椭圆及其标准方程
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文档简介
椭圆及其标准方程教学设计
琼中中学 刘彩云
课 题：椭圆及其标准方程（第一课时）
教 材：人教 A版数学（选修2--1）第二章2.2.1
一、教学目标：
1．知识与技能目标：
（1）掌握椭圆定义和标准方程.
（2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题.
2．过程与方法目标：
（1）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力.
（2）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法
3．情感态度与价值观目标：
（1）通过椭圆定义的归纳过程获得培养学生探索数学的兴趣.
（2）通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.
（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.
二、教学重点、难点：
1．重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导。
2．难点：椭圆标准方程的推导。
三、教学过程
【新课引入】
2010年10月1日，中国的航天史又被翻开了新的一页，我国自主研制的嫦娥二号探月卫星升上太空，在太空中探索宇宙的奥秘。这一事件，再一次向世界表明，我们中国人有信心、有能力攀登一个又一个科学高峰。“嫦娥二号”升空后，准确的进入预定轨道，它运行中期的轨道是一个椭圆。
在宇宙中还有许多天体的运行轨道也是椭圆，生活中也有许多椭圆形的实际例子。由此看来，若要探索浩瀚宇宙的奥秘，解决日常生活中与椭圆有关的一些实际问题，需要对椭圆这一图形进行研究。今天我们就来研究什么是椭圆及椭圆的标准方程。那么什么是椭圆呢？
（一）认识椭圆，问题引出:
1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆. （演示：天体运行轨道；生活实例：平面截圆锥等图片）
2．对比圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合。
如果将圆的定义中的“定点”改为“两定点”，“距离”改为“距离的和”，那么平面内到两定点的距离的和等于定长的点的集合（轨迹）是什么图形？
（二）动手实验，亲身体验
指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备直尺、细绳、钉子、笔、纸板），并以此了解椭圆上的点的特征.
请三名同学上台画在黑板上.
注：在本环节中不急于向学生交待椭圆的定义，而是先设计一个实验，一来是为了给学生一个创造实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践，为进一步上升到理论做准备。
先在画板上点两点F1、F2，取一定长的细绳，把它的两端固定在画板上的F1 、F2 两点处。
【演示一】当绳长等于| F1 F2|时，使笔尖贴紧绳子慢慢移动。
（1）、观察：笔尖的轨迹是一个什么图形？ 明确: 一条线段
（2）、这条线段上的每一个点到F1 、F2两点的距离和都相等吗？
明确:相等，而且都等于这条绳长
【演示二】当绳子长大于| F1 F2|时，用笔尖把绳子拉紧，绳子尽量贴紧画板，使笔尖在画板上慢慢移动（学生亲手画），就可以在平面内画出一个椭圆（动画演示）
（三）归纳定义，完善定义
【引导】根据画图的过程，请同学们思考椭圆上的点有什么共同特征？
提问：（1）在画图的过程中，绳长变了吗？ 明确: 没有
（2）在画图过程中，绳子始终是紧绷的，那么我们画出的曲线上的点到F1 、F2两点的距离之和始终满足什么关系？
明确:与绳长相等.
对，绳长没有发生变化，这说明椭圆上每一点到F1 、F2两点的距离的和都相等，且都是绳长这一定值。这就说明，椭圆上的点除了要满足到两定点F1 、F2的距离和相等之外，这个距离和还要比| F1 F2|大。
请大家回想刚才的画图过程，使笔尖贴紧绳子且贴紧黑板（表明在同一平面内），又保证绳长大于| F1 F2|，这样就在平面内画出了椭圆，所有具有这些特征的点集在一起就形成了椭圆。
那么请同学们给椭圆下个定义吧！
引导学生归纳出椭圆的定义。
椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
（四）合理建系，推导方程
为了进一步研究椭圆的特征，现在我们一起来推导椭圆的曲线方程:由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较，从中选择比较简洁优美的形式确定为标准方程.
已知椭圆的焦距，椭圆上的动点到两定点,的距离之和为，求椭圆的方程.
如图1，以两个定点,所在直线为轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设，点为椭圆上任意一点，则
（称此式为几何条件）
所以，得 （实现集合条件代数化）
为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得
将这个方程两边平方，得
（x+c）2+y2 = 4a2 －4a，
整理得
上式两边再平方，得
,
整理得
注：这是本节的难点所在，通过课堂精心设问来突破难点：
1. 化简含有根号的式子时，我们通常用什么方法？
2. 对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？
由于化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，估计学生容易想到直接平方，这时可让学生预测这样化简的难度，从而确定移项平方可以简化计算。为此，我首先启发学生如何去掉根号较好，让学生动手比较，最后得出移项平方化简方程比较简单，这样有利于培养学生的分析比较能力。
方程 结构较复杂，不便记忆，还可以继续化简吗？
由椭圆的定义可知，2a＞2c,即a＞c,所以＞0
两边同除以，得
.
因为＞0不妨令，那么所得的椭圆方程可化为：
， （1）
我们称方程（1）为椭圆的标准方程.它的焦点在轴上。
注：这里引入正数b（令b2=a2-c2）,其目的是使方程形式简单、和谐，讲究对称美，便于记忆。同时b具有特定的几何意义，我们将在下一小节继续学习。
对标准方程的理解：
所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点。
问题：如果焦点,在y轴上，且,的坐标分别为：（0，-c）,(0,c), a ,b意义同上，那么椭圆的方程是什么呢？
可让学生先猜想结论：（a＞b＞0），并说明理由。
让学生通过对 进行观察，与前面对比。
实际上只要将前面的轴与y轴互换，就可得到焦点在y轴的椭圆的标准方程：
， （2）
两种标准方程特点的比较：
1. 两个方程中都有：a2＝b2+c2，a>b>0, a>c>0,b与c大小不定。
2. 两个方程焦点位置的确定：哪个分式的分母大，焦点就在哪个轴上。
（五）应用举例，小结升华.
练习：
1：如果椭圆 上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离是-------------
2：如果点M(X,Y)在运动中满足关系式 点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程。
例题1： 判定下列椭圆的焦点在x轴还是y轴上，写出焦点坐标及焦距.
例2.已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0），（2，0），并经过点 ，求它的标准方程。
分析：法一：可由椭圆的定义先求出2a,又已知c,故可求出方程。
法二：由焦点坐标知道a , b的关系，再将已知点代入椭圆方程。
解法一、椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
（a＞b＞0）.
由椭圆的定义知
2a =,
所以a =
又因为c = 2 ，所以b2 = a2 – c2 = 10 – 4 = 6 .
因此，所求椭圆的标准方程为
解法二：因为c = 2 ,所以 a2 = b2 + 4
所以可设椭圆方程为：
把点（代入，可解得b2 = 6 .所以a2 = 10.
因此，所求标准方程为.
巩固练习：
已知B、C是两个定点，︱BC︱=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。
课堂小结、教学反思：
由学生总结本节课所学习到的知识和思想方法，教师根据学生的总结做适当补充、归纳、点评：
1．知识总结：椭圆的定义，椭圆的标准方程 。
2．思想方法总结：分类讨论，待定系数法，数形结合。
琼中中学 刘彩云
课 题：椭圆及其标准方程（第一课时）
教 材：人教 A版数学（选修2--1）第二章2.2.1
一、教学目标：
1．知识与技能目标：
（1）掌握椭圆定义和标准方程.
（2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题.
2．过程与方法目标：
（1）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力.
（2）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法
3．情感态度与价值观目标：
（1）通过椭圆定义的归纳过程获得培养学生探索数学的兴趣.
（2）通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.
（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.
二、教学重点、难点：
1．重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导。
2．难点：椭圆标准方程的推导。
三、教学过程
【新课引入】
2010年10月1日，中国的航天史又被翻开了新的一页，我国自主研制的嫦娥二号探月卫星升上太空，在太空中探索宇宙的奥秘。这一事件，再一次向世界表明，我们中国人有信心、有能力攀登一个又一个科学高峰。“嫦娥二号”升空后，准确的进入预定轨道，它运行中期的轨道是一个椭圆。
在宇宙中还有许多天体的运行轨道也是椭圆，生活中也有许多椭圆形的实际例子。由此看来，若要探索浩瀚宇宙的奥秘，解决日常生活中与椭圆有关的一些实际问题，需要对椭圆这一图形进行研究。今天我们就来研究什么是椭圆及椭圆的标准方程。那么什么是椭圆呢？
（一）认识椭圆，问题引出:
1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆. （演示：天体运行轨道；生活实例：平面截圆锥等图片）
2．对比圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合。
如果将圆的定义中的“定点”改为“两定点”，“距离”改为“距离的和”，那么平面内到两定点的距离的和等于定长的点的集合（轨迹）是什么图形？
（二）动手实验，亲身体验
指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备直尺、细绳、钉子、笔、纸板），并以此了解椭圆上的点的特征.
请三名同学上台画在黑板上.
注：在本环节中不急于向学生交待椭圆的定义，而是先设计一个实验，一来是为了给学生一个创造实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践，为进一步上升到理论做准备。
先在画板上点两点F1、F2，取一定长的细绳，把它的两端固定在画板上的F1 、F2 两点处。
【演示一】当绳长等于| F1 F2|时，使笔尖贴紧绳子慢慢移动。
（1）、观察：笔尖的轨迹是一个什么图形？ 明确: 一条线段
（2）、这条线段上的每一个点到F1 、F2两点的距离和都相等吗？
明确:相等，而且都等于这条绳长
【演示二】当绳子长大于| F1 F2|时，用笔尖把绳子拉紧，绳子尽量贴紧画板，使笔尖在画板上慢慢移动（学生亲手画），就可以在平面内画出一个椭圆（动画演示）
（三）归纳定义，完善定义
【引导】根据画图的过程，请同学们思考椭圆上的点有什么共同特征？
提问：（1）在画图的过程中，绳长变了吗？ 明确: 没有
（2）在画图过程中，绳子始终是紧绷的，那么我们画出的曲线上的点到F1 、F2两点的距离之和始终满足什么关系？
明确:与绳长相等.
对，绳长没有发生变化，这说明椭圆上每一点到F1 、F2两点的距离的和都相等，且都是绳长这一定值。这就说明，椭圆上的点除了要满足到两定点F1 、F2的距离和相等之外，这个距离和还要比| F1 F2|大。
请大家回想刚才的画图过程，使笔尖贴紧绳子且贴紧黑板（表明在同一平面内），又保证绳长大于| F1 F2|，这样就在平面内画出了椭圆，所有具有这些特征的点集在一起就形成了椭圆。
那么请同学们给椭圆下个定义吧！
引导学生归纳出椭圆的定义。
椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
（四）合理建系，推导方程
为了进一步研究椭圆的特征，现在我们一起来推导椭圆的曲线方程:由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较，从中选择比较简洁优美的形式确定为标准方程.
已知椭圆的焦距，椭圆上的动点到两定点,的距离之和为，求椭圆的方程.
如图1，以两个定点,所在直线为轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设，点为椭圆上任意一点，则
（称此式为几何条件）
所以，得 （实现集合条件代数化）
为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得
将这个方程两边平方，得
（x+c）2+y2 = 4a2 －4a，
整理得
上式两边再平方，得
,
整理得
注：这是本节的难点所在，通过课堂精心设问来突破难点：
1. 化简含有根号的式子时，我们通常用什么方法？
2. 对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？
由于化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，估计学生容易想到直接平方，这时可让学生预测这样化简的难度，从而确定移项平方可以简化计算。为此，我首先启发学生如何去掉根号较好，让学生动手比较，最后得出移项平方化简方程比较简单，这样有利于培养学生的分析比较能力。
方程 结构较复杂，不便记忆，还可以继续化简吗？
由椭圆的定义可知，2a＞2c,即a＞c,所以＞0
两边同除以，得
.
因为＞0不妨令，那么所得的椭圆方程可化为：
， （1）
我们称方程（1）为椭圆的标准方程.它的焦点在轴上。
注：这里引入正数b（令b2=a2-c2）,其目的是使方程形式简单、和谐，讲究对称美，便于记忆。同时b具有特定的几何意义，我们将在下一小节继续学习。
对标准方程的理解：
所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点。
问题：如果焦点,在y轴上，且,的坐标分别为：（0，-c）,(0,c), a ,b意义同上，那么椭圆的方程是什么呢？
可让学生先猜想结论：（a＞b＞0），并说明理由。
让学生通过对 进行观察，与前面对比。
实际上只要将前面的轴与y轴互换，就可得到焦点在y轴的椭圆的标准方程：
， （2）
两种标准方程特点的比较：
1. 两个方程中都有：a2＝b2+c2，a>b>0, a>c>0,b与c大小不定。
2. 两个方程焦点位置的确定：哪个分式的分母大，焦点就在哪个轴上。
（五）应用举例，小结升华.
练习：
1：如果椭圆 上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离是-------------
2：如果点M(X,Y)在运动中满足关系式 点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程。
例题1： 判定下列椭圆的焦点在x轴还是y轴上，写出焦点坐标及焦距.
例2.已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0），（2，0），并经过点 ，求它的标准方程。
分析：法一：可由椭圆的定义先求出2a,又已知c,故可求出方程。
法二：由焦点坐标知道a , b的关系，再将已知点代入椭圆方程。
解法一、椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
（a＞b＞0）.
由椭圆的定义知
2a =,
所以a =
又因为c = 2 ，所以b2 = a2 – c2 = 10 – 4 = 6 .
因此，所求椭圆的标准方程为
解法二：因为c = 2 ,所以 a2 = b2 + 4
所以可设椭圆方程为：
把点（代入，可解得b2 = 6 .所以a2 = 10.
因此，所求标准方程为.
巩固练习：
已知B、C是两个定点，︱BC︱=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。
课堂小结、教学反思：
由学生总结本节课所学习到的知识和思想方法，教师根据学生的总结做适当补充、归纳、点评：
1．知识总结：椭圆的定义，椭圆的标准方程 。
2．思想方法总结：分类讨论，待定系数法，数形结合。