<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题22 平面向量的数量积
1．（2022·全国乙卷）已知向量 满足 ，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【解析】解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C
2．（2020·新课标Ⅲ·理）已知向量a，b满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ， ， .
，
因此， .
故答案为：D.
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e与b是方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
a∥b的充要条件 a＝λb(λ∈R) x1y2－x2y1＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤
【常用结论】
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
考点一 平面向量数量积的基本运算
【方法总结】计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
1．平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，||
＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cos θ＝，则·＝________.
【答案】－2
【解析】如图所示，
∵＝，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵＝3，
∴＝＋＝＋，
＝－＝－，
又∵||＝4，||＝3，
cos θ＝，
则·＝4×3×＝8，
∴·＝·
＝·－2＋2
＝×8－9＋×42＝－2.
考点二 平面向量数量积的应用
【方法总结】(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
2．已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝____________，|a－3b|＝________.
【答案】2 6
【解析】因为|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，
所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝6×4×＝12，
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，
(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144
＝108，
所以|a＋b|＝2，|a－3b|＝6.
3．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设a与b的夹角为α，
∵(a－b)⊥b，
∴(a－b)·b＝0，
∴a·b＝b2，
∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，
∴cos α＝，∵α∈[0，π]，
∴α＝.
考点三 平面向量的实际应用
【方法总结】用向量方法解决实际问题的步骤
4．若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝ N，F1与F2的夹角为45°，求：
(1)F3的大小；
(2)F3与F1夹角的大小．
【答案】(1)∵三个力平衡，
∴F1＋F2＋F3＝0，
∴|F3|＝|F1＋F2|＝
＝
＝＝1＋.
(2)方法一 设F3与F1的夹角为θ，
则|F2|＝，
即＝，
解得cos θ＝－，
∵θ∈[0，π]，
∴θ＝.
方法二 设F3与F1的夹角为θ，
由余弦定理得
cos(π－θ)＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
【拓展视野】极化恒等式：设a，b为两个平面向量，则有恒等式a·b＝.
如图所示．
(1)在平行四边形ABDC中，＝a，＝b，则a·b＝(||2－||2)．
(2)在△ABC中，＝a，＝b，AM为中线，则a·b＝||2－||2.
5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
【答案】－16
【解析】如图所示，由极化恒等式，易得·＝2－2＝32－52＝－16.
6．已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则·的最小值是________．
【答案】1
【解析】如图所示，由极化恒等式易知，当OP垂直于直线x－y＋2＝0时，·有最小值，即
·＝2－2＝()2－12＝1.
一、单选题
1．（2022·陕西模拟）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知，，
，
所以．
故答案为：B．
2．（2022·惠州模拟）在中，，，，则（ ）
A． B．-30 C．-15 D．15
【答案】C
【解析】．
故答案为：C
3．（2022·新疆三模）如图在△ABC中，，F为AB中点，，，，则（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】A
【解析】因为，，所以.
故答案为：A
4．（2022·南充模拟）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：建立如图直角坐标系，则，
得，
所以，
故答案为：D.
5．（2022·益阳模拟）如图，已知等腰中，，，点是边上的动点，则（ ）
A．为定值10 B．为定值6
C．最大值为18 D．与P的位置有关
【答案】A
【解析】设.
，
因为 ，
，
所以 .
故答案为：A
6．（2022·汕头模拟）在△ABC中，，则△ABC的形状一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
∴BA⊥AC，
∴△ABC为直角三角形，
故答案为：A
7．（2022·眉山模拟）下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知，，，.根据物理学知识得，则（ ）
A．28m B．20m C．31m D．22m
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为，所以∽，
所以，所以，
因为，，
所以，
设，分别为的中点，
因为，
所以，
所以为的中点，
因为，，所以，
所以，
所以，
所以
故答案为：D
8．（2022·红桥模拟）已知为等边三角形，，设点，满足，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，
，
所以，得.
故答案为：C.
9．（2022·淄博模拟）如图在中，，为中点，，，，则（ ）
A．-15 B．-13 C．13 D．14
【答案】C
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
又，，，
则，
即，即，
则，
则，，
则；
故答案为：C．
10．（2022·淄博模拟）正边形内接于单位圆，任取其两个不同顶点、，则的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
可得，因为，所以，，
对于任意给定的向量，满足条件的向量的取法有，
因此，的概率为.
故答案为：B.
二、填空题
11．（2022·全国甲卷）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ，则 ．
【答案】11
【解析】解：由题意得
所以 ．
故答案为：11 ．
12．（2022·全国甲卷）已知向量 ．若 ，则 ．
【答案】 或-0.75
【解析】由题意知： ，解得 .
故答案为： .
13．（2022·焦作模拟）已知，是单位向量，若，则，的夹角为 ．
【答案】
【解析】设，的夹角为，因为，所以，所以，又因为，故。
故答案为：。
14．（2022·安徽模拟）已知向量满足：，则 .
【答案】
【解析】由得，即.
故答案为：.
15．（2022·嵊州模拟）已知平面向量，且，则的最大值是 ；最小值是 ．
【答案】；
【解析】设，
由得：，而，
所以，
故向量：以原点为始点，终点是圆心为，半径为的圆上的点，
结合图象，当时，；
设，代入整理得，，
故为以原点为始点，终点在直线上的点，
故为始点在圆上，终点在上的向量，
又到的距离为，
结合图像，.
故答案为：；．
三、解答题
16．（2021高三上·洛南月考）已知 ， ，且
（1）求 的单调区间.
（2）在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，当 ， ， ，求 的面积.
【答案】（1） ，
令
所以函数 在 ，（ ）单调递增；
令
所以函数 在 ，（ ）单调递减.
（2）由（1）可知
角 为锐角，
由正弦定理，
即三角形为直角三角形，
则
【解析】(1)首先由数量积的坐标公式整理化简函数的解析式，再由正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的单调区间。
(2)由(1)的的结论，把数值代入到函数的解析式，结合三角形的几何性质即可得出角A的值，和由正弦定理代入数值计算出角B以及边C的大小，再把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
17．（2021·吉林模拟）已知 的内角 所对的边分别为 ，若向量 ， ，且
（1）求角
（2）若 ，求角
【答案】（1）解：∵向量 ， ，且 ，
∴ ,
∵ ，∴ ,
∵ ,∴
（2）解：在 中， ， ，由正弦定理得： ，
∴
∵ ,∴ ,∴ 或
【解析】（1）利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再利用数量积的坐标运算，进而求出角B的余弦值，再利用三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值
（2）利用已知条件结合正弦定理，进而求出角A的正弦值，再利用三角形中角A的取值范围，进而求出角A的值。
18．（2022·云南模拟）△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量、满足，，．
（1）求A；
（2）若，，求△ABC的面积．
【答案】（1）解：∵，，，
∴．
∴，即．
∴．
∵，
∴．
（2）解：在△ABD中，由，和余弦定理，
得．
∵D是AC的中点，
∴
∴，化简得，即．
∵，
∴，解得．
∴．
∴△ABC的面积为．
【解析】（1）利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示和余弦定理以及三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值。
（2） 在△ABD中，由，和余弦定理，再利用D是AC的中点，得出，进而化简得出，再利用，得出bc的值，再结合三角形的面积公式得出三角形△ABC的面积。
19．（2022·葫芦岛模拟）如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，为等腰直角三角形，且，，.
（1）求；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）解：取的中点为，连接，如图所示
因为为等腰直角三角形，，是的中点，
所以，，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，过点，作交于，
因为底面是矩形，是的中点，所以是的中点，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
设，因为，所以，
所以，
则，
因为，，解得，所以.
即.
（2）解：由（1）知.
则，，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设二面角所成角为，则
.
所以二面角的余弦值为.
【解析】(1)根据等腰三角形的三线合一及面面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再结合向量垂直的条件即可求解出 的值；
(2)根据(1)得出相关点的坐标，分别求出平面PAM和平面PBM的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出二面角的余弦值.
20．（2022高三上·闵行模拟）已知，
（1）设，求函数的解析式及最大值；
（2）设△ABC的三个内角A B C的对边分别为a b c，当时，，且，求△ABC的面积.
【答案】（1），的最大值为3.
（2）时，，
，
，
由于，所以，
由余弦定理得，
，，
解得或.
当时，，
当时，.
【解析】（1）利用已知条件结合数量积的坐标表示和二倍角的正弦公式，再利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，从而求出函数f(x)的解析式，再结合正弦型函数的图象求最值的方法，进而求出函数的最大值。
（2）当时，，再结合向量共线的坐标表示结合同角三角函数基本关系式，再解方程组求出的值，再利用三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值，再利用余弦定理得出b的值，再结合分类讨论的方法结合三角形的面积公式得出三角形△ABC的面积。<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题22 平面向量的数量积
1．（2022·全国乙卷）已知向量 满足 ，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
2．（2020·新课标Ⅲ·理）已知向量a，b满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e与b是方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
a∥b的充要条件 a＝λb(λ∈R) x1y2－x2y1＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤
【常用结论】
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
考点一 平面向量数量积的基本运算
【方法总结】计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
1．平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，||
＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cos θ＝，则·＝________.
考点二 平面向量数量积的应用
【方法总结】(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
2．已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝____________，|a－3b|＝________.
3．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
考点三 平面向量的实际应用
【方法总结】用向量方法解决实际问题的步骤
4．若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝ N，F1与F2的夹角为45°，求：
(1)F3的大小；
(2)F3与F1夹角的大小．
【拓展视野】极化恒等式：设a，b为两个平面向量，则有恒等式a·b＝.
如图所示．
(1)在平行四边形ABDC中，＝a，＝b，则a·b＝(||2－||2)．
(2)在△ABC中，＝a，＝b，AM为中线，则a·b＝||2－||2.
5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
6．已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则·的最小值是________．
一、单选题
1．（2022·陕西模拟）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·惠州模拟）在中，，，，则（ ）
A． B．-30 C．-15 D．15
3．（2022·新疆三模）如图在△ABC中，，F为AB中点，，，，则（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
4．（2022·南充模拟）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·益阳模拟）如图，已知等腰中，，，点是边上的动点，则（ ）
A．为定值10 B．为定值6
C．最大值为18 D．与P的位置有关
6．（2022·汕头模拟）在△ABC中，，则△ABC的形状一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．（2022·眉山模拟）下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知，，，.根据物理学知识得，则（ ）
A．28m B．20m C．31m D．22m
8．（2022·红桥模拟）已知为等边三角形，，设点，满足，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·淄博模拟）如图在中，，为中点，，，，则（ ）
A．-15 B．-13 C．13 D．14
10．（2022·淄博模拟）正边形内接于单位圆，任取其两个不同顶点、，则的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·全国甲卷）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ，则 ．
12．（2022·全国甲卷）已知向量 ．若 ，则 ．
13．（2022·焦作模拟）已知，是单位向量，若，则，的夹角为 ．
14．（2022·安徽模拟）已知向量满足：，则 .
15．（2022·嵊州模拟）已知平面向量，且，则的最大值是 ；最小值是 ．
三、解答题
16．（2021高三上·洛南月考）已知 ， ，且
（1）求 的单调区间.
（2）在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，当 ， ， ，求 的面积.
17．（2021·吉林模拟）已知 的内角 所对的边分别为 ，若向量 ， ，且
（1）求角
（2）若 ，求角
18．（2022·云南模拟）△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量、满足，，．
（1）求A；
（2）若，，求△ABC的面积．
19．（2022·葫芦岛模拟）如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，为等腰直角三角形，且，，.
（1）求；
（2）求二面角的余弦值.
20．（2022高三上·闵行模拟）已知，
（1）设，求函数的解析式及最大值；
（2）设△ABC的三个内角A B C的对边分别为a b c，当时，，且，求△ABC的面积.
