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2.2 基本不等式
【学习目标】
1、能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小
2、能初步运用基本不等式证明简单的不等式．
3、熟练掌握基本不等式及其变形的应用，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题
4、能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
【知识结构】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【考点总结】
一、重要不等式及证明
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．请证明此结论．
证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”．
二、基本不等式
1．内容：
≤，其中a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．证明：
∵a＋b－2＝()2＋()2－2·
＝(－)2≥0.
∴a＋b≥2.
∴≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
3．两种理解：
(1)算术平均数与几何平均数：
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为；基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．21世纪教育网版权所有
(2)几何意义：
如图所示，以长度为a＋b的线段AB ( http: / / www.21cnjy.com )为直径作圆，在直径AB上取一点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD，DB，易证Rt△ACD ∽ Rt△DCB，则CD2＝CA·CB，即CD＝.
这个圆的半径为，显然它大于或等于CD，即≥，当且仅当点C与圆心O重合，即a＝b时，等号成立．
三、基本不等式的常用推论
1．ab≤2≤(a，b∈R)．
2.＋≥2 (a，b同号)．
3．当ab>0时，＋≥2；
当ab<0时，＋≤－2.
4．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
四、基本不等式求最值
1．理论依据：
(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为.
(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2.
2．基本不等式求最值的条件：
(1)x，y必须是正数；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．
(3)等号成立的条件是否满足．
3．利用基本不等式求最值需注意的问题：
(1)各数(或式)均为正．
(2)和或积为定值．
(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．
(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．
【例题讲解】
【类型】一、利用基本不等式比较大小
例1、设0
A．aC．a<答案 B
解析 方法一 ∵00，即>a，排除D项，故选B.21教育网
方法二 取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b.
反思与感悟 若给定的代数式中既有“和 ( http: / / www.21cnjy.com )式”又有“积式”，这便是应用基本不等式的题眼，可考虑是否利用基本不等式解决；在应用基本不等式时一定要注意是否满足条件，即a＞0，b＞0，同时注意能否取等号．
【训练】1、已知都是正数，且.
求证：（1）；（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1），，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，；
（2），，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，.
【训练】2、设，求证：.
【答案】证明见解析；
【解析】证明：因为，所以，
所以.
当且仅当，即时，等号成立.
故不等式得证.
【训练】3、已知：、是正实数，求证：.
【答案】见解析.
【解析】由基本不等式得出，，
上述两个不等式当且仅当时，等号成立，
由同向不等式的可加性得，即.
【训练】4、已知，，，求证：
（1）；（2）.
【答案】证明见解析.
【解析】证明：（1）因为且，（当且仅当时取等号），即，所以，
又，
所以；
（2）因为，
所以
，
当且仅当时，等号成立， 所以.
【类型】二、利用基本不等式求最值
例2、(1)已知t＞0，则函数y＝的最小值为________．
(2)已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
(3)已知x≥，则f(x)＝有( )
A．最大值 B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
答案 (1)－2 (2)3 (3)D
解析 (1)y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，
当且仅当t＝，即t＝1或t＝－1(舍)时，等号成立，
∴y的最小值为－2.
(2)xy＝12·≤12·2
＝12·2＝3，
当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时，等号成立，
∴xy的最大值为3.
(3)f(x)＝＝
＝≥1.
当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．
反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要 ( http: / / www.21cnjy.com )注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．21cnjy.com
【训练】1、函数（）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数（）的最小值为，故选：B
【训练】2、已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（ ）
A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为
【答案】C
【解析】，，且，（1），
当且仅当，即，时，取等号，故的最大值是：，故选：．
【训练】3、已知，，且，则ab的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】D
【解析】， （当且仅当时取等号）
，解得：，即的最大值为故选
【训练】4、若，则（ ）
A．有最小值，且最小值为 B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为
【答案】D
【解析】,当且仅当取“=”所以故选：D
【训练】5、已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，且，
所以，
当且仅当即，时，有最小值.故选：B.
【针对训练】
一、单选题
1．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本不等式进行求解.
【详解】
因为，，
所以
（当且仅当，即时取等号），
即的最小值为4.
故选：D.
2．当时，的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
依据均值定理去求的最小值即可.
【详解】
由（当且仅当时等号成立．）
可得当时，的最小值为
故选：D
3．下列函数，最小值为2的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基本不等式和配方法分别求出各选项的最值，即可得到答案；
【详解】
对A，可取负数，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，等号成立当且仅当，故D正确；
故选：D
4．已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本不等式求最值即可.
【详解】
∵a>0，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C
5．若a，b都为正实数且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.
【详解】
因为，都为正实数，，
所以，
当且仅当，即时，取最大值.
故选：D
6．设，，且，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简，由，结合基本不等式，求得，进而求得的最大值.
【详解】
∵，，
，
当且仅当，时取等号，
∴．
故选：B．
7．已知，且，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．14 D．16
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式可求解.
【详解】
因为，所以.因为，所以，所以，即，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是6.
故选：A
8．已知，则的最小值是( )
A．5 B．4 C．8 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式即可求解．
【详解】
∵，∴，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值是5．
故选：A．
9．已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由，再展开化简，根据基本不等式求最小值即可
【详解】
由题，，当且仅当，即，即时取等号
故选：C
10．已知，，且，则的最小值是（ ）
A． B．2 C．9 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式可求解.
【详解】
由题意可得．因为，，所以，则，
当且仅当，时，等号成立．
故选：A
11．若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式串 可判断选项A错误，B错误，D正确.利用基本不等式可得C错误.
【详解】
对于选项A：∵，当且仅当时取等号，∴A错误；
对于选项B： ，，∴B错误；
对于选项C ：，
因为 ∴C错误；
对于选项D：∵，当且仅当时取等号，
∴，D正确；
故选：D
二、解答题
12．已知，都是正数.求证：
；
【答案】证明见解析；证明见解析.
【解析】
【分析】
运用基本不等式：（当且仅当时取得等号），即可求证；
运用基本不等式和不等式的基本性质即可求证.
【详解】
解：证明：由，都是正实数，可得（当且仅当时取得等号）；
证明：由基本不等式可知
，（当且仅当时取得等号）.
【点睛】
本题考查不等式的证明，运用基本不等式，考查化简推理的能力，属于基础题.
13．设实数、，满足．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的取值范围；
（2）利用基本不等式结合指数运算可求得的最小值.
(1)
解：因为，.
当且仅当，时，；当且仅当，时，.
因此，的取值范围是.
(2)
解：因为，
当且仅当，时，等号成立，因此，的最小值为.
14．已知，求证：.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
由题知，进而根据基本不等式求解即可.
【详解】
解：因为，所以，
所以，
当且仅当即，等号成立，
所以，证毕.
15．求函数的最小值．
【答案】
【解析】
【分析】
依题意可得，再利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：因为，又，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为；
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2.2 基本不等式
【学习目标】
1、能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小
2、能初步运用基本不等式证明简单的不等式．
3、熟练掌握基本不等式及其变形的应用，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题
4、能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
【知识结构】
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【考点总结】
一、重要不等式及证明
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．请证明此结论．
证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”．
二、基本不等式
1．内容：
≤，其中a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．证明：
∵a＋b－2＝()2＋()2－2·
＝(－)2≥0.
∴a＋b≥2.
∴≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
3．两种理解：
(1)算术平均数与几何平均数：
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为；基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．21世纪教育网版权所有
(2)几何意义：
如图所示，以长度为a＋b的线段AB为直 ( http: / / www.21cnjy.com )径作圆，在直径AB上取一点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD，DB，易证Rt△ACD ∽ Rt△DCB，则CD2＝CA·CB，即CD＝.
这个圆的半径为，显然它大于或等于CD，即≥，当且仅当点C与圆心O重合，即a＝b时，等号成立．
三、基本不等式的常用推论
1．ab≤2≤(a，b∈R)．
2.＋≥2 (a，b同号)．
3．当ab>0时，＋≥2；
当ab<0时，＋≤－2.
4．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
四、基本不等式求最值
1．理论依据：
(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为.
(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2.
2．基本不等式求最值的条件：
(1)x，y必须是正数；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．
(3)等号成立的条件是否满足．
3．利用基本不等式求最值需注意的问题：
(1)各数(或式)均为正．
(2)和或积为定值．
(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．
(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．
【例题讲解】
【类型】一、利用基本不等式比较大小
例1、设0A．aC．a<【训练】1、已知都是正数，且.
求证：（1）；（2）.
【训练】2、设，求证：.
【训练】3、已知：、是正实数，求证：.
【训练】4、已知，，，求证：
（1）；（2）.
【类型】二、利用基本不等式求最值
例2、(1)已知t＞0，则函数y＝的最小值为________．
(2)已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
(3)已知x≥，则f(x)＝有( )
A．最大值 B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
【训练】1、函数（）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【训练】2、已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（ ）
A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为
【训练】3、已知，，且，则ab的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．2
【训练】4、若，则（ ）
A．有最小值，且最小值为 B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为
【训练】5、已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【针对训练】
一、单选题
1．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．当时，的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
3．下列函数，最小值为2的函数是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（ ）
A． B． C． D．3
5．若a，b都为正实数且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．设，，且，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
7．已知，且，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．14 D．16
8．已知，则的最小值是( )
A．5 B．4 C．8 D．6
9．已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，且，则的最小值是（ ）
A． B．2 C．9 D．4
11．若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、解答题
12．已知，都是正数.求证：
；
13．设实数、，满足．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的最小值．
14．已知，求证：.
15．求函数的最小值．
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