2022-2023学年人教B版（2019）必修一第二章 等式与不等式 单元测试卷（Word版含解析）

第二章 等式与不等式单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共50分)
1、(5分)若存在，使不等式成立，则实数m的最大值为( )
A.-3 B.-1 C.0 D.3
2、(5分)已知不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B.或 C. D.或
3、(5分)若，，且，则的最小值是( )
A.2 B. C. D.
4、(5分)不等式的解集是( ).
A. B. C. D.
5、(5分)某工厂近期要生产一批化工试剂,经市场调查得知,生产这批试剂的成本分为以下三个部分:
①生产1单位试剂需要原料费50元;②支付所有职工的工资总额由7 500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成:③后续保养的费用是每单位元(试剂的总产量为x单位,).则要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为( )
A.60单位 B.70单位 C.80单位 D.90单位
6、(5分)已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数,则实数a的取值范围是( )
A.(0,5) B.[0,5) C.[0,5] D.(0,5]
7、(5分)若，，且，则的最小值为( )
A.2 B. C. D.
8、(5分)已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是( )
A. B. C. D.
9、(5分)已知，且，则mn有( )
A.最大值1 B.最大值2 C.最小值1 D.最小值2
10、(5分)不等式的解集是（ ）
A. B.或
C. D.
二、填空题(共25分)
11、(5分)对于实数x，当时，规定，若，则________，不等式的解集为_______.
12、(5分)已知实数满足且,则的最小值为________.
13、(5分)若某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为,则当每台机器运转_________年时,年平均利润最大.
14、(5分)已知二次函数(a,b,c均为正数)的图象过点(1,1),最小值为0,若实数λ满足,则实数λ的取值范围为_______.
15、(5分)已知，，，则的最大值是________
三、解答题(共25分)
16、(8分)已知，满足.
（1）求证：；
（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数p，使对任意恒成立，试写出一个p，并证明之.
17、(8分)甲、乙两位同学在求方程组的解集时，甲解得正确答案为，乙因抄错了 c 的值，解得答案为，求的值.
18、(9分)已知函数的最小值为m.
(1)求m；
(2)若正实数a，b，c满足，求的最小值.
参考答案
1、答案：C
解析：本题考查不等式的存在性问题.由已知可得，存在使之成立，则.
2、答案：B
解析：本题考查一元二次不等式的解集.由已知可得-3，2是方程的两根.由根与系数的关系可知，，所以，，代入不等式，得，解得或.
3、答案：C
解析：本题考查基本不等式.因为，，所以，当且仅当时等号成立，故最小值为.
4、答案：A
解析：不等式可化为,即,解得,所以该不等式的解集是,故选A.
5、答案：D
解析：设每生产1单位试剂的成本为y,因为试剂总产量为x单位,则由题意可知,原料总费用为元,职工的工资总额为元,后续保养总费用为元,则，当且仅当,即时取等号,满足,所以要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为90单位.故选D.
6、答案：D
解析：原不等式变形为,故当时,原不等式才有解,且解为,要使其中只有5个整数,则,即,解得.故选D.
7、答案：C
解析：原式变形，则.故选C.
8、答案：D
解析：由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；
中当且仅当时取等号，如，即可取等号，D中不等式不恒成立.
9、答案：A
解析：，且，，当且仅当时取等号，有最大值1.故选A.
10、答案：A
解析：
11、答案：20，
解析：本题考查新定义及一元二次不等式的解集.由，得，则不等式化为，解得，即不等式的解集为.
12、答案：
解析：因为，所以,故,因为,所以,由基本不等式得,当且仅当即时等号成立,故的最小值.
13、答案：5
解析：每台机器运转x年的年平均利润为,且,由基本不等式得,当且仅当,即时等号成立,故,当且仅当时等号成立,此时年平均利润最大.
14、答案：
解析：，且，，则，，，，即，，，，当且仅当，即时,等号成立.又∵当时,.
15、答案：
解析：因为，，，所以，则，当且仅当且，即时取等号，此时的最大值.
16、答案： (1)见解析(2) 见解析
解析：(1) 证明 : 由 ，得 ，,
要证 ，
只要证 ，
左边
当且仅当 ，即 时等号成立；
(2)要使,
只至至,
左边
则 ， 可取 或 3
取 ，问题转化为.
证明如下 : 要证 ，
只需证明 ，
左边
当且仅当 ，即 时等号成立.
17、答案：
解析：将代入方程组，得
将代入，得.
联立①②③，解得,
所以
18、答案：(1).
(2)最小值为.
解析：(1)因为
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，有最小值，最小值为4，
即.
(2)由(1)知，可得.
又a，b，c为正实数，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.