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人教A版必修一第一章1.1集合的概念与基本关系教学设计
课题 单元 1 学科 数学 年级 高一
教材分析
学习 目标 1．通过实例了解集合的含义； 2.理解集合中元素的特征； 3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．
重点 常见的数集及其范围
难点 集合元素的特征
一、元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．
二、元素与集合的关系
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A “a属于A”
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A “a不属于A”
三、常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 或
考点一：确定性
例1. 下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与1非常接近的全体实数
B．某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．与无理数相差很小的全体实数
【答案】B
【详解】
A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.
故选：B
变式1：下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ）
A．2007年所有的欧盟国家 B．校园中长的高大的树木
C．学校篮球水平较高的学生 D．中国经济发达的城市
【答案】A
【详解】
A：因为2007年欧盟国家是确定的，所以本选项符合题意；
B：因为不确定什么样子的树木叫高大的树木，所以本选项不符合题意；
C：因为不确定篮球水平较高是一种什么水平，所以本选项不符合题意；
D：因为不确定经济水平什么样叫发达，所以本选项不符合题意，
故选：A
变式2：下列各组对象：①接近于的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点的距离等于的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体.其中能构成集合的组数有（ ）
A．组 B．组 C．组 D．组
【答案】A
【详解】
①“接近于的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；
②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；
③“平面上到点的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；
④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；
⑤“的近似值的全体的对象”不确定，不能构成集合；
故③④正确.
故选：A.
变式3：下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．新冠肺炎死亡率低的国家 B．19世纪中国平均气温较高的年份
C．一组对边平行的四边形 D．的近似值
【答案】C
【详解】
解：只要一组对边平行的四边形都在选项C这个全体中，那么C中所有对象能构成一个集合，
而选项A，B，D都没有明确的判定标准判定个体是否在全体中.
故选：C.
考点二：互异性
集合中的元素互相不相同
例2．若，则a的值为（ ）
A．-1或1或2 B．-1或1 C．-1或2 D．2
【答案】D
【解析】【解答】因为，
所以或3或，
当时，即，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，即，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意.
故答案为：D
变式1：已知 0， ，则实数x的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．±1
【答案】C
【解析】【解答】解：当x2=1时，x=±1，当x=1，集合为{1,0,1}，不符合，故舍去；当x=-1，集合为{1,0,-1}符合要求，故x=-1,
当x2=0时，x=0，此时集合为{1,0,0}，不符合，故舍去，
当x2=x时，x=0或1，此时集合为{1,0,0}或{1,0,1}，不符合，故舍去，
故答案为：C
变式2：若 ，则 的可能值为（ ）
A．0，2 B．0，1 C．1，2 D．0，1，2
【答案】A
【解析】【解答】因为 ，
当 时，集合为 ，不成立；
当 时，集合为 ，成立；
当 时，则 （舍去）或 ，当 时，集合为 ，成立；
∴ 或 。
故答案为：A
变式3：若 ，则t的值是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．0或1或-1
【答案】C
【解析】【解答】由题意， ，
⑴若 ，则集合为 ，集合中有两个相同的元素，不满足互异性，不成立；
⑵若 ，则 ，由（1） ，故 ，则集合为 ，成立；
⑶若 ，则 ，则集合为 ，集合中有两个相同的元素，不满足互异性，不成立；
综上所述： 。
故答案为：C
考点三：元素与集合的关系
元素与集合之间只能用属于（）和不属于（）.
例3．若集合 ，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】 ，
，A符合题意，B不符合题意； ，C不符合题意； ，D不符合题意.
故答案为：A.
变式1：下列四个结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】① ，正确；
② ，因为 ，所以错误；
③ ，正确；
④ ，因为 表示集合中有一个元素，是“0”，但是 表示集合中一个元素也没有，所以错误.
故答案为：B
变式2：已知集合 ，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵ ，∴ ，所以A、B、D不符合题意，
由空集是任何集合的子集，可得C符合题意.
故答案为：C.
变式3：若集合中的元素满足，且，则下列各式正确的是（ ）
A．，且 B．，且
C．且 D．，且
【答案】D
【详解】
因为，，所以，.
故选：D
考点四：元素的个数
例3．集合 中的元素个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】 ， 中的元素个数为3.
故答案为：C.
变式1：若集合 有且只有一个元素，则实数 的取值集合为 ．
【答案】
【解析】【解答】当 时，则有 ，合乎题意；
当 时，由题意可得 ，解得 .
综上所述，实数 的取值集合为 .
故答案为： .
变式2：已知集合 ， ，则集合B中的元素个数为 ．
【答案】13
【解析】【解答】将x，y及 的值列表如下，去掉重复的值，可知集合 中的元素个数为13．
1 2 3 4 6
1 1 2 3 4 6
2 1 2 3
3 1 2
4 1
6 1
故答案为：13
课后练习
1、能够组成集合的是（ ）
A．与2非常数接近的全体实数
B．很著名的科学家的全体
C．某教室内的全体桌子
D．与无理数相差很小的数
【答案】C
【详解】
解：A.与2非常接近的数不确定，∴不能构成集合；
B.“很著名”，怎么算很著名，不确定，∴不能构成集合；
C.某教室内的桌子是确定的，∴可构成集合；
D.“相差很小”，怎么算相差很小是不确定的，∴不能构成集合.
故选：C.
2、下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．上课迟到的学生 B．年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于的正整数
【答案】B
【详解】
上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；年高考数学难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合；小于的正整数分别为，所以能够组成集合.
故选：
3、下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．所有的正方形 B．方程的整数解
C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员
【答案】C
【详解】
对于A选项，“所有的正方形”对象是明确的，故能构成集合；
对于B选项，“方程的整数解”的对象是明确的，故能构成集合；
对于C选项，“较长”不是一个确定的范围，“我国较长的河流”的对象不明确，故不能构成集合；
对于D选项，“出席十九届四中全会的全体中央委员”的对象是明确的，故能构成集合.
故选：C.
4、下列判断正确的个数为（ ）
（1）所有的等腰三角形构成一个集合；
（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；
（3）质数的全体构成一个集合；
（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
在（1）中，所有的等腰三角形构成一个集合，故（1）正确；
在（2）中，若，则a2＝1，∴a＝±1，构成的集合为{1，﹣1}，故（2）正确；
在（3）中，质数的全体构成一个集合，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在，故（3）正确；
在（4）中，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2，3，4，6}，含4个元素，故（4）错误．
故选：C
5、已知集合中的元素为，若，则实数的值为（ ）
A．1或 B．1 C． D．或0
【答案】C
【详解】
当时，得，此时，不满集合中元素的互异性，不合题意；
当时，得，若，则，不满集合中元素的互异性，不合题意；若，则，满足.
故选：C
6、下列关系中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥.
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【详解】
由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确；
在②中，，故②正确；在③中，，故③错误；在④中，，故④错误；
在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.
故选：D.
7、已知集合 ，则 A（填 或 ）.
【答案】
【解析】【解答】 ，
∴ ，即 ，
∴ A。
故答案为： 。
8、已知集合 ，若A中至多只有一个元素，求a取值范围.
【答案】当 时， ，符合题意；
当 时，若集合A中至多只有一个元素，
则方程 无实数根或有两个相等实根，所以 即 ；
所以a取值范围为 或 .
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课题 单元 1 学科 数学 年级 高一
教材分析
学习 目标 1．通过实例了解集合的含义； 2.理解集合中元素的特征； 3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．
重点 常见的数集及其范围
难点 集合元素的特征
一、元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．
二、元素与集合的关系
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A “a属于A”
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A “a不属于A”
三、常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 或
考点一：确定性
例1. 下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与1非常接近的全体实数
B．某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．与无理数相差很小的全体实数
变式1：下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ）
A．2007年所有的欧盟国家 B．校园中长的高大的树木
C．学校篮球水平较高的学生 D．中国经济发达的城市
变式2：下列各组对象：①接近于的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点的距离等于的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体.其中能构成集合的组数有（ ）
A．组 B．组 C．组 D．组
变式3：下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．新冠肺炎死亡率低的国家 B．19世纪中国平均气温较高的年份
C．一组对边平行的四边形 D．的近似值
考点二：互异性
集合中的元素互相不相同
例2．若，则a的值为（ ）
A．-1或1或2 B．-1或1 C．-1或2 D．2
变式1：已知 0， ，则实数x的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．±1
变式2：若 ，则 的可能值为（ ）
A．0，2 B．0，1 C．1，2 D．0，1，2
变式3：若 ，则t的值是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．0或1或-1
考点三：元素与集合的关系
元素与集合之间只能用属于（）和不属于（）.
例3．若集合 ，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
变式1：下列四个结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2：已知集合 ，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3：若集合中的元素满足，且，则下列各式正确的是（ ）
A．，且 B．，且
C．且 D．，且
考点四：元素的个数
例3．集合 中的元素个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式1：若集合 有且只有一个元素，则实数 的取值集合为 ．
变式2：已知集合 ， ，则集合B中的元素个数为 ．
课后练习
1、能够组成集合的是（ ）
A．与2非常数接近的全体实数
B．很著名的科学家的全体
C．某教室内的全体桌子
D．与无理数相差很小的数
2、下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．上课迟到的学生 B．年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于的正整数
3、下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．所有的正方形 B．方程的整数解
C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员
4、下列判断正确的个数为（ ）
（1）所有的等腰三角形构成一个集合；
（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；
（3）质数的全体构成一个集合；
（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．
A．1 B．2 C．3 D．4
5、已知集合中的元素为，若，则实数的值为（ ）
A．1或 B．1 C． D．或0
6、下列关系中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥.
A．6 B．5 C．4 D．3
7、已知集合 ，则 A（填 或 ）.
8、已知集合 ，若A中至多只有一个元素，求a取值范围.
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