.9,40,41 C.2,8,10 D.1,2,3
2.如图，有一块长方形空地ABCD， 米,AD=8米，那么从A到C至少要走( )
A.6米 B.8米 C.10米 D.14米
3.如图，分别以直角△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别用S ,S ,S 表示,若 则
A.9 B.5 C.45 D.53
4.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，则下列条件中,能判定△ABC是直角三角形的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.用四个边长分别为a，b，c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的方法计算这个图形的面积，可得( )
6.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°，以AC为直径的圆恰好过点B， BC=6，则阴影部分的面积是( )
A.100π-24 B.100π-48 C.25π-24 D.25π-48
7.如图，圆柱的高为8 cm，底面半径为 cm，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到点B吃食，要爬行的最短路程是( )
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
8.如图，有一张直角三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=5,BC=10,将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为( )
A.1.8 B.2.5 C.3 D.3.75
二、填空题(每小题4分，共24分)
9.在 中, 则
10.如图, 则
11.如图,在高AC为3米，坡面AB的长度为5米的楼梯表面铺上地毯,则至少需要地毯____________米.
12.如图，学校操场边上一块空地(阴影部分)需要绿化，测出CD=6m,AD=8cm,BC=24m,AB=26m,AD⊥CD,那么阴影部分的面积为_____________ .
13.已知直角三角形的两边长分别为3cm，4cm，则以第三边为边的正方形的面积为_______.
14.如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,点D是BC上一点,若AB=8,AD=BD=5,则CD=_________.
三、解答题(共52分)
15. (8分)如图,在△中,D是BC边上的点,
(1)求证: 是直角三角形；
(2)求DC的长.
16. (8分)甲、乙两位探险者到沙漠同一位置开始探险，某日上午8：00，甲先出发，他以6千米/小时的速度向正东方向行走.1小时后乙出发，他以5千米/小时的速度向正北方向行走.当天上午10：00，甲、乙两人相距多远
17.(8分)如图，在一条笔直公路MN的一侧有一村庄A，村庄A到公路MN的距离AB的长为800米，一辆宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传.
(1)请问村庄A的村民能否听到宣传 请说明理由；
(2)已知宣讲车的速度是300米/分钟，如果能听到，那么村庄A的村民能听到多长时间的宣传
18. (8分)如图,在长方形ABCD中,DC=5,在DC上存在一点E,沿AE所在直线折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，若△ABF的面积为30,求△ADE的面积.
19.(10分)观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;……;a,b,c.请根据你发现的规律，回答下列问题：
(1)当a=19时,求b,c的值;
(2)当 时，求b，c的值(用含n的式子表示);
(3)用(2)的结论判断15,111,112是不是一组勾股数，并说明理由.
20.(10分)如图，对任意符合条件的 绕其锐角顶点A逆时针旋转90°得到 连接BE,延长DE、BC,交于点F，易知四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，四边形ABFE的面积等于 和 的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法.
参考答案
1.B 9 +40 =41 ,故选B.
2.C 由题可知 米，如图，连接AC,则 (米 ),∴AC=10米.∴从A到C至少要走10米.故选C.
3.A 在 中, 故选A.
则△ABC是直角三角形； 即 则△是直角三角形；③易知 90°,则
是直角三角形； 则△是直角三角形.故选D.
5.C 根据题意，得大正方形的面积 大正方形的面积
即 故选C.
6.C 在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,BC=6,所以AC=10，所以以AC为直径的圆的半径为5，所以故选C.
7.C 将圆柱侧面展开如图所示，连接AB，由题可知， 根据勾股定理得 故选C.
8.D 由折叠的性质,得 设CD=x,则AD=在 中, 解得 故选D.
9.答案 9
解析 设 在 中,即 所以 所以x=3,所以BC=3x=9.
10.答案 12
解析 ∵AC⊥CE,∴∠C=90°,在Rt△BCE中,在Rt△ACD中,AD=13,CD=5,∴AC =AD -CD =144,∴AC=12.
11.答案 7
解析 由题意知AC=3米,AB=5米,∠ACB=在Rt△ABC中,由勾股定理得BC=4米,在
楼梯表面铺上地毯，至少需要地毯4+3=7(米).
12.答案 96 m
解析 如图,连接AC,∵ADLCD,∴∠ADC=90°,在Rt△ACD中, 为直角三角形， ∴阴影部分的面积
13.答案 或
解析 ①若4cm为直角三角形的斜边长，则以第三边为边的正方形的面积为 ②若3cm，4cm都为直角三角形的直角边长，则以第三边为边的正方形的面积为
综上，以第三边为边的正方形的面积为 或
14.答案 1.4
解析 设 则 在 中,AC
在Rt△ABC中, 所以 解得1.4,所以
15.解析 (1)证明:因为 所以 所以 所以 是直角三角形,∠ADB=90°.
(2)因为 所以∠ADC=90°,在中, 所以
16.解析 如图,甲从上午8:00到上午10:00,一共走了2小时，走了 (千米),即 千米.乙从上午9：00到上午10：00，一共走了1小时，走了 (千米),即 千米.在 中, (千米 ),
所以AB=13千米.故当天上午10：00，甲、乙两人相距13千米.
17.解析 (1)村庄A的村民能听到宣传.
理由：∵村庄A到公路MN的距离AB的长为800米,800米1000米,∴村庄A的村民能听到宣传.
(2)如图，假设当宣讲车行驶到P点时，村庄A的村民开始听到宣传，当行驶过Q点时，村庄A的村民听不到宣传，则 米，又 800米,∴BP =BQ =1000 -800 =600 (米 ),∴BP=BQ=600米, 米, 4(分钟)，∴村庄A的村民能听到4分钟的宣传.
18.解析 由折叠的性质,得AD=AF,DE=EF.
由 得BF=12.
在 中,由勾股定理,得AF=13,所以 ,所以CF=BC-BF=AD-BF=1.
设 则 在 中,
即 解得
所以
19.解析 (1)观察题中给出的勾股数得c-b=1,即c当a=19时, ∴b=180,∴c=181.
(2)由(1)知 当 时,
(3)15,111,112不是一组勾股数.
理由:由(2)知, 为一组勾股数,
当2n+1=15时, ×7不是一组勾股数.
20.解析 由题意可知 所以梯形ACFE
整理得
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第三章综合测试题
（满分：100分 时间：60分钟）
一、选择题(每小题3分，共24分)
1.在下列四组数中，属于勾股数的是( )
A.0.3,0.4,0.5 B.9,40,41 C.2,8,10 D.1,2,3
2.如图，有一块长方形空地ABCD， 米,AD=8米，那么从A到C至少要走( )
A.6米 B.8米 C.10米 D.14米
3.如图，分别以直角△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别用S ,S ,S 表示,若 则
A.9 B.5 C.45 D.53
4.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，则下列条件中,能判定△ABC是直角三角形的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.用四个边长分别为a，b，c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的方法计算这个图形的面积，可得( )
6.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°，以AC为直径的圆恰好过点B， BC=6，则阴影部分的面积是( )
A.100π-24 B.100π-48 C.25π-24 D.25π-48
7.如图，圆柱的高为8 cm，底面半径为 cm，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到点B吃食，要爬行的最短路程是( )
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
8.如图，有一张直角三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=5,BC=10,将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为( )
A.1.8 B.2.5 C.3 D.3.75
二、填空题(每小题4分，共24分)
9.在 中, 则
10.如图, 则
11.如图,在高AC为3米，坡面AB的长度为5米的楼梯表面铺上地毯,则至少需要地毯____________米.
12.如图，学校操场边上一块空地(阴影部分)需要绿化，测出CD=6m,AD=8cm,BC=24m,AB=26m,AD⊥CD,那么阴影部分的面积为_____________ .
13.已知直角三角形的两边长分别为3cm，4cm，则以第三边为边的正方形的面积为_______.
14.如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,点D是BC上一点,若AB=8,AD=BD=5,则CD=_________.
三、解答题(共52分)
15. (8分)如图,在△中,D是BC边上的点,
(1)求证: 是直角三角形；
(2)求DC的长.
16. (8分)甲、乙两位探险者到沙漠同一位置开始探险，某日上午8：00，甲先出发，他以6千米/小时的速度向正东方向行走.1小时后乙出发，他以5千米/小时的速度向正北方向行走.当天上午10：00，甲、乙两人相距多远
17.(8分)如图，在一条笔直公路MN的一侧有一村庄A，村庄A到公路MN的距离AB的长为800米，一辆宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传.
(1)请问村庄A的村民能否听到宣传 请说明理由；
(2)已知宣讲车的速度是300米/分钟，如果能听到，那么村庄A的村民能听到多长时间的宣传
18. (8分)如图,在长方形ABCD中,DC=5,在DC上存在一点E,沿AE所在直线折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，若△ABF的面积为30,求△ADE的面积.
19.(10分)观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;……;a,b,c.请根据你发现的规律，回答下列问题：
(1)当a=19时,求b,c的值;
(2)当 时，求b，c的值(用含n的式子表示);
(3)用(2)的结论判断15,111,112是不是一组勾股数，并说明理由.
20.(10分)如图，对任意符合条件的 绕其锐角顶点A逆时针旋转90°得到 连接BE,延长DE、BC,交于点F，易知四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，四边形ABFE的面积等于 和 的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法.
参考答案
1.B 9 +40 =41 ,故选B.
2.C 由题可知 米，如图，连接AC,则 (米 ),∴AC=10米.∴从A到C至少要走10米.故选C.
3.A 在 中, 故选A.
则△ABC是直角三角形； 即 则△是直角三角形；③易知 90°,则
是直角三角形； 则△是直角三角形.故选D.
5.C 根据题意，得大正方形的面积 大正方形的面积
即 故选C.
6.C 在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,BC=6,所以AC=10，所以以AC为直径的圆的半径为5，所以故选C.
7.C 将圆柱侧面展开如图所示，连接AB，由题可知， 根据勾股定理得 故选C.
8.D 由折叠的性质,得 设CD=x,则AD=在 中, 解得 故选D.
9.答案 9
解析 设 在 中,即 所以 所以x=3,所以BC=3x=9.
10.答案 12
解析 ∵AC⊥CE,∴∠C=90°,在Rt△BCE中,在Rt△ACD中,AD=13,CD=5,∴AC =AD -CD =144,∴AC=12.
11.答案 7
解析 由题意知AC=3米,AB=5米,∠ACB=在Rt△ABC中,由勾股定理得BC=4米,在
楼梯表面铺上地毯，至少需要地毯4+3=7(米).
12.答案 96 m
解析 如图,连接AC,∵ADLCD,∴∠ADC=90°,在Rt△ACD中, 为直角三角形， ∴阴影部分的面积
13.答案 或
解析 ①若4cm为直角三角形的斜边长，则以第三边为边的正方形的面积为 ②若3cm，4cm都为直角三角形的直角边长，则以第三边为边的正方形的面积为
综上，以第三边为边的正方形的面积为 或
14.答案 1.4
解析 设 则 在 中,AC
在Rt△ABC中, 所以 解得1.4,所以
15.解析 (1)证明:因为 所以 所以 所以 是直角三角形,∠ADB=90°.
(2)因为 所以∠ADC=90°,在中, 所以
16.解析 如图,甲从上午8:00到上午10:00,一共走了2小时，走了 (千米),即 千米.乙从上午9：00到上午10：00，一共走了1小时，走了 (千米),即 千米.在 中, (千米 ),
所以AB=13千米.故当天上午10：00，甲、乙两人相距13千米.
17.解析 (1)村庄A的村民能听到宣传.
理由：∵村庄A到公路MN的距离AB的长为800米,800米1000米,∴村庄A的村民能听到宣传.
(2)如图，假设当宣讲车行驶到P点时，村庄A的村民开始听到宣传，当行驶过Q点时，村庄A的村民听不到宣传，则 米，又 800米,∴BP =BQ =1000 -800 =600 (米 ),∴BP=BQ=600米, 米, 4(分钟)，∴村庄A的村民能听到4分钟的宣传.
18.解析 由折叠的性质,得AD=AF,DE=EF.
由 得BF=12.
在 中,由勾股定理,得AF=13,所以 ,所以CF=BC-BF=AD-BF=1.
设 则 在 中,
即 解得
所以
19.解析 (1)观察题中给出的勾股数得c-b=1,即c当a=19时, ∴b=180,∴c=181.
(2)由(1)知 当 时,
(3)15,111,112不是一组勾股数.
理由:由(2)知, 为一组勾股数,
当2n+1=15时, ×7不是一组勾股数.
20.解析 由题意可知 所以梯形ACFE
整理得
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