24.2.2 直线和圆的位置关系（3） 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
24.2.2 直线和圆的位置关系（3）
人教版九年级上册
教学目标
教学目标：1. 掌握切线长的定义及切线长定理；
2. 运用切线长定理进行计算与证明；
3. 掌握三角形的内切圆和内心.
教学重点:掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
教学难点：学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.
同学们玩过空竹吗？在空竹旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
新知导入
情境引入
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？
问题2 过圆外一点作圆的切线，可以作几条？
P
O
B
A
O.
P
A
B
新知讲解
合作学习
P
A
O
切线长：
切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．
P
A
O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
思考：切线长与切线的区别？
探究：已知PA、PB为⊙O的两条切线，切点分别为A、B，沿着直线OP把圆对折，PA与PB，∠OPA与∠OPB有什么关系
PA=PB，∠OPA=∠OPB
O
P
A
B
你能证明此结论吗？
证明：连接OA、OB
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB
∵PA、PB为⊙O两条切线
∴OA⊥PA，OB⊥PB
O
P
A
B
∵OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP
探究：已知PA、PB为⊙O两条切线，切点分别为A、B，沿着直线OP把圆对折，还有其他结论成立吗
OP垂直平分AB
O
P
A
B
提炼概念
为证明线段相等、角相等提供新的方法.
切线长定理:
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
符号语言:
O.
P
A
B
思考:若连接两切点A、B，AB交OP于点C.你又能得出什么新的结论 并给出证明.
OP垂直平分AB.
证明：∵PA、PB是⊙O的切线，点A，B是切点，
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.
∴OP垂直平分AB.
O.
P
A
B
C
还有吗？
（1）图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）图中所有的等腰三角形
△ABP 、△AOB
（2）图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
O.
P
A
B
温馨提示：切线长定理为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直提供了新的方法.
小杨在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
思考
思考1：如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
O
O
O
O
最大的圆与三角形三边都相切
合作探究
三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？
思考2： 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
(1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？
(2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？
圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.
三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.
圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.
为什么呢？
合作探究
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
M
N
D
作法：
1.作∠ABC和∠ACB的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC，垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
做一做
A
B
C
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
B
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3.这个三角形叫做圆的外切三角形.
4.三角形的内心就是三角形的三个内角平分线的交点.
┐
A
C
O
┐
┐
D
E
F
提示：三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
⊙O是△ABC的内切圆，
点O是△ABC的内心，△ABC是⊙O的外切三角形,
OD=OE=OF.
典例精讲
C
例2 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长.
解：设AF=x，则AE=x，
CD=CE=AC-AE=13-x，
BD=BF =AB -AF=9-x.
由BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
解得x=4.
∴AF=4，BD=5，CE=9．
归纳概念
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边
垂直平分线的交点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
外心与内心的区别：
A
B
O
A
B
C
O
C
课堂练习
20 °
4
B
P
O
A
第2题
1.如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，下列结论中，错误的是（　　）
A．∠APO =∠BPO B．PA = PB
C．AB ⊥OP D．PA = P0
D
B
P
O
A
第1题
2.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如AP=4, ∠APB = 40 ° ,则∠APO = , PB = .
3.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠P= 50 °，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= .
65 °或115 °
B
P
O
A
第3题
4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3, BD+CE=12, 则△ABC的周长是 .
A
B
C
F
E
D
O
第4题
24
5.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为，求△ABC的面积. （提示：设内心为O，连接OA、OB、OC）
解：如图, 设三个切点分别为D,E,F.
连接OD, OE, OF.
= + +
= ×AB×r+ ×BC×r+ ×AC×r
= ×(AB +BC +AC )×r
= r
┐
A
C
O
┐
┐
D
E
F
B
6. 如图，某镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象. 已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米. 请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？
A
C
B
古镇区
镇商业区
镇工业区
.M
由题意知MD=ME=MF
在Rt△ABC中，根据勾股定理的
证明：过点M作MD⊥AC，ME⊥BC，MF⊥AB
∴MD=ME=MF=10（米）
∵AC⊥CB
∴∠C＝90°
A
C
B
古镇区
镇商业区
镇工业区
.M
E
D
F
课堂总结
21cnjy
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
依据
提供了证线段和
角相等的方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化到某条边上，从而建立方程，求线段的长.
有关概念
内心、三角形的内切圆、圆的外切三角形
应用
重要结论
只适合于直角三角形
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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