【核心素养目标】24.2.2 直线和圆的位置关系（3） 学案

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24.2.2 直线和圆的位置关系（3）导学案
课题 24.2.2 直线和圆的位置关系（3） 单元 第24单元 学科 数学 年级 九年级（上）
教材分析 为证明线段相等、角相等提供新的方法.解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。（1）分别连结圆心和切点（2）连结两切点（3）连结圆心和圆外一点.
核心素养分析 切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据.必须掌握并能灵活应用.培养几何直观和推理能力等核心素养.
学习目标 1. 掌握切线长的定义及切线长定理；
2. 运用切线长定理进行计算与证明；3. 掌握三角形的内切圆和内心.
重点 运用切线长定理进行计算与证明。
难点 掌握三角形的内切圆和内心。
教学过程
课前预学 引入思考 1、如图所示，直线AB和圆O的位置关系是________，有_______个交点。点到圆心的距离OP_____问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？●归纳：如图，过圆外一点P有_______条直线分别与⊙O相切．经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间___________的长，叫做这点到圆的切线长．想一想：根据你对切线、切线长的理解，你能说一说切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？问题2 PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．（拿出事先准备好的图片，然后自己动手操作）回答下列问题：OB是☉O的一条半径吗？PB是☉O的切线吗？PA、PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？通过上述操作，你发现了什么？请证明你所发现的结论。●归纳：切线长定理：从圆外一点可以引圆的_____条切线，它们的切线长_____，这一点和圆心的连线______两条切线的夹角．几何语言：∵PA、PB分别切☉O于A、B∴_________，____________． 问题3 PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。（1）写出图中所有的垂直关系：_______________________（2）写出图中与∠OAC相等的角：_______________________（3）写出图中所有的全等三角形：_______________________（4）写出图中所有的等腰三角形：_______________________（5）若PA=4、PD=2，求半径OA：_______________________知识点2、三角形的内切圆及作法思考：右图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径.如何找到这个圆心呢？ ●归纳：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的_______，内切圆的圆心是三角形三条__________的交点，叫做三角形的______．这个三角形叫做这个圆的________.知识点3、三角形的内心和性质三角形的内心在三角形的________上、三角形的内心到三角形的_______距离相等. 同学们，通过前面的学习我们知道了三角形有两“心” ，你能说一说二者有什么区别吗？三角形外接圆 三角形内切圆
新知讲解 提炼概念●归纳：切线和切线长是两个不同的概念：1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。典例精讲 例：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB都分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13，求AF，BD，CE的长．
课堂练习 巩固训练 1.如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，下列结论中，错误的是（　　） A．∠APO =∠BPO B．PA = PB C．AB ⊥OP D．PA = P0 2.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如AP=4, ∠APB = 40 ° ,则∠APO = , PB = . 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠P= 50 °，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= . 4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3, BD+CE=12, 则△ABC的周长是 .5.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积. （提示：设内心为O，连接OA、OB、OC）6.如图，某镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象. 已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米. 请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？答案引入思考问题2 PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．（拿出事先准备好的图片，然后自己动手操作）回答下列问题：OB是☉O的一条半径吗？PB是☉O的切线吗？PA、PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？通过上述操作，你发现了什么？请证明你所发现的结论。发现：PA=PB，∠APO=∠BPO．证明：如右图，连接OA和OB．∵ PA和PB是⊙O的两条切线，∴ OA⊥AP，OB⊥BP．又 OA＝OB，OP＝OP，∴ Rt△AOP≌Rt△BOP．∴ PA=PB，∠APO=∠BPO．●归纳：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．几何语言：∵PA、PB分别切☉O于A、B∴PA=PB，∠APO=∠BPO． 问题3 PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。（1）写出图中所有的垂直关系：OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP（2）写出图中与∠OAC相等的角：∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC（3）写出图中所有的全等三角形：△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP（4）写出图中所有的等腰三角形：△ABP 、△AOB（5）若PA=4、PD=2，求半径OA：设OA的长为x,在直角三角形OAP中：x2+42=(x+2)2解得：x=4,即OA长为4 ●归纳：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．这个三角形叫做这个圆的外切三角形.提炼概念 典例精讲 例 解：设AF＝x，则，AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x．由BD＋CD＝BC，可得(13－x)(9－x)＝14．解得x＝4．因此AF＝4，BD＝5，CE＝9．巩固训练1.D2. 20 °，43. 65 °或115 °4. 245. 解：如图, 设三个切点分别为D,E,F.连接OD, OE, OF. S△AOB = S△AOB + S△BOC + S△AOC = 1/2×AB×r+ 1/2×BC×r+ 1/2×AC×r = 1/2×(AB +BC +AC )×r = 1/2 l r 证明：过点M作MD⊥AC，ME⊥BC，MF⊥AB由题意知MD=ME=MF∵AC⊥CB ∴∠C＝90° 在Rt△ABC中，根据勾股定理的∴MD=ME=MF=10（米）
课堂小结
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